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2021年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：3×（﹣2）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．计算：（a3b）﹣2＝（　　）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
4．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
7．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，则线段CE的长度是（　　）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．分解因式x3+6x2+9x＝　 　．
10．正九边形一个内角的度数为 　 　．
11．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，则图中a的值为 　 　．
12．若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切）　 　．
三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：﹣＝1．
17．（5分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
19．（5分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
20．（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张　 　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
21．（6分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线（结果保留根号）
22．（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为 　 　，众数为 　 　；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
23．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　 　m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．
25．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在；若不存在，请说明理由．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在 ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，E是AD的中点，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由．
参考答案及解析
【解析】D
解：3×（﹣2）＝﹣4．
【解析】
解：A．不是轴对称图形；
B．是轴对称图形；
C．不是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
【解析】A
解：（a3b）﹣2＝＝．
【解析】B
解：∵∠1＝∠B+∠ADB，∠ADB＝∠A+∠C，
∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），
∴∠2＝180°﹣（25°+35°+50°），
∴∠1＝180°﹣110°，
∴∠1＝70°，
【解析】D
解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝，
∵tan∠ABD＝，
∴，
【解析】A
解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移8个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣5，
把（0，0）代入，
解得m＝﹣8．
【解析】D
解：根据题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，
过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥CE于点N，
则AM＝CM＝×5＝3，∠BMC＝∠CND＝90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BM＝5，CM＝2，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝4CN＝2×4＝8，
【解析】C
解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x﹣4＝（x﹣4）（x+2）＝（x﹣）4﹣，
∴（1）函数图象开口向上，
（2）与x轴的交点为（4，4）和（﹣1，
（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，
（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当当x＞时，
【解析】 x（x+3）2
解：原式＝x（9+6x+）
＝x（x+3）2．
【解析】140°
解：该正九边形的内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝＝140°．
【解析】-2
解：依题意得：﹣1﹣6+3＝0+a﹣4，
解得：a＝﹣7．
【解析】＜
解：∵2m﹣1＜2(m＜)，
∴图象位于二、四象限，y随x的增大而增大，
又∵8＜1＜3，
∴y1＜y2
【解析】3+1
解：当⊙O与CB、CD相切时，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝4，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，
【解析】﹣
解：原式＝1+﹣3﹣2＝﹣．
【解析】x＜﹣2
解：解不等式x+5＜4，得：x＜﹣8，
解不等式≥2x﹣1，
∴不等式组的解集为x＜﹣2．
【解析】
解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣7）2﹣3＝（x+7）（x﹣1），
x2﹣8x+1﹣3＝x3﹣1，
x2﹣2x﹣x2＝﹣1﹣8+3，
﹣2x＝3，
x＝﹣，
所以x＝﹣是原方程的解．
【解析】
解：如图，点P为所作．
【解析】
证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
【解析】
解：设这种服装每件的标价是x元，依题意得，
10×0.8x＝11（x﹣30），
解得x＝110，
答：这种服装每件的标价为110元．
【解析】
解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为
＝，
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．
【解析】
解：在△ADC中，设AD＝x，
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
在△ADB中，AD⊥BD，
∴AD＝BD tan30°，
即x＝(16+x)，
解得：x＝2+8，
∴AB＝7AD＝2×（8）＝16，
∴钢索AB的长度约为（16）m．
【解析】
解：（1）这60天的日平均气温的中位数为＝19.5（℃），
（2）这60天的日平均气温的平均数为×（17×8+18×12+19×13+20×9+21×6+22×8+23×6+24×5）＝20（℃）；
（3）∵×30＝20（天），
∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．
【解析】
解：（1）根据图像可知：“鼠”6min跑了30m,
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min）,
“猫”5min跑了30m,
∴“猫”的速度为：30÷5＝5（m/min）,
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min),
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b,
∵图象经过A(4,30)和B(10,18）
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
,
解得：,
∴AB的解析式为:y＝﹣7x+58；
(3)令y＝0,则﹣4x+58＝7，
∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣5＝13.5（min）．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．
【解析】
（1）证明：取的中点M、OF，
∵＝2，
∴＝＝，
∴∠COB＝∠BOF，
∵∠A＝∠COF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图所示，
∵CD为⊙O的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝2，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴＝，即＝，解得DF＝．
【解析】
解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3，
取x＝0，得y＝8，
∴C(8，8)，
取y＝0，得﹣x5+2x+8＝5，
解得：x1＝﹣2，＝4，
∴B(4，6)；
（2）存在点P，设P(0，y)
∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，
∴，
即：，
解得：y1＝16，，
∴P(0，16)或P(2，)．
【解析】
解：（1）如图1所示，
过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∴∠ADH＝∠BAD＝45°，
在Rt△ADH中，AD＝2，
∴AH＝AD sinA＝6×sin45°＝3，
∵点E是AD的中点，
∴DE＝AD＝8，
同理：EG＝，
∵DF＝5，
∴FC＝CD﹣DF＝3，
∴S四边形ABFE＝S ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝7×3﹣×5×﹣＝；
存在，
如图2所示，分别延长AE，与CD，则四边形ABCK是矩形，
∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，
设AN＝x米，则PC＝x米，BN＝（800﹣x）米，
∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣5x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，
∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM
＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣x（1200﹣6x）﹣
＝7（x﹣350）2+470000，
∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），
AM＝1200﹣2x＝1200﹣7×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为47000平方米，此时．

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