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第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面 学案
一、学习目标
1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.
2.掌握并应用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面.
3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.
二、基础梳理
平面的基本性质
基本事实1
文字语言:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
图形语言:
符号语言:A,B,C三点不共线 存在唯一的平面使A,B,.
基本事实2
文字语言:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
图形语言:
符号语言:,,且,.
基本事实3
文字语言:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
图形语言:
符号语言:,,且.
利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可以得到下面三个推论.
推论1
文字语言:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
图形语言:
符号语言:点与A共面于平面,且平面唯一.
推论2
文字语言:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
图形语言:
符号语言:与b共面于平面,且平面唯一.
推论3
文字语言:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
图形语言:
符号语言:直线直线a,b共面于平面,且平面唯一.
三、巩固练习
1.若点A在直线a上,直线a在平面内,点B在平面内,则可以用符号表示为( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
2.如图,用符号语言可表示为( ).
A.,, B.,,
C.,,, D.,,,
3.下图中正确表示两个相交平面的是( )
A. B.
C. D.
4.下列结论中不正确的是( )
A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点
B.若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线
C.若点A既在平面内,又在平面内,则与相交于b,且点A在b上
D.任意两条直线不能确定一个平面
5.正方体中,P,Q,R分别是AB,AD,的中点,那么正方体中过P,Q,R的截面图形是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
6.如图所示,在四面体ABCD中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定( )
A.在直线BD上 B.在直线AB上 C.在直线BC上 D.都不对
7.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( ).
A. B.
C. D.
8.如图所示,在正方体中,O是的中点,直线交平面于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,不共面
C.A,M,C,O不共面 D.B,,O,M共面
9.如图,在底面是平行四边形的四棱锥中,O为AC,BD的交点,P,Q分别为,的重心.求证:S,P,O,Q四点共面.
10.如图所示的几何体中,,,,且,,.求证:直线,,相交于同一点.
11.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.
(1)求证:直线平面PQR;
(2)求证:点K在直线MN上.
12.如图所示,已知在正方体中,E,F分别为,的中点,,.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.
答案解析
1.答案:B
解析:点A在直线a上,直线a在平面内,点B在平面内,用符号表示为,,.故选B.
2.答案:A
解析:由题图可知,,,,,,故选A.
3.答案:D
解析:A中没有画出相交平面的交线,且不可见的线没有画成虚线;B中不可见的线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画;D中交线及实、虚线均正确.故选D.
4.答案:D
解析:由基本事实3可知,如果两个不重合的平面有一个公共点,则它们相交于过这一点的一条直线,有无数个公共点,故A正确;易知选项B正确;选项C符合基本事实3,故C正确;若两条直线平行或相交,则可以确定一个平面,故D错误.故选D.
5.答案:D
解析:由已知的三点P,Q,R,确定截面的一条边PQ,延长PQ交BC的延长线于一点,连接该点与点R即可得到与棱的交点M,利用基本事实3确定交线RM,PM,同样的方法找出其他交线,即可得到截面PONSRM如图所示.故选D.
6.答案:A
解析:直线EF和GH相交,设交点为M,平面ABD,平面CBD,
平面ABD,且平面CBD,平面平面,,即EF与HG的交点在直线BD上.故选A.
7.答案:D
解析:在A中,分别连接PS,QR,则,,Q,R,S共面;
在B中,过P,Q,R,S可作一正六边形,如图,故P,Q,R,S四点共面;
在C中,分别连接PQ,RS,则,,Q,R,S共面;
在D中,与为异面直线,,Q,R,S四点不共面.故选D.
8.答案:A
解析:连接,AC,则,所以,,C,A四点共面,所以平面,因为,所以平面.又因为平面,所以点M在平面与平面的交线上,同理点O在平面与平面的交线上,易知点A在平面与平面的交线上,所以A,M,O三点共线.故选A.
9.解析:如图,连接SP,SQ并延长,分别交AD,BC于点M,N,连接MN.
因为P,Q分别为,的重心,
所以M,N分别为AD,BC的中点,所以,
由棱锥的性质知点S,M,N不共线,
所以确定一个平面SMN,所以平面SMN,所以平面SMN,
又,,平面SMN,平面SMN,
所以平面SMN,平面SMN,
所以S,P,O,Q四点共面.
10.解析:,,
直线,在同一个平面内,并且它们相交,
设.①
,与确定一个平面,
平面,平面.
同理平面.
又平面平面,.②
由①②,可知,,三线共点,
即直线,,相交于同一点.
11.解析:(1)平面,直线,平面.
平面,直线,平面.
直线平面.
(2)直线,平面,平面.
由(1)知平面,在平面与平面的交线上,
同理可知N,K也在平面与平面的交线上,
,N,K三点共线,点在直线上.
12.解析:(1)连接,
是的中位线,,
在正方体中,,.
,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体中,
设点,A,C,确定的平面为,点B,D,E,F确定的平面为.
,.又,,
则Q是与的公共点,易知P也是与的公共点,.
又,,且,
,,Q,R三点共线.
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