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第二讲 认识三角形—三角形的三边关系
一、单选题
1．如图,在△ABC中,BC=BA,点D在AB上,且AC=CD=DB,则图中的等腰三角形有(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
∵在△ABC中，BC=BA，
∴△ABC是等腰三角形；
∵点D在AB上，且AC=CD=DB，
∴△ACD和△BDC都是等腰三角形，
综上所述，图中共有三个等腰三角形.
故选C.
2．△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】
∵(a-b)(b-c)(c-a)=0，
∴a-b=0或b-c=0或c-a=0，
∴a=b或b=c或c=a，
又∵a、b、c是△ABC的三边，
∴△ABC是等腰三角形.
故选A.
3．已知△ABC的三条边长分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）【出处：21教育名师】
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】B
【解析】
试题分析：利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
解：如图所示：当BC1=AC1，AC=C ( http: / / www.21cnjy.com )C2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．【版权所有：21教育】
故选B．
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点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
4．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：a-b=0，b-c=0，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状．21教育名师原创作品
【详解】
∵（a-b）2+|b-c|=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴以a，b，c，为三边长的三角形是等边三角形，
故选C．21*cnjy*com
【点睛】
考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定．
5．三角形按边可分为(　　)
A．等腰三角形、直角三角形、锐角三角形
B．直角三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．等腰三角形、等边三角形
【答案】C
【解析】
由于三角形按边分类可以分为：等腰三角形和不等边三角形两大类.
故选C.
6．下列说法:①等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有(　　)21世纪教育网版权所有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
∵①“等边三角形是等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形”的说法正确；②“等腰三角形也可能是直角三角形”的说法正确；③“三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形”的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形）；④“三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是正确的；
∴上述说法中正确的有3种.
故选C.
7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( )
A．6 B．3 C．2 D．11
【答案】A
【分析】
根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【详解】
设第三条边长为x，根据三角形三边关系得：
7-3＜x＜7+3，
即4＜x＜10.
结合各选项数值可知，第三边长可能是6.
故选A.
【点睛】
本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题.
8．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　)
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
【答案】D
【详解】
A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；
B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；
C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选D．
9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．5，6，10 C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a>0)
【答案】B
【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A．∵11﹣5＝6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
B．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；
C．∵3+4＝7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
D．∵4a+4a＝8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．21教育网
10．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【详解】
解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故选C．
11．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解析】
【分析】
设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x-1）cm，根据三角形的周长即可求得x，进而求解．21cnjy.com
【详解】
设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是(x+1)cm，最小的边长是(x 1)cm.
则(x+1)+x+(x 1)=12，
解得：x=4，
则最短的边长是：4 1=3cm.
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的周长，适当的设三边长是关键．
12．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
【答案】B
【解析】
试题分析：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB="AC=x" cm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选B．21·cn·jy·com
考点：1．等腰三角形的性质；2．解一元一次不等式组；3．三角形三边关系．
二、解答题
13．已知△ABC的两边长分别为3和7,第三边的长是关于x的方程=x+1的解,求a的取值范围.
【答案】6【解析】
试题分析：
首先解关于x的方程=x+1得到x的表达式，再由三角形三边间的关系列出关于a的不等式组，即可求得a的取值范围.2·1·c·n·j·y
试题解析：
解关于x的方程=x+1,得x=a-2.
∵x是△ABC的一边，△ABC的另两边的长为3和7，
∴7-3∴414．把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
【答案】(1)5【解析】
试题分析：
（1）由题意可知围成的三角形的周 ( http: / / www.21cnjy.com )长为18米，结合其中两边长为x米和4米，可得第三边为（18-x-4）米，再根据三角形三边间的关系列出不等式组，即可求得x的取值范围；21·世纪*教育网
（2）分x为底边和腰两种情况分别列出方程，可解得对应的x的值，再由三角形三边间的关系检验是否符合题意即可求得x的值.2-1-c-n-j-y
试题解析：
（1）由题意可得：18-4-x-4解得：5（2）①当x为底边长时，由题意可得：
4+4+x=18，解得：x=10，
又∵5∴x=10不符合题意，舍去；
②当x为腰长时，由题意可得：
x+x+4=18，解得x=7，
又∵5∴x=7符合题意.
