资源简介

平面向量的运算
【学习目标】
1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2．理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．
3．掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．
4．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法．
【学习重难点】
1．向量的正交分解．
2．平面向量的坐标．
【学习过程】
一、问题预习
预习教材，思考以下问题：
1．两个向量垂直如何定义？
2．一个向量如何正交分解？
3．向量的坐标定义是什么？
4．如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
5．如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？
二、新知探究
1．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．
（1）求向量a，b的坐标；
（2）求向量的坐标；
（3）求点B的坐标．
解：（1）作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin45°＝4×＝2，
所以A（2，2），故a＝（2，2）．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，
所以C，
所以＝＝，
即b＝．
（2）＝－＝．
（3）因为＝＋
＝（2，2）＋
＝．
所以点B的坐标为（2－，2＋）．
2．平面向量的坐标运算
（1）已知a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），则a＝________，b＝________．
（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
解：（1）由a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），
所以2a＝（1，3）＋（5，7）＝（6，10），
所以a＝（3，5），
2b＝（1，3）－（5，7）＝（－4，－4），
所以b＝（－2，－2）．
（2）法一（待定系数法）：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
可得＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），
所以＝3＝3（1，8）＝（3，24），
＝2＝2（6，3）＝（12，6）．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），x1＝0，y1＝20；
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），x2＝9，y2＝2，
所以M（0，20），N（9，2），
＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
法二（几何意义法）：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3（－），－＝2（－），
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2），
即点M（0，20），N（9，2），
故＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
3．判定直线平行、三点共线
（1）已知A，B，C三点共线，且A（3，－6），B（－5，2），若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为（ ）
A．－13 B．9
C．－9 D．13
（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：（1）选C．设C（6，y），因为∥，
又＝（－8，8），＝（3，y＋6），
所以－8×（y＋6）－3×8＝0，所以y＝－9．
（2）因为＝（1－（－1），3－（－1））＝（2，4），
＝（2－1，7－5）＝（1，2）．
又2×2－4×1＝0，所以∥．
又＝（2，6），＝（2，4），所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以AB∥CD．
4．已知平面向量共线求参数
已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：法一（共线向量定理法）：ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2），
a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4），
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ（a－3b）．
由（k－3，2k＋2）＝λ（10，－4），
所以解得k＝λ＝－．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－（a－3b），
因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．
法二（坐标法）：由题知ka＋b＝（k－3，2k＋2），a－3b＝（10，－4），
因为ka＋b与a－3b平行，
所以（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0，
解得k＝－．
此时ka＋b＝＝－（a－3b），
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
三、学习小结
1．平面向量的坐标
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称（x，y）为向量a的坐标，记作a＝（x，y）．
方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为（x，y）（通常记为A（x，y）），那么向量对应的坐标也为（x，y），即＝（x，y）；反之结论也成立．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
设平面上两个向量a，b满足a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＝b x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）．
设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝（ux1＋vx2，uy1＋vy2），ua－vb＝（ux1－vx2，uy1－vy2）．
如果向量a＝（x，y），则|a|＝．
4．向量平行的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b x2y1＝x1y2．
四、精炼反馈
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．a＝（0，0），b＝（2，3）
B．a＝（1，－3），b＝（2，－6）
C．a＝（4，6），b＝（6，9）
D．a＝（2，3），b＝（－4，6）
解析：选D．只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D．
3．已知两点A（2，－1），B（3，1），则与平行且方向相反的向量a可以是（ ）
A．（1，－2） B．（9，3）
C．（－2，4） D．（－4，－8）
解析：选D．由题意，得＝（1，2），所以a＝λ＝（λ，2λ）（其中λ＜0）．符合条件的只有D项，故选D．
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A（2，1），B（1，3），则点C的坐标为________．
解析：设C的坐标为（x，y），则由已知得＝，所以（x，y）＝（－1，2）．
答案：（－1，2）
5．已知点A（1，3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为________．
解析：＝（3，－4），则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝．
答案：
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