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2022年四川省资阳市安岳县中考数学一诊试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的．）
1．（4分）3的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a a3＝a3 B．a6÷a2＝a3
C．2a+3a＝5a2 D．（ab2）3＝a3b6
3．（4分）如图，是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．④ B．③ C．② D．①
4．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝55°，∠A＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
5．（4分）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出：2022年国内生产总值增长5.5%左右；城镇新增就业1100万人以上．请将数“1100万”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×106 C．1.1×107 D．11×106
6．（4分）“生命在于运动！”爱好运动的芮芮同学利用“微信运动”这一公众号，连续记录了8天每天的步数（单位：万步）分别为：1.6，1.3，1.4，1.7，1.4，a，1.8，1.6．若这组数据的众数为1.4，则这组数据的中位数是（ ）
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，若BC＝BD，∠OCD＝14°，则∠D的度数为（ ）
A．34° B．36° C．37° D．38°
8．（4分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣5）2﹣1 B．y＝2（x﹣5）2+1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x﹣1）2+1
9．（4分）如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点E、F分别是边AB、BC上一动点，将△BEF沿EF折叠，若点B恰好落在AD边上的点G处，设EF＝x，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题．（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）抛一枚质地均匀的硬币，前2次都是反面朝上，则抛第3次时反面朝上的概率是 ．
13．（4分）若点P（a，b）在直线y＝2x﹣1上，则代数式8﹣4a+2b的值为 ．
14．（4分）如图，多边形ABCDE为正五边形，则∠ACB的度数为 ．
15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ．
16．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AC于点E，若，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）先化简，再求值：，其中a＝3．
18．（10分）“和平和发展是当今时代的主题！”热爱和平的小月为了了解我县城居民对“俄乌战争”的关注情况，采用随机抽样调查的方式，并将收集到的信息分为四种程度：A（实时关注）；B（关注较多）；C（关注较少）；D（不关注），绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请回答下列问题：
（1）求此次调查的居民人数，并补全条形统计图；
（2）求“A”种程度所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若“D”种程度中有2名男性和3名女性，从中随机抽取2名进行深入了解，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率．
19．（10分）2022年6月，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行，与吉祥物——“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫公仔双肩背包和“蓉宝”吉祥熊猫斜挎包这两种纪念品深受青少年的喜爱．已知购进2个双肩背包比购进1个斜挎包多用20元；购进2个双肩背包和1个斜挎包共用80元．
（1）求双肩背包和斜挎包的进货单价；
（2）该商店计划购进这两种包共50个，总费用不超过1400元，并以1个双肩背包40元、1个斜挎包60元出售．应如何进货，才能使售完后获利最大，最大利润是多少？
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，O为BD的中点，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，∠BEF＝∠DEF．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）若DF＝5，EF＝6，求CD的长．
21．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，且A（﹣2，3），B（6，n）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）连结AO并延长交双曲线于点D，连结BD，求△ABD的面积．
22．（11分）如图，一天，我国A、B两舰队在南海某海域进行例行训练，B舰队在A舰队的正东方向．突然，B舰队发现在它北偏东45°方向上相距海里的P处有一货轮遇险发出求救信号，同时A舰队测得P在A的北偏东55°方向上．
（1）求A、B两舰队的距离；
（2）此时A舰队发现在它正北方向海里的Q处有一艘救援船，并立即委派它前往营救，其航行速度为40海里/小时，求救援船到点P处所需的最短时间．
（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，sin55°≈1.4）
23．（12分）探究发现：
（1）如图1，E是线段AB上一点，若∠A＝∠B＝∠CED，则△ACE∽△BED．请证明．
灵活运用：
（2）如图2，在四边形ABCD中，E是AD上一点，∠BAD＝∠BEC＝∠ADC＝120°，AB＝CD＝2，BE：CE＝1：2，求tan∠ADB的值．
拓展延伸：
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝10，，D为AB的中点，E是BC上一点，当∠AED＝45°，∠AEB＞90°时，求BE的长．
24．（13分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC．
①如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD．设△BCP的面积为S1，△ODE的面积为S2，若S＝S1﹣S2，求S的最大值；
②如图2，已知∠PBC+∠ACO＝45°，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标．
2022年四川省资阳市安岳县中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的．）
1．（4分）3的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】直接根据绝对值的意义求解．
