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广西河池市环江县2020-2021学年八年级下学期期中测试数学试卷
一、单选题
1．（2021八下·环江期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．（2018·无锡）下列等式正确的是（　　）
A．（ ）2=3 B． =﹣3
C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3
3．（2020九上·米易期末）下列根式是最简二次根式的是 　　
A． B． C． D．
4．（2021八下·环江期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠﹣3
5．（2018八下·凤阳期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）．
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
6．（2021八下·环江期中）现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（　　）
A．米 B．米 C．米或米 D．米
7．（2021八下·环江期中）如图，一条橡皮筋分别固定在的端点，从的中点将橡皮筋向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
8．（2018·绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．（2021八下·环江期中）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（　　）
A．130° B．100° C．80° D．70°
10．（2020·邓州模拟）如图，在 中对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF,若EF=2，则BD的长为(...)
A．10 B．8 C．6 D．4
11．（2018·吉林模拟）如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
12．（2015八下·罗平期中）一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（　　）
A．9米 B．15米 C．5米 D．8米
二、填空题
13．（2018·镇江）计算： =　 　．
14．（2020八下·曾都期末）将二次根式 化为最简二次根式为　 　.
15．（2021八下·环江期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则=　 　.
16．（2019·常州）平面直角坐标系中，点 到原点的距离是　 　.
17．（2021八下·环江期中）已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800，则斜边长为　 　.
18．（2021八下·环江期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC、BD交于点O，则图中共有全等三角形　 　对.
三、解答题
19．（2021八下·环江期中）计算：.
20．（2021八下·环江期中）计算：+
21．（2021八下·环江期中）计算：.
22．（2021八下·环江期中）如图，AB∥CD，∠A=∠C，求证：AD=BC.
23．（2019·广安）如图，点E是 ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F， ，求 ABCD的周长．
24．（2021八下·环江期中）如图，直线，和的夹角，.求和之间的距离.
25．（2021八下·环江期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……
7，24，25； ，，.
请解答：
（1）当时，求，的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由.
26．（2021八下·环江期中）如图，，是四边形的对角线的三等分点，，的延长线分别平分，，交点分别为点，.
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可.
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、（ ）2=3，A符合题意；
B、 =3，B不符合题意；
C、 = ，C不符合题意；
D、（- ）2=3，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】二次根式的性质，一个数的算术平方根的平方等于它本身；一个负数的平方的算术根等于它的相反数；一个数的算术平方根的相反数的平方等于它本身；一个数的立方的算术平方根不等于它本身。
3．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A． ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
4．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
x+3≥0，
解得，；
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】A、12+22≠32，故不能组成直角三角形；
B、22+32≠42，故不能组成直角三角形；
C、32+42=52，故能组成直角三角形；
D、42+52≠62，故不能组成直角三角形；
故选C．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】①第三根铁棒为斜边时，其长度为：米；
②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：米.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①第三根铁棒为斜边时，②第三根铁棒的长为直角边时，利用勾股定理分别计算即可.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】点为的中点，根据题意，，
∴CD⊥AB
，
，
，
，
橡皮筋被拉长了cm.
故答案为：A
【分析】由题意可得CD垂直平分AB，即得AC=AB=4，利用勾股定理求出AD=5，从而求出AD+BD=10，根据AD+BD-AB即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故正确，A不符合题意；B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确，B不符合题意；
C.不是平行四边形的判定，故不能判定，C符合题意；
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形
∴
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ 是三角形ABO的中位线
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得 ，由已知条件可知 是三角形ABO的中位线，根据三角形中位线定理可得 ，从而推出 .
11．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，AD=BC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB
，∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
同理得出AB=AF，
∵AF+DE=AD+EF=2AB=12，
∴AD=BC=12-2=10.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为 =24m，
顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为 =15m，
15m﹣7m=8m．
故选D．
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．
13．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】
=
=2，
故答案为：2.
【分析】二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，再根据二次根式的性质化简即可。
14．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质： 解答.
15．【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：
解：
当时，与都是最简二次根式
故答案为：4.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式时同类二次根式，据此解答即可.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】作 轴于 ，则 ， .
则根据勾股定理，得 .
故答案为： .
【分析】根据点P的坐标可求出点P到x轴和y轴的距离，再利用勾股定理求出OP的长。
17．【答案】30
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为1800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为=900，
∴斜边长==30.
故答案是：30.
