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北师大版初中数学重要知识点汇总
七年级和八年级数学重要知识点
1.平方根:如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
2．算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
3.无理数：无限不循环的小数。归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等
4.科学记数法：把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
1亿=，1万=。
5. ； ；
；
；；
6.因式分解 ：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
（1）提公因式法；（2）运用公式法：；；（3）分组分解法；（4）十字相乘法：
7.分式 1．分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
2.分式的运算法则
3.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
4.解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” 。解分式方程的一般方法：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母；
（2）解所得的整式方程；
（3）检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
8．二次根式（1）式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
（2）最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。计算的结果要化为最简二次根式。
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
（4）二次根式的性质
； ；
9. 平面直角坐标系中的点P(x,y)
（1）坐标轴上的点的特征：点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
（2）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
（3）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（4）关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
（5）点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：点P(x,y)到x轴的距离等于；点P(x,y)到y轴的距离等于
点P(x,y)到原点的距离等于
★★ 几何
1.线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。
2.连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
3.线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角的平分线判定定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
4.三角形全等的判定定理SAS；ASA；AAS ；SSS
直角三角形全等的判定：HL
5.折叠：折叠前后的两个图形是全等形；折痕垂直平分对应点的连线。
★等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称：三线合一）。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
★等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形；推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
★三角形中的中位线：连接形两边中点的线段（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
7.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余；可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（4）勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
（5）射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项
如图∠ACB=90°，CD⊥AB，
；；
（6）常用关系式
如图由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC
8.直角三角形的判定
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
★★统计初步与概率
★总体：考察对象的全体.个体：总体中每一个考察对象.样本：从总体中抽取的一部分个体.
样本容量：样本中个体的数目.
1.平均数
加权平均数： ,其中
2. 众数: 众数是一组数据中出现次数最多的数据.
3.中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序重新排列后，当数据个数
为偶数时，最中间两个数据的平均数是中位数，当数据个数为奇数时，处于最中间的那个数据是中位数.
数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量；
众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时注意数据的个数和大小顺序.
4. 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差. 极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大．
5. 方差：方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度，反映一组数据波动大小，稳定程度的量．方差越大则波动越大，越离散；方差越小则波动越小，越稳定．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2] ．
6.标准差：方差S2的算术平方根S.意义与方差相同.
一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
7. 一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，方差为 则的平均数为，方差为.
★1. 频数:各组内含有数据的个数.2.频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 称为事件A发生的频率.频率= ；所有频数和等于数据总数；所有对象的频率和为1.
3.统计图的特点（1）扇形统计图：能清楚地表示各部分在总量中的百分比.
各部分的百分比之各等于1；圆心角的度数=百分比 .
(2)条形统计图：能清楚地表示每个项目的具体数目. 各组数量之和等于抽样数据总数（样本容量）.
（3）频数分布直方图：能清楚地表示每个项目的具体频数.各组频数之和等于抽样数据总数（样本容量）；各组频率之和等于1；各组的频率 数据总数=相应组的频数.
（4）折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况.各对象数量之和等于抽样数据总数（样本容量）.
[温馨提示] 样本容量=各组频数之和 ； 样本容量=
样本估计总体：总中某组的数量=总体数量 样本中该组的百分比（或频率）
★ 1.确定事件和随机事件（1）确定事件：必然发生的事件；不可能发生的事件。（2）随机事件
2.求概率要先判断放回还是不放回。
★面积割补法:如图(1)、(2）在平面直角坐标系中，有定点
A（）,B() ，动点C在函数图象上运动。过动点C作轴交直线于，则的面积
（注意：过动点作平行于y轴直线与两定点所在直线相交）
★两点间距离公式： ,则
★中点公式：，则中点C
★,,若直线，则)
★已知，求线段AB的垂直平分线。（用如上两个知识点）
★等腰三角形：在平面直角坐标系中，解决等腰三角形的问题，可以用几何方法，也可用代数方法结合使用。
代数方法：在平面直角坐标系中，当动点在直线上时，解决等腰三角形的问题，可用代数方法：用两点间距离公式表示线段的长，再用分类讨论：.
