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数学（人教版）
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
（1）这是几元几次方程组？
（2）求解的思想是什么？
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
①
消元
二元一次方程组
加减法或代入法
解方程组：
②
回顾旧知
探究新知
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
解:上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
x+y+z=23
x-y=1
2x+y-z=20
(甲、乙、丙三数的和是23)
(甲数比乙数大1)
(甲数的两倍与乙数的和比丙数大20)
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中：
（1）方程组中含有三个未知数；
（2）每个方程中含有未知数得项的次数都为1；
（3）方程组中一共有三个方程。
像这样含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。.
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
总结归纳
我们能解这个三元一次方程组吗？
探究新知
x+y+z=23 ①
x-y=1 ②
2x+y-z=20 ③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
解上面的方程组时，你能先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？
（先独立思考，再进行小组讨论，由学生代表回答思考所获）
解：由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8,z=6
把y=8代入④，得x=9
所以原方程的解是
x=9
y=8
z=6



类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
探究新知
解方程组
①
③
②
解: ③ - ②，得
① + ④，得
∴
④
所以,原方程组的解是
把 x=1 代入方程①、③，分别得
小试牛刀
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
总结归纳
巩固提高
用你学到的方法解方程：
观察（2）,此方程组与前面不一样，三个方程都不缺“谁”，消谁好，用什么方法消？
x+y+z=26 ①
2x-y+z=18 ②
x-y=1 ③
x+y+z=10 ①
2x+3y+z=17 ②
3x+2y-z=8 ③
（2）
（1）
例1 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
合作探究
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
合作探究
例2 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字
分别为x、y、z.由题意，得
解得
原三位数是368.
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或“加减”进行 消元
三元
一次方程组
二元
一次方程组
一元
一次方程
消元
消元
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
D
A.
B.
C.
D.
当堂检测
2．解下列三元一次方程组 .
当堂检测
3.已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．
4
－4
6
4. 若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值。
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
当堂检测
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元和5元的纸币各多少张？
解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，由题意可得方程组
解方程组得
x=8
y=2
z=2
答：1元、2元、5元的纸币分别为8张、2张、2张.
当堂检测
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8.4 三元一次方程组的解法
一、单选题
1．如果方程组的解使代数式，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：
①-②得：x-z=2④，
③+④得：2x=6，
解得：x=3，
将x=3代入④得：z=1，
将z=1代入②得：y=5，
解得
代入中得：
解得：
故选：C
2．下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；
B、含未知数项的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项错误；
C、未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故C选项错误；
D、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；
故选：A
3．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
【答案】A
【解析】
解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①②．
故选：．
4．设，，…，是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中有（ ）个0．
A．163 B．164 C．170 D．171
【答案】D
【解析】
解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2020+1）2=4007，
a12+2a1+1+a22+2a2+1+…+a20202+2a2020+1=4007，
（a12+a22+…+a20202）+2（a1+a2+…+a2020）+2020=4007，
∵a1+a2+…+a2020=69，
∴a12+a22+…+a20202=1849，
设a1，a2，…，a2020中1有x个、0有y个，-1有z个，
根据题意可得：1 x+0 y+（-1） z=69，12 x+02 y+（-1）2 z=1849，
即，解得：，
则y=2020-959-890=171，即0有171个，
故选：D．
5．已知是方程组的解，则、间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：把代入方程组可得：
，
②×2-①×3得：；
故选A．
二、填空题
6．在代数式中，当，1，2时，代数式的值依次是4，2，4，则当时，代数式的值等于______．
【答案】8
【解析】
解：由题意得，
②﹣①得2b＝﹣2，
解得：b＝﹣1，
③﹣①得3a+3b＝0，
即：a+b＝0，
把b＝﹣1代入a+b＝0，得：a＝1，
把a＝1，b＝﹣1代入①得：c＝2，
∴ax2+bx+c＝x2﹣x+2，
当x＝﹣2时，
x2﹣x+2＝（﹣2）2﹣（﹣2）+2
＝4+2+2
＝8，
故答案为：8．
7．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，则______．
【答案】31
【解析】
解：根据题意得：
，
解得：a=6，b=-11，c=3．
∴a-2b+c=31．
故答案为：31．
8．方程组的解满足，则___________．
【答案】
【解析】
解：∵x＋y＝0，
∴x＝ y，代入方程组得： ，
解方程组得： ．
故答案是： 5．
9．三个有理数从小到大排列为a、b、c，每两个数相加，和为﹣1、3、6，则a=_____．
【答案】-2
【解析】
解：根据题意得：
，
三式相加得2a+2b+2c=8，
解得a+b+c=4④，
④-③得，a=-2．
故答案为：-2．
10．为迎接“五一节”的到来，某水果店推出了A、B、C三类礼包，已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成，每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和．每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓；每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓．已知A每袋成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的；每袋C礼包利润率为．若该网店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为4:6:5，则当天该水果店销售总利润率为__________．
