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第四章 因式分解
【学习目标】
1. 理解因式分解概念，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2. 掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等四种基本方法，并能进行因式分解；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【考点总结】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.21教育网
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
特别说明：落实好方法的综合运用： 首先 ( http: / / www.21cnjy.com )提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，直到每一项不能再分解为止。21cnjy.com
【例题讲解】
类型一、提取公因式
例1．
【答案】
【分析】
先提公因式2（m+n），再化简计算即可解答．
解：原式=2（m+n）[4(m+n)﹣（m﹣n）]
=2(m+n)(4m+4n﹣m+n)
=2(m+n)(3m+5n)．
【点拨】本题考查因式分解、合并同类项，熟练掌握用提公因式法分解因式的方法，找到公因式是解答的关键．
【训练】分解因式：
【答案】
【分析】原式先变形为，再利用提公因式法分解．
解：原式=
=
=．
【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
类型二、公式法
例2．分解因式：．
【答案】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：
∵
∴．
【点拨】本题考查了平方差公式、整式运算的知识；求解的关键是熟练掌握平方差公式进行分解因式，即可得到答案．21·cn·jy·com
【训练】因式分解；．
【答案】
【分析】利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可.
解:原式=
=
=
【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．2·1·c·n·j·y
例3、
【答案】
【分析】
先提公因式4，将（x+y）看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查了提公因式法和完全平方 ( http: / / www.21cnjy.com )公式法分解因式，解答的关键是掌握完全平方公式的结构特征，公式中的a、b可以表示数、字母，也可以是整式．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】分解因式：
（1）3x－12x3； （2）4m2＋2mn＋n2．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点拨】本题考查了利用提取公因式 ( http: / / www.21cnjy.com )法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．21·世纪*教育网
类型三、十字相乘法
例4．因式分解：
【答案】
【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
解：
=．
【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分 ( http: / / www.21cnjy.com )解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
【训练】
【答案】
【分析】先提公因式3mn，再利用十字相乘法分解因式即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键．
类型四、分组分解法
例5．因式分解：．
【答案】
【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．
解：原式=
=
=
=．
【点拨】本题考查了因式分解：分组 ( http: / / www.21cnjy.com )分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．www-2-1-cnjy-com
【训练】分解因式：．
【答案】
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．
解：
=
=
=．
【点拨】此题考查分解因式：分组分解法、提公因 ( http: / / www.21cnjy.com )式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．2-1-c-n-j-y
例6．分解因式 x2-y2-z2-2yz
【答案】
【分析】
原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可；
解： x2-y2-z2-2yz；
=
=；
=
【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．
【训练】因式分解：
【答案】
【分析】当被分解的式子是四项时 ( http: / / www.21cnjy.com )，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x的二次项，x的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x2-2x+1为一组．www.21-cn-jy.com
解：x2-y2-2x+1，
=-y2+（x2-2x+1），
=-y2+（x-1）2，
=（x+y-1）（x-y-1）．21*cnjy*com
【点拨】本题考查了分组分解法分解因 ( http: / / www.21cnjy.com )式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x的二次项，x的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．【来源：21cnj*y.co*m】
类型五、综合练习
例7．
（一）因式分解
（1）
（2）
（二）用简便方法计算
（1）
（2） ．
【答案】（一）（1）；（2）；（二）（1）；（2）
【分析】
（一）（1）根据提取公因式的方法分解即可；
（2）首先运用平方差公式分解，然后运用完全平方公式继续分解；
（二）（1）运用平方差公式解答便可；
（2）根据平方差公式计算即可．
解：（一）（1）原式；
（2）原式，
，
；
（二）（1）原式，
，
，
；
（2）原式，
，
．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公 ( http: / / www.21cnjy.com )式法进行因式分解以及平方差公式的应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟记公式是解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
例8.
【答案】
【分析】
运用完全平方公式、平方差公式进行计算．
解：原式
．
【点拨】本题考查完全平方公式、平方差公式，灵活变形应用平方差公式是关键．
【训练】利用分解因式计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用平方差公式运算；
（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可．
【详解】
（1）原式
（2）原式
【点拨】本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键．
类型六、因式分解的应用
例9．解答下列问题：
一正方形的面积是，则表示该正方形的边长的代数式是 ．
求证：当为正整数时， 能被整除．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可；
（2）原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
解：（1）∵，
该正方形的边长的代数式是，
故答案为：．
（2）证明：∵
=
=
∴原式能被8整除．
【点拨】本题考查了因式分解，是分解因式 ( http: / / www.21cnjy.com )的实际应用，要知道分解所得的因式在实际环境中所表示的意思．同时还考查了用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的结构特点需要熟记．
【训练】若a，b，c为的三边．
（1）化简：|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|；
（2）若a，b，c都是正整数，且a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，的周长．
【答案】（1）a﹣b；（2）9
【分析】
（1）根据三角形的三边关系化简即可；
（2）根据非负数的性质和三角形的三边关系化简即可得到结论．
解：（1）∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b＞0，
∴|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|＝a﹣b+c﹣c+a+b﹣a﹣b＝a﹣b；
（2）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝（a2﹣2a+1）+（b2﹣8b+16）＝（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∵a，b，c为△ABC的三边，
∴4﹣1＜c＜4+1，
∴3＜c＜5，
∵若a，b，c都是正整数，
∴c＝4，
∴△ABC的周长＝1+4+4＝9
【点拨】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键．
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