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第三讲 公式法—完全平方公式
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【知识总结】
一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
【注】：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全 ( http: / / www.21cnjy.com )平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. 21·cn·jy·com
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
【类型】一、公式法——完全平方公式
例1、因式分解：
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可．
解：
=
=．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【训练】因式分解：
【答案】
【分析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．
解：
=
=．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关
例2、因式分解
【答案】
【分析】首先将（a2+6a）看作一个整体，利用完全平方公式进行分解因式，进而再利用完全平方公式得出结果即可．www.21-cn-jy.com
解：
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点和应用是解题关键．
【训练】因式分解：
【答案】
【分析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．
解：
=
=
=．
【点拨】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
例3、对多项式进行因式分解时，小亮先设，代入原式后得：
原式
．
（1）小亮在因式分解时巧妙运用了以下哪种数学思想： ；
A．整体换元思想
B．数形结合思想
C．分类讨论思想
（2）请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果；
（3）请参考以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）；（2）分解不彻底；正确结果；（3）．
【分析】
（1）设是整体换元的思想；
（2）a2-2a+4还可以分解，所以是不彻底；
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．2·1·c·n·j·y
解：（1）把用b表示，是整体换元；
故选：
存在的问题:分解不彻底；
理由：
故答案为:
设，
原式
【点拨】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．
【训练】因式分解：
【答案】
【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可．21世纪教育网版权所有
解：，
=，
=，
=．
【点拨】本题考查因式分解 ( http: / / www.21cnjy.com )的内容，掌握因式分解的方法，能灵活运用因式分解的方法进行因式分解，掌握因式分解的顺序，会根据多项式的特点选择恰当的方法因式分解．21·世纪*教育网
【训练】因式分解=______．
【答案】
【分析】
先利用完全平方公式把原式写成，再根据完全平方公式得出结果．
解：原式
．
故答案是：．
【点拨】本题考查因式分解，解题的关键是掌握利用乘法公式进行因式分解的方法．
【类型】二、完全平方公式分解因式的应用
例4、，，是的三边，且有
（1）若为整数，求的值
（2）若是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长
【答案】（1）或或；（2）．
【分析】（1）由，可得：，利用非负数的性质求解，再利用三角形三边的关系得到的取值范围，从而可得答案；www-2-1-cnjy-com
（2）分两种情况讨论，当为腰时，当为腰时，再结合三角形的三边的关系，确定三角形的三边，从而可得答案．2-1-c-n-j-y
解：（1） ，
，
，
，
，
＜＜，
为整数，
或或．
（2）当为腰时，三角形的三边分别为：，
由＜，此时三角形不存在，故舍去，
当为腰时，三角形的三边分别为：，
由＞，三角形存在，
【点拨】本题考查的是完全平方式的变形，非负数的性质，因式分解，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】如果，，是三角形的三边，并且满足等式，试确定三角形的形状
【答案】等边三角形
【分析】由，可得：从而可得：利用非负数的性质可得：从而可得答案．
解：，
三角形是等边三角形．
【点拨】本题考查的是非负数的性质的应用，完全平方公式的应用，等边三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．21教育网
【类型】三、完全平方公式求最值
例5、我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴，
∴当时，有最小值-4．
请根据上述方法，解答下列问题
（1）求代数式的最小值；
（2）求证：无论、取任何实数，代数式的值都是正数；
（3）已知为实数，求代数式的最小值．
【答案】（1）有最小值；（2）证明见解析；（3）有最小值．
【分析】
（1）通过配方可得：，再利用非负数的性质，结合不等式的性质可得答案；
（2）把原式通过配方化为：，再利用非负数的性质可得：从而可得结论；
（3）利用配方法把原式化为： 再利用非负数的性质可得代数式的最小值．
解：（1）
当时，有最小值．
（2）
无论、取任何实数，代数式的值都是正数；
（3）
当时，有最小值．
【点拨】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，利用配方法求代数式的最值，因式分解的应用，掌握利用完全平方式的特点进行配方是解题的关键．21cnjy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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