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一轮复习第七章复数（基础版）
复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.
a为实部，b为虚部
例1．若复数z满足，则复数z的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
例2．给出下列三个命题：①的实部是－；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
2．复数集
例3．复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数.纯虚数 无理数 有理数
B．实数 虚数 负实数 正实数
C．实数 虚数 无理数 有理数
D．实数 虚数 有理数 无理数
例4．已知，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
复数的几何意义
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。
例5．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
例6．已知，在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．3
两个复数相等的定义：且（其中）特别地，.
例7．若（，i是虚数单位），则（ ）
A．5 B． C． D．1
例8．设为虚数单位，，则（ ）
A． B．
C． D．
复数的四则运算
设，
（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
例9．（ ）
A． B． C． D．
例10．已知复数，，则（ ）
A． B． C． D．
例11．在复平面内，、两点对应的复数分别是，，则向量对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
（3）乘法： ， 特别；
（4）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
例12．已知为虚数单位，复数z满足，则z为（　　）
A． B． C． D．
例13．复数（ ）
A． B． C． D．
例14．已知为虚数单位，若复数 ()为实数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6 共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】
若z=a+bi，则的共轭复数记作；
为实数，为纯虚数(b≠0).
共轭复数的性质：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，则.
例15．已知，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
例16．复数的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例17．系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
7 复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
一些常用的结论
1两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等（两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.）。
⑴若为复数
：当时，则（×）[为复数，而不是实数]；
：当时，则.（√）
⑵若，则是的必要不充分条件.（当， 时，上式成立）
2 性质：T=4；；
3复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。
4复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.
例18．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
例19．复数z1，z2满足z1∈R，，则z1＝（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
例20．设是复数，若(是虚数单位)，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B． C． D．
例21．已知复数，则等于（ ）
A． B． C． D．
例22．复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
复数的三角形式
1 、复数的三角形式
　　 (1) 复数的幅角：设复数 Z=a ＋ bi 对应向量 ，以 x 轴的正半轴为始边，向量 所在的射线 ( 起点为 O) 为终边的角 θ ，叫做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ ，其中适合 0≤θ<2π 的辐角 θ 的值，叫做辐角的主值，记作 argZ ．
　　说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差 2π 的整数倍．
　　 (2) 复数的三角形式： r(cosθ ＋ isinθ) 叫做复数 Z=a ＋ bi 的三角形式，其中 ．
　　说明：任何一个复数 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(cosθ ＋ isinθ) 的形式．其中 r 为 Z 的模， θ 为 Z 的一个辐角．
　 2 、复数的三角形式的运算：
　　设 Z=r(cosθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (cosθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (cosθ 2 ＋ isinθ 2 ) ．则
　　
例23．已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ）
A． B．2 C． D．
例24．1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
例25．欧拉是世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，(为自然对数的底数，为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数 指数函数 三角函数联系起来了.当时，可得恒等式（ ）
A． B． C． D．
参考答案
1．B
【详解】由，则复数z的虚部是
2．B【详解】
的实部为，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确．
3．C
【详解】
由复数与实数 有理数 无理数的包含关系知正确.
故选：.
4．A
【分析】
根据复数的除法运算，可得，再根据复数相等可求出，即可求出的值.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，所以，所以.
故选：A.
5．A
【分析】
利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】
复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第一象限.
故选：A.
6．B
【分析】
由所给复数对应点在第二象限列出不等式组，求解即可作答.
【详解】
复数对应的点为，
依题意得，而，于是有.
故选：B
7．D
【分析】
由复数相等的充要条件即可得解.
【详解】
因且，由复数相等的充要条件得b=2，a=3，所以a-b=3-2=1.
故选：D
8．B
【分析】
由题中条件，根据复数相等列出方程组，求出，即可得出结果.
【详解】
由，可得，
则，解得，因此.
故选：B.
9．D
【分析】
直接根据复数代数形式的加法运算法则计算可得；
【详解】
解：
故选：D
10．A
【分析】
根据复数加法运算求得结果.
【详解】
由题知，
故选：A
11．B
【分析】
本题可根据复数的几何意义以及复数的运算法则得出结果.
【详解】
向量对应的复数是
故选：B.
12．A
【分析】
结合复数的除法运算即可直接求出结果.
【详解】
因为，
所以.
故选：A.
13．B
【分析】
根据复数的运算法则，即可求解.
【详解】
由复数的运算法则，可得.
故选：B.
14．D
【分析】
先对化简，然后由虚部为零可求出的值
【详解】
解：因为为实数，
所以；
故选：D
15．C
【分析】
利用直接化简即可.
【详解】
，所以.
故选：C.
16．C
【分析】
利用除法运算化简，根据共轭复数定义得到,进而判定.
【详解】
=,
其共轭复数为,
在复平面上对应的点的坐标为,
故选：.
17．C
【分析】
利用虚数单位的幂的运算规律化简即得,然后利用共轭复数的概念判定.
【详解】
解：,
故选：C.
18．C
【分析】
利用复数的乘法运算法则化简后，计算模即可.
【详解】
，
,
故选：C.
19．C
【分析】
由题意可设z1＝a，结合复数求模的公式即可得出结果.
【详解】
解：因为z1∈R，可设z1＝a，且a∈R，
由z2＝1+i，得z1﹣z2＝（a﹣1）﹣i，
又因为|z1﹣z2|＝，
所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2，
解得a＝0或a＝2，
所以z1＝0或2．
故选：C．
20．D
【分析】
先求得，由此判断出正确选项.
【详解】
依题意，
，B错，
所以的虚部为，A错，
，C错，
，D正确.
故选：D
21．B
【分析】
利用复数的乘方法则化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
，则，则，故.
故选：B.
22．C
【分析】
根据题意写出复数，再求的模长.
【详解】
因复数在复平面内对应点的坐标为，则，
所以，
所以.
故选：C.
23．D
【分析】
设复数，根据题意可得，，即可解决.
【详解】
设复数，
∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为，
∴，，
∴．
故选:D.
24．C
【分析】
根据题设定义的欧拉公式写出的三角形式，由复数的几何性质写出的三角形式，进而求，即可知其虚部.
【详解】
由题意知：，而，
∴，即虚部为.
故选：C.
25．C
【分析】
直接把代入即可得．
【详解】
把代入可得，即．
故选：C．
复数
复平面
内的点
Z（a,b）
平面向量
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