【分析】由于直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，且三边的平方和为1800，可得斜边的平方为三边平方和的一半，据此解答即可.
18．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABD和△CDB中，∵，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠BDC.
在△ABC和△CDA中，∵，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC.
在△AOB和△COD中，∵，∴△AOB≌△COD（ASA）.
在△AOD和△COB中，∵，∴△AOD≌△COB（ASA）.故答案为4.
【分析】根据SSS证明△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，根据ASA证明△AOB≌△COD，△AOD≌△COB.
19．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
20．【答案】解：原式＝
＝3﹣ +
＝3.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先进行二次根式的除法运算，再合并即可.
21．【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式先进行计算，再合并即可.
22．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）
∴四边形ABCD为平行四边形，（平行四边形的定义）
∴AD=BC.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 由平行线的性质可得∠A+∠D=180°， 由∠A=∠C可得∠C+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC ，根据平行四边形的定义即证.
23．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又 ，
．
∴平行四边形ABCD的周长为
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及已知条件判定三角形ADE与三角形FCE全等。根据对应边相等即可求出平行四边形ABCD的周长。
24．【答案】解：如图，过点作于点，
直线，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
两平行线和之间的距离为.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】 如图，过点作于点，由平行线的性质可得， 从而求出， 即得=45°，可得AD=BD，根据勾股定理可得， 据此求出BD=AB，即得结论.
25．【答案】（1）解：由，，，得
.
解得，
（2）解：是勾股数，
理由如下：
又，
，
，220，221是勾股数.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【分析】（1）根据表格中的勾股数可知，斜边与较大的直角边相差1，根据勾股定理可得 =
，据此求出a值；
（2）根据勾股定理公式进行验证即可.
26．【答案】（1）解：连接交于，连接，，
∵，是的三等分点
∴
是中点，
是的一条中位线，
，即，
同理：，
四边形是平行四边形.
∴，，
∴，即
（2）解：由（1）得：，
又，
，即
四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接交于，连接，， 由三等分点可得， 从而得出 GE是的一条中位线 ，可得，，同理求出 ，根据平行四边形的定义可证四边形是平行四边形，可得，，，从而得出结论；
（2） 由（1）得，，由可得，根据对角线互相平分即证四边形是平行四边形.
.
1 / 1广西河池市环江县2020-2021学年八年级下学期期中测试数学试卷
一、单选题
1．（2021八下·环江期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可.
2．（2018·无锡）下列等式正确的是（　　）
A．（ ）2=3 B． =﹣3
C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、（ ）2=3，A符合题意；
B、 =3，B不符合题意；
C、 = ，C不符合题意；
D、（- ）2=3，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】二次根式的性质，一个数的算术平方根的平方等于它本身；一个负数的平方的算术根等于它的相反数；一个数的算术平方根的相反数的平方等于它本身；一个数的立方的算术平方根不等于它本身。
3．（2020九上·米易期末）下列根式是最简二次根式的是 　　
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A． ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
4．（2021八下·环江期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠﹣3
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
x+3≥0，
解得，；
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
5．（2018八下·凤阳期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）．
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】A、12+22≠32，故不能组成直角三角形；
B、22+32≠42，故不能组成直角三角形；
C、32+42=52，故能组成直角三角形；
D、42+52≠62，故不能组成直角三角形；
故选C．
6．（2021八下·环江期中）现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（　　）
A．米 B．米 C．米或米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】①第三根铁棒为斜边时，其长度为：米；
②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：米.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①第三根铁棒为斜边时，②第三根铁棒的长为直角边时，利用勾股定理分别计算即可.
7．（2021八下·环江期中）如图，一条橡皮筋分别固定在的端点，从的中点将橡皮筋向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】点为的中点，根据题意，，
∴CD⊥AB
，
，
，
，
橡皮筋被拉长了cm.
故答案为：A
【分析】由题意可得CD垂直平分AB，即得AC=AB=4，利用勾股定理求出AD=5，从而求出AD+BD=10，根据AD+BD-AB即可求解.
8．（2018·绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故正确，A不符合题意；B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确，B不符合题意；
C.不是平行四边形的判定，故不能判定，C符合题意；
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定即可得出答案.
9．（2021八下·环江期中）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（　　）
A．130° B．100° C．80° D．70°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解.
10．（2020·邓州模拟）如图，在 中对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF,若EF=2，则BD的长为(...)
