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第八章 二元一次方程组
【学习目标】
1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；毛
2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；
3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；
4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；
5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.
【知识结构】
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【考点总结】
要点一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 21世纪教育网版权所有
要点诠释：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
要点诠释：
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.21·世纪*教育网
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.2-1-c-n-j-y
要点诠释：
（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个 ( http: / / www.21cnjy.com )方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 21·cn·jy·com
要点二、二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；21*cnjy*com
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；【版权所有：21教育】
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
要点诠释：
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；21教育名师原创作品
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法. ( http: / / www.21cnjy.com )如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；21*cnjy*com
②根据“等式两边加上（或减去） ( http: / / www.21cnjy.com )同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
要点诠释：
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
要点三、实际问题与二元一次方程组
( http: / / www.21cnjy.com / )
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
要点四、三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有 ( http: / / www.21cnjy.com )未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.【来源：21cnj*y.co*m】
等都是三元一次方程组.
要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元， ( http: / / www.21cnjy.com )一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．
（2）要检验求得的未知数的值是 ( http: / / www.21cnjy.com )不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．【出处：21教育名师】
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【例题讲解】
类型一、二元一次方程组的相关概念
例1.若xm﹣n﹣2ym+n﹣2=2007，是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（ ）
A．m=1，n=0 B．m=0，n=1 C．m=2，n=1 D．m=2，n=3
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可．
解：根据题意，得，
解得．
故选：C．
【训练】下列各组解中，不是二元一次方程x+2y=5的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把各组解分别代入方程x+2y=5，然后根据二元一次方程解的定义进行判断．
【详解】
A、当x=1，y=2时，x+2y=1+4 ( http: / / www.21cnjy.com )=5，所以A选项不符合题意；
B、当x=6，y= -1时，x+2y=6-2=4≠5，所以B选项符合题意；
C、当x=2，y=1.5时，x+2y=2+3=5，所以C选项不符合题意；
D、当x=9，y= -2时，x+2y=9-4=5，所以D选项不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
类型二、二元一次方程组的解法
例2.解下列方程组
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．
解：（1），
整理得，
两式相减得：，
把 代入中，得；
所以原方程组的解为：．
（2）原方程组变式为，
两式相减得：，
将代入中，得，
解得：．
所以原方程组的解为．
【点拨】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．
【训练】解方程组
（1） （2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
解：（1）；
①×2-②×3，得x=1，③
把③代入②，得y=-1，
故方程组的解为；
（2）原方程可化为：，
①×2+②，得x=2，③
把③代入②，得y=3，
故方程组的解为；
（3），
①-②，得x+2y=5，④
②+③，得4x+2y=8，⑤
⑤-④，得3x=3，
解得x=1，
把x=1代入④，得y=2，
把x=1，y=2代入②，得z=3，
故方程组的解为：
【点拨】本题考查的是二元一次方程组及三元一次方程组的解法，解方程组的方法就是消元．
类型三、实际问题与二元一次方程组
例3．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．
【答案】1
【分析】根据题意，把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．21教育网
解：根据题意把代入方程组，得
，
①+②，得：7（a+b）=7，
则a+b=1，
故答案为：1．
【点拨】此题主要考查了二 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．21cnjy.com
例4．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动， ( http: / / www.21cnjy.com )购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：www.21-cn-jy.com
白色文化衫 黑色文化衫
成本（元） 6 8
售价（元） 20 25
假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？
【答案】购进白色文化衫120件，购进黑色文化衫80件
【分析】设购进白色文化衫x件，购进黑色文化 ( http: / / www.21cnjy.com )衫y件，根据购进两种文化衫共200件，共获利3040元，列方程组求解．要注意总利润=单件利润×购进数量．2·1·c·n·j·y
解：设购进白色文化衫x件，购进黑色文化衫y件，根据题意可得：
，解得：，
答：购进白色文化衫120件，购进黑色文化衫80件．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．www-2-1-cnjy-com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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