资源简介

平面向量的应用
【第一学时】
学习重难点 学习目标 核心素养
向量在平面几何中的应用 会用向量方法解决平面几何中的平行、 垂直、长度、夹角等问题 数学建模、逻辑推理
向量在物理中的应用 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题 数学建模、数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？
二、合作探究
探究点1：
向量在几何中的应用
角度一：平面几何中的垂直问题
　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）．
因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE．
角度二：平面几何中的平行（或共线）问题
　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋
＝－m＋（m＋n）＝m＋n，
＝＋＝＋
＝（m＋n）－m＝m＋n．
所以＝．
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度三：平面几何中的长度问题
　如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
探究点2：
向量在物理中的应用
　（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
（2）已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功．
解：（1）如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12．5．
||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．
（2）设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s．
因为＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．
所以W1＝F1·＝（3，4）·（－13，－15）
＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），
W2＝F2·＝（6，－5）·（－13，－15）
＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．
三、学习小结
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
2．向量在物理学中的应用
（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ（θ为F与s的夹角）．
四、精炼反馈
1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（　　）
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2（m/s）．
2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（　　）
A．（－1，－2） B．（1，－2）
C．（－1，2） D．（1，2）
解析：选D．由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）．
3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB．
证明：设＝λ（λ＞0且λ≠1），因为＝－＝＋－＝＋（－）
＝＋[（－）－（＋）]
＝＋（－）
＝（＋）＝（－λ＋1），
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB．
【第二学时】
学习重难点 学习目标 核心素养
余弦定理 了解余弦定理的推导过程 逻辑推理
余弦定理的推论 掌握余弦定理的几种变形公式及应用 数学运算
三角形的元素及解三角形 能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题 数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．余弦定理的内容是什么？
2．余弦定理有哪些推论？
二、合作探究
探究点1：
已知两边及一角解三角形
　（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（　　）
A．4 B．
C． D．2
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（　　）
A． B．
C．2 D．3
解析：（1）因为cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A．
（2）由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，
因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，
所以b＝3．故选D．
答案：（1）A
（2）D
互动探究：
变条件：将本例（2）中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b为何值？
解：由余弦定理得：
a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以22＝b2＋（2）2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．
探究点2：
已知三边（三边关系）解三角形
　（1）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为（　　）
A．90° B．120°
C．135° D．150°
（2）在△ABC中，若（a＋c）（a－c）＝b（b－c），则A等于（　　）
A．90° B．60°
C．120° D．150°
解析：（1）在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，
所以最大角为B，最小角为A，
所以cos C＝＝＝，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°．故选B．
（2）因为（a＋c）（a－c）＝b（b－c），所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝．因为A∈（0°，180°），所以A＝60°．
答案：（1）B
（2）B
探究点3：
判断三角形的形状
　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
解：将已知等式变形为
b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccos Bcos C．
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b2－c2
＝2bc××，
所以b2＋c2＝＝＝a2．
所以A＝90°．所以△ABC是直角三角形．
三、学习小结
1．余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos__A b2＝a2＋c2－2accos__B c2＝a2＋b2－2abcos__C
2．余弦定理的推论
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝．
3．三角形的元素与解三角形
（1）三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
（2）解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
四、精炼反馈
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（　　）
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B．cos B＝＝＝．
所以B＝60°，所以A＋C＝120°．
2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（　　）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，所以A＝60°．
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．
解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°，
即c2＝a2＋b2－ab．①
又因为（a＋b）2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4．②
由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝．
答案：
4．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＋c2（c2－a2－b2）＝0，
展开整理得（a2－b2）2＝c4．
所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
【第三学时】
学习重难点 学习目标 核心素养
正弦定理 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦 定理的内容及其证明方法 逻辑推理
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？
2．正弦定理的内容是什么？
二、合作探究
探究点1：
已知两角及一边解三角形
　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．
由＝得a＝＝10×＝10．
因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5．
探究点2：
已知两边及其中一边的对角解三角形
　已知△ABC中的下列条件，解三角形：
（1）a＝10，b＝20，A＝60°；
（2）a＝2，c＝，C＝．
解：（1）因为＝，
所以sin B＝＝＝>1，
所以三角形无解．
（2）因为＝，所以sin A＝＝．
因为c＞a，所以C＞A．所以A＝．
所以B＝，b＝ ＝＝＋1．
互动探究：
变条件：若本例（2）中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B，b．
解：因为＝，所以sin C＝＝．
所以C＝或．
当C＝时，B＝，b＝＝＋1．
当C＝时，B＝，b＝＝－1．
探究点3：
判断三角形的形状
　已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
答案：A
变条件：若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC的形状．
解：由bsin B＝csin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，
所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．
三、学习小结
1．正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝
文字 叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
（2）sin A＝，sin B＝，sin C＝；
（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
（4）＝2R．
四、精炼反馈
1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（　　）
A． B．
C． D．
解析：选B．由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝＝．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（　　）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D．已知c－acos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【第四学时】
学习重难点 学习目标 核心素养
测量中的术语 理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义 直观想象
测量距离、高度、角度问题 会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题 数学建模
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是基线？
2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？
3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？
二、合作探究
探究点1：
测量距离问题
　海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．
解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，
由正弦定理，可得＝，
所以BC＝×10＝5（海里）．
答案：5海里
互动探究：
变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？
解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300．故BC＝10．
即B，C间的距离为10海里．
探究点2
测量高度问题
　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100（m）．
答案：100
互动探究：
变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．
解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，
∠CBE＝75°，BC＝300，
所以CE＝BC·sin∠CBE
＝300sin 75°
＝300×
＝150＋150．
所以tan α＝＝＝．
探究点3：
测量角度问题
　岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．
（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？
（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，
所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，
在△ABC中，由＝，
得AB＝＝＝＝5．
所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 海里处．
（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝10t，CD＝10t，
又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，
所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·，
所以2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－（舍去）．
所以CD＝10，所以BC＝CD，
所以∠CBD＝（180°－120°）＝30°，
所以∠ABD＝75°＋30°＝105°．
所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．
（或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）
三、学习小结
1．基线
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
2．基线与测量精确度的关系
一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
3．实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
四、精炼反馈
1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的（　　）
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上
解析：选C．如图所示．
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（　　）
A．100米 B．50（＋1）米
C．100（＋1）米 D．200米
解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x．
在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝AB＝x．
因为BD－BC＝CD，所以x－x＝200，
解得x＝100（＋1）．故选C．
3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝（　　）
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得＝，所以sin α＝sin β．又cos α＝ cos β，sin2 α＋cos2 α＝1，解得sin β＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos（α＋β）＝－＝0，代入①解得v＝100．
4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．
解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC＝12t，BC＝12t，∠ABC＝120°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin∠BAC＝，所以∠BAC＝30°，
所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝，航行的方向为北偏东75°．
即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．
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