当时，，即
当时，，即
当时，，即
★直角三角形：1.，P ,若,则,
即：+++=+
2.在直角顶点处构造“一线三直角图形”（ K型图）
3. 直线AB斜率公式
，若直线，则
★妙用中点公式搭建平行四边形解题链
求平行四边形存在性问题，可选定一个定点为中心点， 再以这个中心点分别与其它三个点作为平行四边形的相对的顶点-.
“将军饮马”模型：当点A, B在 直线m同侧，在直线m上取点P,使 最小.取A关于直线m的对称点 连结， 并与直线m交于点P，则 最小，点P就是将军饮马的地点.（ 一动两定：一个动点在直线上运动， 两个定点在直线的同旁）
知识点1: 两动两定
（一）已知点A、B位于直线m、n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
（二) 己知两定点A、B ，在直线m上有两动点P、Q，且 ,分别找两动点P、Q，使AP+PQ+QB+AB最小.( PQ是滑动定值线段)解析：过A点作AE∥m,且AE=PQ，作点B关于直线m的对称点 ，连接BE交直线m于Q,点Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点.
（三）已知两定点A、B 及直线m、n，且m //n , ,确定点C ,D的位置，使 最小.
解析：过A作 ,且AE等于两平行直线m、n间的距离，连结BE交直线n于点C,作 于D,连结AD,则最小.
★相交弦定理、割线定理和切割线定理(运用时，要证明)
（1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图①，即：PA·PB = PC·PD
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB = PC·PD
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB
★圆内接四边形每个外角等于它的内对角（(运用时，要证明)
★构造“一线三直角图形”的基本思想是化归为基本图形.在平面直角坐标系中，构造“一线三直角图形”的作用是运用相似求线段的长（从而根据线段的长求点的坐标）.当一个直角位于平面直角坐标系中任何一个位置时，根据解题需要，可过直角顶点作平行于x轴或行于y轴的直线，构造“一线三直角图形”.常以坐标轴上的已知为直角顶点构“一线三直角图形”
一线三直角图形
九年级数学知识点
一、一元二次方程：
（1）叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
（2）求根公式：x =
（3）根的个数：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根。
(4)方程的两个实数根为，则
二、函数
1．一次函数：图象为直线；y = kx + b (k≠0)，当b = 0时，y = kx(k≠0)为正比例函数，
k＞0，y随x增大而增大；k＜0，y随x增大而减小．
sinα cosα tanα
30
45 1
60
2.三角函数
（1）正弦：余弦
正切:
（2）俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
3.反比例函数：或或
（1）图象：双曲线；
k＞0，图像在一、三象限，在每象限内y随x增大而减小；
k＜0，图像在二、四象限，在每象限内，y随x增大而增大．
（2）k的几何意义:(如图)
4.二次函数（1）二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)
二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；顶点坐标（h,k）,平移左加右减，上加下减
二次函数的交点式（两根式）y=a(x-x1) (x-x2) ，其中与x轴交点坐标为(x1,0),(x2,0)
（2） 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： （见左下图）
(3) 二次函数的y=a(x-h)2+k 平移：左加右减
把二次函数y=a(x-2)2-3先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得y=a(x+1)2-5
三、几何★★相似三角形
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
2.相似三角形的判定：
判定定理1：两角分别相等，两三角形相似。判定定理2：两边成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：三边成比例，两三角形相似。
3.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
★★四边形1.n边形内角和(n– 2)· 180°，外角和为360°设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质
S平行四边形=底边长×高=ah；S矩形=长×宽=ab；S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半；
设正方形边长为a，对角线长为b；S正方形=
3.中点四边形：顺次连结各边中点得平行四边形；
顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形；顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形.
顺次连结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点得正方形
4.黄金分割：
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.