【解答】解：|3|＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a a3＝a3 B．a6÷a2＝a3
C．2a+3a＝5a2 D．（ab2）3＝a3b6
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a a3＝a4，故A不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故B不符合题意；
C、2a+3a＝5a，故C不符合题意；
D、（ab2）3＝a3b6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（4分）如图，是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．④ B．③ C．② D．①
【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走的正方体是③，余下几何体与原几何体的主视图相同，．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
4．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝55°，∠A＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【分析】根据平行线的性质得出∠3，进而利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵∠1＝∠4＝55°，∠A＝25°，
∴∠3＝∠A+∠4＝55°+25°＝80°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝80°，
故选：A．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
5．（4分）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出：2022年国内生产总值增长5.5%左右；城镇新增就业1100万人以上．请将数“1100万”用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×106 C．1.1×107 D．11×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1100万＝11000000＝1.1×107．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
6．（4分）“生命在于运动！”爱好运动的芮芮同学利用“微信运动”这一公众号，连续记录了8天每天的步数（单位：万步）分别为：1.6，1.3，1.4，1.7，1.4，a，1.8，1.6．若这组数据的众数为1.4，则这组数据的中位数是（ ）
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7
【分析】根据众数求出a的值，再求中位数即可．
【解答】解：∵这组数据的众数为1.4，
∴a＝1.4，
∴将这组数据排好顺序为：1.3，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.7，1.8，
∴中位数为＝1.5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，若BC＝BD，∠OCD＝14°，则∠D的度数为（ ）
A．34° B．36° C．37° D．38°
【分析】设AB与CD交于点E，根据已知可得＝，从而利用垂径定理可得∠OEC＝90°，进而求出∠COB的度数，然后再根据圆周角定理可求出∠D的度数．
【解答】解：设AB与CD交于点E，
∵BC＝BD，
∴＝，
∴OB⊥CD，
∴∠OEC＝90°，
∵∠OCD＝14°，
∴∠COB＝90°﹣∠OCD＝76°，
∴∠D＝∠COB＝38°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
8．（4分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣5）2﹣1 B．y＝2（x﹣5）2+1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x﹣1）2+1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为y＝2（x﹣3+2）2+2﹣3，即：y＝2（x﹣1）2﹣1．
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
9．（4分）如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理求出AD＝5，证明△DCO∽△DBA，得出，设OC＝OB＝x，由比例线段求出x即可得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵AB，AD与⊙O相切，
∴∠ABO＝∠DCO＝90°，
∵AB＝3，BD＝4，
∴AD＝＝＝5，
∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠ABD，
∴△DCO∽△DBA，
∴，
设OC＝OB＝x，
∴，
∴x＝，
故选：D．
【点评】此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明△DCO∽△DBA是解题的关键．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点E、F分别是边AB、BC上一动点，将△BEF沿EF折叠，若点B恰好落在AD边上的点G处，设EF＝x，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意分两种情况画图讨论：①当点F在C点，将△BEF沿EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点G处，此时EF最小，根据折叠的性质得CG＝BC＝10，BE＝GE，在Rt△DCG中，利用勾股定理计算出DG＝6，则AG＝4，设BE＝t，则EG＝t，AE＝8﹣t，在Rt△AEG中，根据勾股定理得t＝5，然后求出EF；②当点E在A点，将△BEF沿EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点G处，此时EF最大，由折叠可知：四边形ABFG是正方形，根据勾股定理求出EF，进而得到x的取值范围．
【解答】解：当点F在C点，将△BEF沿EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点G处，此时EF最小，如图，
由折叠可知：CG＝BC＝10，BE＝GE，
在Rt△DCG中，DC＝8，
∴DG＝＝6，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣6＝4，
设BE＝t，则EG＝t，AE＝8﹣t，
在Rt△AEG中，
∵AE2+AG2＝EG2，
∴（8﹣t）2+42＝t2，
解得t＝5，
∴BE＝t＝5，
∴EF＝＝＝5；
∴此时EF的长为5；
②当点E在A点，将△BEF沿EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点G处，此时EF最大，
由折叠可知：四边形ABFG是正方形，
∴AB＝BF＝8，
∴EF＝＝8，
∴x的取值范围为5≤x≤8．
