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第一讲 认识三角形—三角形的内角和
【学习目标】
1．通过平行线性质和平角定义理解三角形内角和；
2．掌握三角形内角和及三角形的外角与内角的关系；
3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关角的计算及相关证明问题.
【知识总结】
一、三角形的有关概念
1、定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2、三角形的基本要素：组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角(简称三角形的角)．
3、三角形的特征：
(1)三条线段； (2)不在同一直线上；(3)首尾顺次相接．
4、三角形的符号表示：
三角形用符号“△”表示．顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
[明确] △ABC的三条边分别是AB，BC，AC；三个内角分别是∠A，∠B，∠C；△ABC的三边有时也可用a，b，c表示．www.21-cn-jy.com
[注意] (1)三条线段中任意两条不在同一条直线上；
(2)三条线段按一定顺序首尾顺次相接，如果不是首尾顺次相接就不是三角形．
二、三角形的内角和定理
1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
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特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.21cnjy.com
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特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.www-2-1-cnjy-com
三、三角形的外角和
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
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特别说明：
(1)外角的特征：
①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．21教育网
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
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特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．21世纪教育网版权所有
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
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特别说明：因为三角形的每个外角与它相 ( http: / / www.21cnjy.com )邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360°2·1·c·n·j·y
四、三角形按角的大小分类
三角形
【典型例题】
【类型】一、三角形的内角和
例1．阅读感悟：
如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．
三角形内角和定理的证明
今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：
一、动手实践操作类
①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；
②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；21*cnjy*com
③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开 ( http: / / www.21cnjy.com )之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．【出处：21教育名师】
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二、证明类（思路：由实际操作的后两 ( http: / / www.21cnjy.com )种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：
①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；
②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；
……
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任务：
（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．
（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；
A．方程 B．类比 C．转化 D．分类
（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．
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【答案】（1）平角为；（2）C；（3）见解析
【分析】
（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为进行证明；
（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；
（3）过点作交于交于，由角度的关系，得到，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．
解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为进行证明；
故答案为：平角为；
（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；
故选：C；
（3）证明：如图，
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过点作交于交于，
．
，
．
∴三角形的内角和为．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．
例2.已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．【版权所有：21教育】
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【答案】135°
【分析】先设∠A=3x，∠ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．21教育名师原创作品
解：∵在△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )：∠ABC：∠ACB=3：4：5，
故设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴∠A=3x=45°．
∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．21*cnjy*com
【点拨】本题利用了三角形内角和定理、三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
【训练】如图，在△ABC中，∠A=50 ( http: / / www.21cnjy.com )°，E是△ABC内一点，∠BEC=150°，∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，则∠BDC的度数为多少？
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【答案】100°.
解：∵△ABC中∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
∵△BCE中∠E=150°，
∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，
∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，
∵∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，
∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，
∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，
∴∠BDC=180°﹣80°=100°．
【类型】二、三角形的外角
例3.如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．
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【答案】110°
【分析】
延长BD交AC于H，根据三角形的外角的性质计算即可．
解：延长BD交AC于H，
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∠BDC=∠DHC+∠C，∠DHC=∠A+∠B
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°．21·世纪*教育网
【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【训练】如图，，且，，求的度数．
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【答案】50°
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它 ( http: / / www.21cnjy.com )不相邻的两个内角的和用∠2和∠BCF表示出∠BFE，再根据∠2=∠3整理可得∠ACB=∠BFE，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可．
解：在△BCF中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BFE=∠2+∠BCF，
∵∠2=∠3，
∴∠BFE=∠3+∠BCF，
即∠BFE=∠ACB，
∵∠BAC=70°，∠BFE=60°，
∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-60°=50°．21·cn·jy·com
【点拨】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键．
【训练】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，连接，当时，求的度数．
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【答案】30°
【分析】
根据三角形的外角的性质求出∠ADC ( http: / / www.21cnjy.com )，由三角形内角和定理求出∠BAC=90°，得出∠DAE的度数，求出∠ADE=∠AED=75°，即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．2-1-c-n-j-y
【类型】三、三角形的内角外角综合训练
例4．如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A．
变式1：如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A．
变式2：如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A．
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【答案】见解析
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；【来源：21cnj*y.co*m】
变式1：根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，由三角形外角性质可得；∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1，两式联立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1，即∠BOC=∠A．
变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BOC=90-∠A..
解：（1）证明：在△BOC中，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A；
变式1：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，
∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD
∵∠2、∠ACO分别是△BCO、△ABC的外角
∴∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1，
∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1，
∴∠BOC=∠A．
变式2：∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分线.
∴∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC，
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°- （∠A+180°），
=90°- ∠A；
【点拨】本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
【训练】如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
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（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，
∴∠D=α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-α；
（3）如图，
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∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，
∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．
故答案为：β．
【点拨】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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