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第二讲 认识三角形—三角形的三边关系
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；
2. 理解三角形三边的关系，利用三边关系求边的取值范围。
【知识总结】
一、等腰三角形的概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．21·cn·jy·com
三边都相等的三角形叫做等边三角形．
三角形
二、三角形的三边关系
三角形任意两边的和大于第三边.任意两边之差小于第三边，
如图：即：a+b>c,a+c>b,b+c>a,
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图二
【注】：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用方法：判 ( http: / / www.21cnjy.com )断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．www.21-cn-jy.com
（3）证明线段之间的不等关系.
【典型例题】
【类型】一、等腰三角形问题
例1、某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为(　　)
A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．12 cm或15 cm
[解析] C　由于题目中没有明确底边和腰的长度，所以应分类进行讨论，
即三边长可能为3 cm，3 cm，6 cm或6 cm，6 cm，3 cm，
但是长为3 cm，3 cm，6 cm的三条线段不能构成三角形，
因此等腰三角形的三边长只能是6 cm，6 cm，3 cm，
故周长为15 cm，应选C.
[归纳总结] 等腰三角形是 ( http: / / www.21cnjy.com )一类特殊的三角形，求等腰三角形的周长时，必须分情况考虑，对每一种情况要判断其能否构成三角形，即判断较短的两边之和是否大于最长边．21·世纪*教育网
【类型】二、三角形的三边关系
例2.已知的三边长分别为a， b， c.
(1)若a， b， c满足，试判断的形状：
(2)若a=5， b=2， 且c为整数，求的周长的最大值及最小值.
【答案】（1）是等边三角形；（2）最小值：11，最大值：13.
【分析】
（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
解：(1) ∵，
∴，
∴.a=b=c，
∴ 是等边三角形.
(2)∵a=5， b=2，
∴5-2∵c为整数，
∴c=4，5，6，
∴.当c=4时，△ABC的周长最小，最小值=5+2+4=11；
当c=6时，△ABC的周长最大，最大值=5+2+6=13.
【点拨】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足，且c为偶数，则△ABC的周长为_____________2-1-c-n-j-y
【答案】10
【分析】先利用配方法把原式变形，再根据非负数的性质求出，，然后根据三角形三边关系确定c，即可解答．21*cnjy*com
解：，
，
，
，，
边长的范围为．
边长的值为偶数，
，
的周长为．
故答案为：10．
【点拨】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
例3．若a，b，c是的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
【答案】3c+a﹣b．
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．21世纪教育网版权所有
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0．
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|
＝b+c﹣a+c+a﹣b+c+a﹣b
＝3c+a﹣b．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．2·1·c·n·j·y
【训练】已知，，，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【答案】（1）a＞b＞c；（2）见解析
【分析】
（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；
（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
解：（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；
a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；
b-c= m2-mn=m（m-n）＞0
∴a＞b＞c；
（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c
∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn
∴a-b＜c
∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．
【点拨】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．
【训练】已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
【答案】（1）的周长；（2），或．
【分析】
（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．21教育网
解：（1） 的三边长分别为，，，
，即，
的周长，
即：的周长；
（2）的周长是偶数，由（1）结果得的周长可以是，或，
的值为，或．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．21cnjy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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