点睛：（1）当已知4和x是 ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的两边求x时，需分x为底边和腰两种情况分别讨论；（2）在有关三角形三边的问题中，当解得边的长度后，要用“三角形三边间的关系”进行检验，看能否围成三角形.
15．如图,已知P是△ABC内部的一点.
(1)度量AB,AC,PB,PC的长,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小.
(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗 请说明理由.
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【答案】(1)AB+AC>PB+PC(2)成立
【解析】
试题分析：
（1）使用刻度尺测量出四条线段的长度，再计算比较即可；
（2）改变点P的位置，（1）中所得结论仍然成立，延长BP交AC于点D，利用三角形三边间的关系结合不等式的性质即可证明结论仍然成立.【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析：
（1）度量结果略，可得结论：AB+AC>PB+PC；
（2）在△ABC的内部改变点P的位置，（1）中所得结论仍然成立，理由如下：
如图,延长BP交AC于点D.
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∵在△ABD中：AB+AD>BP+PD ①
在△PDC中：PD+DC>PC ②
∴由① +② 可得：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC，
∴AB+AC>PB+PC.
16．在平面内,分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形呢 通过尝试,列表如下.www.21-cn-jy.com
火柴棒数 3 5 6 …
示意图 …
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 …
问:(1)4根火柴棒能搭成三角形吗
(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形 并画出它们的示意图.
【答案】(1)4根火柴棒不能搭成三角形(2) ( http: / / www.21cnjy.com )8根火柴棒能搭成一种三角形,12根火柴棒能搭成三种不同的三角形:(4,4,4),(5,5,2),(3,4,5) 【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】
试题分析：
（1）由“三角形三边间的关系”可知，四根火柴棒不能围成三角形；
（2）结合“三角形三边间的关系”分析可知：① ( http: / / www.21cnjy.com )8根火柴棒能搭成一种三角形，其边长分别为2、3、3，再根据边长画出示意图即可；②12根火柴棒可以搭成三种三角形，其边长分别（1）4、4、4；（2）5、5、2；（3）3、4、5；再根据边长画出示意图即可.21*cnjy*com
试题解析：
（1）由三角形三边间的关系分析可知：4根火柴棒不能搭成三角形.
（2）① 8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如下：
②12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：(4,4,4),(5,5,2),(3,4,5),示意图如下：
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第二讲 认识三角形—三角形的三边关系
一、单选题
1．如图,在△ABC中,BC=BA,点D在AB上,且AC=CD=DB,则图中的等腰三角形有(　　)
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定是(　　)21教育网
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定
3．已知△ABC的三条边长分别为3 ( http: / / www.21cnjy.com )，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）21cnjy.com
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．三角形按边可分为(　　)
A．等腰三角形、直角三角形、锐角三角形
B．直角三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．等腰三角形、等边三角形
6．下列说法:①等边三角形是等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com );②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有(　　)21·cn·jy·com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( )
A．6 B．3 C．2 D．11
8．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　)
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．5，6，10 C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a>0)
10．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）
11．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
12．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
二、解答题
13．已知△ABC的两边长分别为3和7,第三边的长是关于x的方程=x+1的解,求a的取值范围.
14．把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
15．如图,已知P是△ABC内部的一点.
(1)度量AB,AC,PB,PC的长,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小.
(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗 请说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．在平面内,分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形呢 通过尝试,列表如下.21世纪教育网版权所有
火柴棒数 3 5 6 …
示意图 …
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 …
问:(1)4根火柴棒能搭成三角形吗
(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形 并画出它们的示意图.
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