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第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
学案
一、学习目标
1. 了解全概率公式和贝叶斯公式的概念；
2. 掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法；
3. 能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题.
二、基础梳理
1. 全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有______________.
2. 贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有______________，.
三、巩固练习
1.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A. B. C. D.
2.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为，若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A.0.2 B.0.8 C.0.3 D.0.7
4.甲小组有2个男生和4个女生，乙小组有5个男生和3个女生，现随机从甲小组中抽出1人放入乙小组，然后从乙小组中随机抽出1人，则从乙小组中抽出女生的概率是________.
5.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.3.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，那么一个被保险人在一年内出事故的概率为________.
6.设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂产品的次品率分别为2%，3%，5%.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为___________.
7.李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为________.
8.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.
9.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，已知第1车间生产产品的合格品率为0.85，第2车间生产产品的合格品率为0.88，两个车间生产的产品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1，2车间生产的产品的数量之比为.今有一客户从仓库中随机提一台产品，求该产品是合格品的概率.
10.学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
（2）学生知道正确答案的概率是0.2.
答案解析
基础梳理
巩固练习
1.答案：C
解析：设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式.
由题意，
所以.故选C.
2.答案：B
解析：该校一篮球运动员进行投篮练习，记“他第1球投进”为事件A，“他第2球投进”为事件B，由题知，，
又知，所以，
所以.故选B.
3.答案：B
解析：设B表示汽车中途停车修理，表示该车是货车，表示该车是客车，则，，，由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为.故选B.
4.答案：
解析：根据题意，记事件为从甲小组中抽出的1人为男生，事件为从甲小组中抽出的1人为女生，事件B为从乙小组中抽出的1人为女生，
则，
所以.
5.答案：0.175
解析：设事件表示“谨慎的”被保险人，表示“一般的”被保险人，表示“冒失的”被保险人，则构成了的一个划分，设事件A表示被保险人在一年内出事故，则由全概率公式得.
6.答案：0.0295
解析：设A表示“取到的是一件次品”，表示“取到的产品是由第家工厂生产的”，则，，，，，.
由全概率公式可得
7.答案：
解析：设事件B表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，A表示“花还活着”，由题意得，，
则.
8.答案：设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”，事件表示“射手是i级射手”().
显然，构成一完备事件组，
且，
.
由全概率公式得，
.
9.答案：设B表示从仓库中随机提出的一台产品是合格品，
表示从仓库中随机提出的一台产品是第i车间生产的，，
则.
由题意，知，，
，，
由全概率公式，得.
10.答案：（1）记事件A为“题答对了”，事件B为“知道正确答案”，
则按题意有.
此时有，
所以由贝叶斯公式得.
（2）此时有，
所以由贝叶斯公式得.

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