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形
∴
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ 是三角形ABO的中位线
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得 ，由已知条件可知 是三角形ABO的中位线，根据三角形中位线定理可得 ，从而推出 .
11．（2018·吉林模拟）如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，AD=BC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB
，∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
同理得出AB=AF，
∵AF+DE=AD+EF=2AB=12，
∴AD=BC=12-2=10.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.
12．（2015八下·罗平期中）一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（　　）
A．9米 B．15米 C．5米 D．8米
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为 =24m，
顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为 =15m，
15m﹣7m=8m．
故选D．
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．
二、填空题
13．（2018·镇江）计算： =　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】
=
=2，
故答案为：2.
【分析】二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，再根据二次根式的性质化简即可。
14．（2020八下·曾都期末）将二次根式 化为最简二次根式为　 　.
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质： 解答.
15．（2021八下·环江期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则=　 　.
【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：
解：
当时，与都是最简二次根式
故答案为：4.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式时同类二次根式，据此解答即可.
16．（2019·常州）平面直角坐标系中，点 到原点的距离是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】作 轴于 ，则 ， .
则根据勾股定理，得 .
故答案为： .
【分析】根据点P的坐标可求出点P到x轴和y轴的距离，再利用勾股定理求出OP的长。
17．（2021八下·环江期中）已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800，则斜边长为　 　.
【答案】30
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，
又∵已知三边的平方和为1800，则斜边的平方为三边平方和的一半，
即斜边的平方为=900，
∴斜边长==30.
故答案是：30.
【分析】由于直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，且三边的平方和为1800，可得斜边的平方为三边平方和的一半，据此解答即可.
18．（2021八下·环江期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC、BD交于点O，则图中共有全等三角形　 　对.
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABD和△CDB中，∵，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠BDC.
在△ABC和△CDA中，∵，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC.
在△AOB和△COD中，∵，∴△AOB≌△COD（ASA）.
在△AOD和△COB中，∵，∴△AOD≌△COB（ASA）.故答案为4.
【分析】根据SSS证明△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，根据ASA证明△AOB≌△COD，△AOD≌△COB.
三、解答题
19．（2021八下·环江期中）计算：.
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
20．（2021八下·环江期中）计算：+
【答案】解：原式＝
＝3﹣ +
＝3.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先进行二次根式的除法运算，再合并即可.
21．（2021八下·环江期中）计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式先进行计算，再合并即可.
22．（2021八下·环江期中）如图，AB∥CD，∠A=∠C，求证：AD=BC.
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）
∴四边形ABCD为平行四边形，（平行四边形的定义）
∴AD=BC.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 由平行线的性质可得∠A+∠D=180°， 由∠A=∠C可得∠C+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC ，根据平行四边形的定义即证.
23．（2019·广安）如图，点E是 ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F， ，求 ABCD的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又 ，
．
∴平行四边形ABCD的周长为
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及已知条件判定三角形ADE与三角形FCE全等。根据对应边相等即可求出平行四边形ABCD的周长。
24．（2021八下·环江期中）如图，直线，和的夹角，.求和之间的距离.
【答案】解：如图，过点作于点，
直线，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
两平行线和之间的距离为.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】 如图，过点作于点，由平行线的性质可得， 从而求出， 即得=45°，可得AD=BD，根据勾股定理可得， 据此求出BD=AB，即得结论.
25．（2021八下·环江期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……
7，24，25； ，，.
请解答：
（1）当时，求，的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由.
【答案】（1）解：由，，，得
.
解得，
（2）解：是勾股数，
理由如下：
又，
，
，220，221是勾股数.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【分析】（1）根据表格中的勾股数可知，斜边与较大的直角边相差1，根据勾股定理可得 =
，据此求出a值；
（2）根据勾股定理公式进行验证即可.
26．（2021八下·环江期中）如图，，是四边形的对角线的三等分点，，的延长线分别平分，，交点分别为点，.
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形.
【答案】（1）解：连接交于，连接，，
∵，是的三等分点
∴
是中点，
是的一条中位线，
，即，
同理：，
四边形是平行四边形.
∴，，
∴，即
（2）解：由（1）得：，
又，
，即
四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接交于，连接，， 由三等分点可得， 从而得出 GE是的一条中位线 ，可得，，同理求出 ，根据平行四边形的定义可证四边形是平行四边形，可得，，，从而得出结论；
（2） 由（1）得，，由可得，根据对角线互相平分即证四边形是平行四边形.
.
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