【答案】25%
【解析】
解：设每袋苹果、芒果、草莓三种水果的成本分别为x、y、z，依题意得：
5x+2y+8z=15x，
∴5x=y+4z，
由甲礼包的利润率为30%，则甲礼包的售价为15x =9.5x，成本15x；
∵每袋乙的成本是其售价的，利润是每袋A利润的，
可知每袋乙礼包的利润是4.5x×=2x，
则乙礼包的售价为12x，成本为10x；
由丙礼包的组成可知，丙礼包的成本为7x+y+4z=12x，
∵每袋丙礼包利润率为25%，
∴丙礼包的售价为15x，成本为12x；
∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，
∴，
∴总利润率是25%，
故答案为25%．
三、解答题
11．解方程组：．
【答案】
解：
①+②得，解得，
③-①得，即，解得，
将代入①得，
解得，
故方程组的解为．
【解析】
本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程的方法是解题的关键．
12．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
解：当y＝0时，x＝5；
当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；
当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或；
(2)
解：有．
，
②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，
∴6﹣2y≥0，解得y≤3，
∴y＝0、1、2，3，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，
∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或．
【解析】
（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求；
（2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解．
13．在我校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：
原价（元）
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？
（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名人名言》书买了　 　本．（直接写出答案）
【答案】
解:(1)设《中国历史故事》买了x本，《名人名言》买了y本，
由题意得，
解得．
答：《中国历史故事》买了5本，《名人名言》买了15本；
（2）设三种书分别是x本、y本、z本，由题意得
消去z得20x﹣4y＝﹣40
∴y＝5x+10
∵x、y都是正整数，
∴．
故答案是：15．
【解析】
(1)设《中国历史故事》买了x本，《名人名言》买了y本，等量关系有两个：《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱；
(2)设三种书分别是x本、y本、z本，依据等量关系：三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，列方程即可．
14．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
【答案】
解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得：
，
解得．
答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．
【解析】
本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解。本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰好相反，平路不变．
15．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝　 　，x＋y＝　 　；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【答案】
解：（1）．
由①②可得：，
由①②可得：．
故答案为：；5．
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由①②可得，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：，
由①②可得：，
即．
故答案为：．
【解析】
（1）利用①②可得出的值，利用①②可得出的值；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由①②可得除的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由①②可得出的值，即的值．
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8.4 三元一次方程组的解法
一、单选题
1．如果方程组的解使代数式，则的值（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
4．设，，…，是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中有（ ）个0．
A．163 B．164 C．170 D．171
5．已知是方程组的解，则、间的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．在代数式中，当，1，2时，代数式的值依次是4，2，4，则当时，代数式的值等于______．
7．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，则______．
8．方程组的解满足，则___________．
9．三个有理数从小到大排列为a、b、c，每两个数相加，和为﹣1、3、6，则a=_____．
10．为迎接“五一节”的到来，某水果店推出了A、B、C三类礼包，已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成，每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和．每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓；每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓．已知A每袋成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的；每袋C礼包利润率为．若该网店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为4:6:5，则当天该水果店销售总利润率为__________．
三、解答题
11．解方程组：．
12．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
13．在我校艺术节的各项比赛中，七年级（1）班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，林老师特意到瑞安书城买书给学生作为奖励，书城二楼专设8折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：
原价（元）
中国历史故事 50
名人名言 20
幻夜 25
（1）若林老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共20本，共付了440元钱，请求出这两种书林老师各买了多少本？
（2）若林老师买了以上三种书（每种都有）20本，共付了360元钱，其中《名人名言》书买了　 　本．（直接写出答案）
14．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
15．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝　 　，x＋y＝　 　；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
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