★★圆 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：圆内接四边形的对角互补。
4. 不在同一直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。
三角形的内心：是三角形的三条内角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。
5. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
常用技巧：★证明直线与圆相切有两种方法：
（1）若要证的直线与圆有公共点，运用切线的判定定理，“连半径，证垂直”；
（2）若要证的直线与圆没有公共点，过圆心作直线的垂线段，运用“直线与圆相切”即“作垂直，证半径．
★已知切线和切点，连结圆心和切点，构造直角三角形或互余角．
★巧构直径所对的圆周角，或通过作直径构造直角三角形
6.切线长定理
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
7.弧长和扇形面积 （1）弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
（2）扇形面积公式：
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
图1
图2
A
C
B
D
图1
图2
仰角
俯角
北
东
西
南
α
h
l
i
i=h:l=tanα
左同右异
平行四边形判定
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
菱形的判定
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
定理1：四边都相等的四边形是菱形
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
矩形的判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
正方形的判定
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
定理1：有一个直角的菱形是正方形
定理2：对角线相等的菱形是正方形
定理3：有一组邻边相等的矩形是正方形
定理4：对角线互相垂直的的矩形是正方形
图3
图1
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北师大版初中数学重要知识点汇总
七年级和八年级数学重要知识点
1.平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。一个数有两个
平方根，他们互为相反数：零的平方根是零：负数没有平方根。正数a的平方根记做“士√a”。
2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“√a”。正数和零的算术平方根都
只有一个，零的算术平方根是零。
3无理数：无限不循环的小数。归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数，如√7,2等：
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数；(3)有特定结构的数，如0.1010010001…
等：
(4)某些三角函数，如sin60°等
4.科学记数法：把一个数写做士a×10”的形式，其中1≤a<10,n是整数，这种记数法叫做科学记
数法。
1亿=103,1万=104。
5.
am·a”=am+"(m,n都是正整数)
(am)n=amn(m,n都是】；
=6,(n为整数)：
(ab)”=ab"(n都是正整数)
am÷an=am-n(m,n都是正整数，a≠0)
(a+b)(a-b)=a2-b2:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2
a=1a+0a号(a≠0，p为正整数)
6.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
(1)提公因式法：(2)运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b):a2+2ab+b2=(a+b)2:
a2-2ab+b2=(a-b)2(3)分组分解法：(4)十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
7.分式1.
分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，AB就可以表示成A的形式，如果B中
B
含有字母，式子合就叫做分式。
B
2.分式的运算法则
2x-c日÷；-8×-a0:(得”-(n为整数)a±-a士D;8±-ad土n
bd bd'b d bc bc'
b
cc c'bd bd
3.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
4.解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。解分式方程的一般方法：
(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母：
(2)解所得的整式方程：
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wwu.
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(3)检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方
程的根。
8.二次根式(1)式子√a(a≥0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“V”;被
开方数a必须是非负数。
(2)最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。计算的结果要化为最简二次根式。
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫
做同类二次根式。
(4)二次根式的性质
(Wa)2=a(a≥0)：Vab=Va6(a≥0，b≥0)：
aa
-(a≥0，b≥0)
a(a20)
va2 =a=
-a(a<0)
9.平面直角坐标系中的点P(x,y)
(1)坐标轴上的点的特征：点P(X,y)在x轴上一y=0,x为任意实数
点Px,y)在y轴上台X=0,y为任意实数
点P(x,y)既在×轴上，又在y轴上台×，y同时为零，即点P坐标为(O,O)
(2)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上一x与y相等
点PX,y)在第二、四象限夹角平分线上一x与y互为相反数
(3)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于×轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
(4)关于×轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p'关于x轴对称一横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p'关于y轴对称一纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p'关于原点对称一横、纵坐标均互为相反数
(5)点到坐标轴及原点的距离
点P(X,y)到坐标轴及原点的距离：点P(X,y)到×轴的距离等于y；点P(X,y)到y轴的距离等于
点Px,y)到原点的距离等于√x2+y2
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