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2021－2022学年度第二学期期中质量检测
（北京师大）高二文科数学试题参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．A
11．C 12．D
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．10n－1 14．是实数 15．①②③ 16．②⑤④③①
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)
解:（1）.
又，且，
，，．
（2）为纯虚数，设
，.
18．(本小题满分12分)
解：关系式为，其中θ为侧面ABB1A1与侧面BCC1B1所成二面角的平面角．
证明：如图，作斜三棱柱的直截面DFE，则为面与面所成二面角的平面角，设为θ，在△DEF中有余弦定理：
，
同乘以，
得
即 .
19．(本小题满分12分)
解：出行前时间安排流程图如图所示.
这样需要50分钟，刚好可以赶上7:50的公共汽车，并来得及参加此次郊游.
20．(本小题满分12分)
解：将题目信息列表如下：
类别颜色 玻璃球 木质球
红色 2 3
蓝色 4 7
令事件A为任取一个球是蓝球，令事件B为任取一个球是玻璃球，显然事件AB为一个蓝色的玻璃球．
法一：由于任取一个球是等可能的，且A包含的基本事件数n(A)＝11，事件AB包含的基本事件数n(AB)＝4，故所求事件的概率P(B|A)＝.
法二：由题意可知P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝.
21．(本小题满分12分)
解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
（2）．
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（3）由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的调查方法会更好．
22．(本小题满分12分)
解：(1)证明：采用反证法. 若，即， 解得 ．
从而，与题设，相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、、…、.
(3) 证明：因为，又，
所以，
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.2021一2022学什度第学期期小质承检测
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高二文科数学试题
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第！卷〔选择题共60分)
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