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一轮复习第六章平面向量及其应用（基础版）
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
例1．如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A． B． C． D．
例2．下列说法错误的是（ ）
A．零向量与任意向量都不平行
B．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
C．平行向量就是共线向量
D．长度为0的向量叫做零向量
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
例3．（ ）
A． B． C． D．
例4．在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A． B．
C． D．
例5．若，与的方向相反，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
11．如图，，不共线，且，用，表示．
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
例6．设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
例7．在边长为1的正方形中，为上靠近的三等分点，为的中点.若()，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
例8．已知向量，则（ ）
A．0 B．3 C．1 D．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
例9．已知向量，，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
例10．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
例11．向量，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
例12．已知，则（ ）
A． B．17 C．5 D．
8．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
9．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
10．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
11．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
12．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)
例13．已知，，.
求（1）；
（2）求.
例14．已知平面上三点A，B，C．，．
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
（2）若中角C为钝角，求k的取值范围．
例15．平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数，；
（2）若，求实数的值.
例16．如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且．
（1）试用，表示；
（2）若，，，求．
10，正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：1）．
2）化边为角：；
3）化边为角：
4）化角为边：
5）化角为边：
二.三角形面积
1.
例17．已知，，分别是的三个内角 的对边，若面积为，，，求，及角的值.
例18．已知△的内角，，所对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求△的面积．
例19．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求B；
（2）设，，求c.
11，余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
2.变形：
注意整体代入，如：
利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
①若，，所以为锐角
②若
③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
三角形中常见的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：
两边之和大于第三边：，，；
两边之差小于第三边：，，；
在同一个三角形中大边对大角：
4) 三角形内的诱导公式：
7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
例20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，，求边a的值.
例21．内角、、的对边分别为、、，设
（1）求角；
（2）若，求．
例22．在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求a的值；
（2）若，求边上的高的长．
参考答案
1．D
【分析】
由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.
【详解】
由题意，，.
故选：D.
2．A
【分析】
根据零向量与单位向量及共线向量的定义判断可得；
【详解】
解：模为的向量叫做零向量，规定：零向量与任意向量平行，长度为个单位长度的向量，叫做单位向量，故A错误，BCD正确．
故选：A
3．C
【分析】
根据向量加法的运算法则可得.
【详解】
，
故选：C.
4．C
【分析】
直接由向量加减法法则即可得结果．
【详解】
在平行四边形ABCD中，，
所以．
故选：C
5．B
【分析】
由向量反向可知，即，由此构造方程求得，即可得到结果.
【详解】
与的反向，，，即，解得：，
.
故选：B.
6．C
【分析】
逐项判断向量是否共线，若不共线，则可以作为基底
【详解】
解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意；
对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意；
对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意；
对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意，
故选：C
7．C
【分析】
以为基底表示出，由此求得，进而求得.
【详解】
，
所以.
故选：C
8．B
【分析】
利用平面向量数量积运算求解即可.
【详解】
，所以．
故选：B.
9．C
【分析】
由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出
【详解】
因为，所以，解得，所以，
所以，
故选：C.
10．C
【分析】
根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，可得
因为，可得，解得.
故选：C.
11．D
【分析】
由，得，解出的值，进而可求得的坐标，根据向量模长公式即可求解.
【详解】
解：因为向量，，，所以，解得，
所以，所以，
故选：D.
12．A
【分析】
首先求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，所以
故选：A
13．（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知求，结合向量数量积的运算律，即可求；
（2）由，利用向量数量积的运算律求值即可.
【详解】
（1）
，
∴.
（2）.
14．（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意可得向量与平行，根据平行的坐标表示即可求出答案；
（2）由题意，且向量与不平行，根据数量积的坐标运算即可求出结论．
【详解】
解：（1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，
即向量与平行，
∴，解得；
（2）当角C是钝角时，，
∴，解得，
又向量与不平行，则，
综上：的取值范围是．
15．（1），；（2）.
【分析】
（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；
（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；
【详解】
解：（1）因为，，，且
，，，，.
，解得，.
（2），，，.
，，，.
，解得.
16．（1）；（2）.
【分析】
（1）依题意首先表示出，再根据重心的性质得到，即可得解；
（2）首先根据平面向量数量积的定义求出，再表示出，最后根据向量数量积的运算律计算可得；
【详解】
解：（1）因为．
因为点为的重心，所以．
（2）因为，，，所以．
又因为，所以．
．
17．a=；b=1；
【分析】
由正弦定理的面积公式可先求出，再结合余弦定理可求出，再由正弦定理求出角.
【详解】
，所以，所以b=1
中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3，所以a=，
由正弦定理，即，解得，
所以.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理边角互化及两角和正弦公式可得，而且，即可求.
（2）由（1）易得，由题设有即可求上的高，进而求△的面积．
【详解】
（1）由题设，，
∴，又，
∴.
（2）由（1）知：，则，
∵，又，
∴，故△在上的高，
∴.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题设，根据正弦定理得，结合三角形内角的性质得，即可求B；
（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c.
【详解】
（1）由正弦定理得：，而，
∴，又，，
∴，又，即.
（2）由余弦定理，即，
∴，解得.
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由正弦定理的边角转化得，结合三角形内角性质即可求角B.
（2）由两角差、倍角公式展开，根据已知条件及（1）的结论即可求值.
（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.
【详解】
（1）由正弦定理有：，而为的内角，
∴，即，由，可得，
（2），
∵，，可得，而，
∴，
（3）由余弦定理知：，又，，，
∴，可得.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再利用和差角的正弦公式计算可得；
【详解】
解：（1），
∴，
所以，因为，∴．
（2），∴，
∴，，
∴，∴，
∴，∴，∴，
．
22．（1）或6；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理将化为，化简后再利用余弦定理可求出，由结合已知条件可求出a的值；
（2）由于，所以，可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积，再利用面积法可求出边上的高的长
【详解】
解：因为，所以，
所以，即．
由余弦定理可得，
因为，所以．
（1）因为，
所以，解得或6．
（2）因为，所以，
，
所以边上的高的长为．
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