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2021年山东省临沂市中考数学试卷
一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．
2．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（　　）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
3．计算2a3 5a3的结果是（　　）
A．10a6 B．10a9 C．7a3 D．7a6
4．如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．方程x2﹣x＝56的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
7．不等式＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
9．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
10．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）
A．110° B．120° C．125° D．130°
12．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（　　）
A．＝+ B．+＝
C．+＝ D．＝+
13．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．
如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（　　）
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：2a3﹣8a＝　 　．
16．比较大小：2　 　5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
17．某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是 　 　．
18．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是 　 　．
19．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是 　 　（只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
三．解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．
21．（7分）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：
分组 频数
0.65≤x＜0.70 2
0.70≤x＜0.75 3
0.75≤x＜0.80 1
0.80≤x＜0.85 a
0.85≤x＜0.90 4
0.90≤x＜0.95 2
0.95≤x＜1.00 b
统计量 平均数 中位数 众数
数值 0.84 c d
（1）表格中：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
22．（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．（9分）已知函数y＝
（1）画出函数图象；
列表：
x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 .…
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．
24．（9分）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
25．（11分）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
26．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
参考答案及解析
【解析】D
解:﹣的相反数是．
【解析】C
解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
【解析】A
解：2a3 5a3＝10a3+3＝10a6．
【解析】B
解：从正面看该几何体，由能看见的轮廓线用实线表示可得选项B中的图形符合题意，
【解析】B
解：∵∠AEC＝40°，AB∥CD，
∴∠ECD＝∠AEC＝40°,
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCD＝∠DCE＝20°,
∵AB∥CD,
∴∠ABC＝∠BCD＝20°．
【解析】C
解：∵x2﹣x＝56，
∴x2﹣x﹣56＝0，
则（x﹣8）（x+7）＝0，
∴x﹣8＝0或x+7＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝8．
【解析】B
解：去分母得：x﹣1＜3x+3，
移项得：x﹣3x＜3+1，
合并同类项得：﹣2x＜4，
系数化为1，得：x＞﹣2，
将不等式的解集表示在数轴上如下图所示：
【解析】A
解：（a﹣）÷（﹣b）
＝÷
＝
＝﹣，
【解析】B
解：根据图可得，
AB＝＝＝＝2，
∵BC＝，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝．
【解析】D
解：把2盒不过期的牛奶记为A、B，2盒已过期的牛奶记为C、D，
画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果数有10种，
所以至少有一盒过期的概率为＝．
【解析】C
解：如图，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
【解析】D
解：若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫（1+50%）xm2，
由题意得：＝+．
【解析】A
解：∵a＞b，
∴当a＞0时，a2＞ab，
当a＜0时，a2＜ab，
所以①结论错误；
∵a＞b，
∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，
∴当|a|＜|b|时，a2＜b2，
所以②结论错误；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，
所以③结论错误；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴，
所以④结论正确；
∴正确的个数是1个．
【解析】C
解：根据图可知：
1620年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，
再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，
...，
∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，
此时32×＝1mg．
【解析】2a（a+2）（a﹣2）
解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）
【解析】＜
解：∵2＝，5＝，
而24＜25，
∴2＜5．
【解析】95.5
解：根据统计图可知，四个成绩的人数分别为3，2，5，10，
∴，
【解析】（4，﹣1）
解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴点A,点C关于原点对称，
∵A(﹣1,1),
∴C(1,﹣1),
∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是(4,﹣1)．
【解析】①③
解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，所以符合题意．
②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以不符合题意．
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”，所以符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，所以不符合题意．
【解析】﹣
解：原式＝+[（） ﹣+]﹣[（） ++]，
＝+(2﹣+)﹣(2++)，
＝＝+2﹣+﹣2﹣﹣，
＝﹣．
【解析】
解：（1）根据统计频数的方法可知，a＝5，b＝3，
将A村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（0.81+0.83）÷2＝0.82，
所以中位数是0.82，即c＝0.82，
他们一季度家庭人均收入的数据出现最多的是0.89，
所以众数为0.89，即d＝0.89，
（2）300×＝210（户），
答：估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数有210户；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭，
理由：该村300户家庭一季度家庭人均收入的中位数是0.82，0.83＞0.82，
所以该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭．
【解析】
解：∵CM＝3m，OC＝5m，
∴OM＝＝4（m），
∵∠COM＝∠BOD，∠CMO＝∠BDO＝90°，
∴△COM∽△BOD，
∴，
即，
∴BD＝＝2.25（m），
∴tan∠AOD＝tan70°＝，
即≈2.75（m），
解得：AB＝6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
【解析】
解：（1）列表如下图：
x ．．． ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ．．．
y ．．． ﹣1 ﹣3 0 3 1 ．．．
函数图像如图：
（2）由图像可知：
当x＝1时，函数有最大值3；
（3）∵(x1,x2)是函数图象上的点，x1+x2＝0，
∴x1和x2互为相反数，
当﹣1＜x1＜1时，﹣1＜x2＜1，
∴y1＝3x1，y2＝3x2，
∴y1+y2＝3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0；
当x1≤﹣1时，x2≥1，
则y1+y2＝＝0；
同理：当x1≥1时，x2≤﹣1，
y1+y2＝0，
综上所述：y1+y2＝0．
【解析】
解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵，
∴BC＝CD，
∴BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（AAS），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【解析】
解：（1）根据图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则，解得：，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，
令v＝9，t＝7，
∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则，解得：，
∴二次函数表达式为，
令t＝7，s＝＝87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，
∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，
将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，
将t＝6代入中，得s＝78，
此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2m，
所以6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
【解析】
(1)证明:∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF, B,F关于AE对称,
∴AG⊥BF,
∴∠AGF＝90°,
∵AH平分∠DAF,
∴∠FAH＝∠FAD,
∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝(∠BAF+∠FAD)＝∠BAD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD＝90°,
∴∠EAH＝∠BAD＝45°,
∵∠HGA＝90°,
∴GA＝GH；
(2)解:如图1所示,连接DH, DF交AH于点N,
由(1)可知∠FAH＝∠DAH,AF＝AD,
∴FN＝DN,AH⊥DF,
∴∠FNH＝∠DNH＝90°,DH＝HF,
又∵∠GHA＝45°,
∴∠FNH＝45°＝∠NDH＝∠DHN,
∴∠DHF＝90°,
∴DH的长为点D到直线BH的距离,
由(1)知AE2＝AB2+BE2,
∴AE＝＝＝,
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°,
∴∠AEB＝∠ABG,
又∠AGB＝∠ABE＝90°,
∴△AEB∽△ABG,
∴,,
∴AG＝＝,
∴BG＝,
由(1)知GF＝BG,AG＝GH,
∴GF＝,GH＝,
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．
即点D到直线BH的距离为；
(3)不变．
理由如下:
方法一:如图2所示,连接BD,
在Rt△HDF中,,
在Rt△BCD中,＝sin45°＝,
∴,
∵∠BDF+∠CDH＝45°,∠FDC+∠CDH＝45°,
∴∠BDF＝∠CDH,
∴△BDF∽△CDH,
∴∠CDH＝∠BFD,
∵∠DFH＝45°,
∴∠BFD＝135°＝∠CHD,
∵∠BHD＝90°,
∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．
方法二:
∵∠BHD＝90°,∠BCD＝90°,
∴点B,C,H,D四点共圆,
∴∠BHC＝∠BDC＝45°,
∴∠BHC的度数不变．

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