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题．（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：＝ 1 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣2+2+1
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
12．（4分）抛一枚质地均匀的硬币，前2次都是反面朝上，则抛第3次时反面朝上的概率是 ．
【分析】投掷一枚硬币，是一个随机事件，可能出现的情况有两种：反面朝上或者反面朝下，而且机会相同．
【解答】解：第3次掷硬币，出现反面朝上的机会和朝下的机会相同，都为；
故答案为：．
【点评】此题考查概率的意义，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．（4分）若点P（a，b）在直线y＝2x﹣1上，则代数式8﹣4a+2b的值为 6 ．
【分析】根据题意，将点P（a，b）代入函数解析式即可求得b＝2a﹣1，变形即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝2x﹣1上，
∴b＝2a﹣1，
∴8﹣4a+2b＝8﹣4a+2（2a﹣1）＝8﹣4a+4a﹣2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
14．（4分）如图，多边形ABCDE为正五边形，则∠ACB的度数为 36° ．
【分析】根据多边形的内角和公式得出∠B，再根据AB＝BC，即可算出∠ACB的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和＝（5﹣2） 180°＝540°，
又∵五边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数＝540°÷5＝108°．
∴∠B＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝＝36°，
故答案是：36°．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2） 180°．
15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 （32，4800） ．
【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解答】解：令150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为：（32，4800）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AC于点E，若，则阴影部分的面积为 ．
【分析】根据正方形的性质求出正方形的边长，即扇形ABE的半径和圆心角度数，由S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形ABE列式计算即可．
【解答】解：设正方形的边长为a，则AC＝a，∠BAC＝45°，
∵CE＝﹣1＝AC﹣AE，
∴a﹣a＝﹣1，
解得a＝1，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形ABE
＝×1×1﹣
＝﹣
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握正方形的性质、扇形面积、三角形面积的计算方法是正确计算的前提．
三、解答题（共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）先化简，再求值：，其中a＝3．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝
＝，
当a＝3时，原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（10分）“和平和发展是当今时代的主题！”热爱和平的小月为了了解我县城居民对“俄乌战争”的关注情况，采用随机抽样调查的方式，并将收集到的信息分为四种程度：A（实时关注）；B（关注较多）；C（关注较少）；D（不关注），绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请回答下列问题：
（1）求此次调查的居民人数，并补全条形统计图；
（2）求“A”种程度所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若“D”种程度中有2名男性和3名女性，从中随机抽取2名进行深入了解，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率．
【分析】（1）由C类别人数及其所占比例可得总人数，再求出B类别人数即可补全图形；
（2）用360°乘以A类别人数所占比例即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）此次调查的居民人数：25÷25%＝100（人），
B：100﹣20﹣25﹣5＝55（人），补全图形如下：
（2）“A”种程度所对应扇形的圆心角的度数为20÷100×360°＝72°；
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）2022年6月，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行，与吉祥物——“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫公仔双肩背包和“蓉宝”吉祥熊猫斜挎包这两种纪念品深受青少年的喜爱．已知购进2个双肩背包比购进1个斜挎包多用20元；购进2个双肩背包和1个斜挎包共用80元．
（1）求双肩背包和斜挎包的进货单价；
（2）该商店计划购进这两种包共50个，总费用不超过1400元，并以1个双肩背包40元、1个斜挎包60元出售．应如何进货，才能使售完后获利最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据购进2个双肩背包比购进1个斜挎包多用20元；购进2个双肩背包和1个斜挎包共用80元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与构建双肩包数量的函数关系式，然后根据总费用不超过1400元可以求得双肩包数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【解答】解：（1）设双肩背包和斜挎包的进货单价分别为x元、y元，
则，
解得，
答：双肩背包和斜挎包的进货单价分别为25元、30元；
（2）设购进双肩背包a个，则购进斜挎包（50﹣a）个，利润为W元，
由题意可得：W＝15a+30（50﹣a）＝﹣15a+1500，
∴W随a的增大而减小，
∵总费用不超过1400元，
∴25a+30（50﹣a）≤1400，
解得a≥20．
∴当a＝20时，W有最大值，最大值为1200元，50﹣a＝30，
答：该商店购进双肩背包20个，斜挎包30个时，销售完后获利最大，最大利润是1200元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，O为BD的中点，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，∠BEF＝∠DEF．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）若DF＝5，EF＝6，求CD的长．
【分析】（1）通过证明△DOE≌△BOF可得DE＝BF，结合AD∥BC可证明四边形BEDF为平行四边形，再证明BE＝BF，可证明结论；
（2）由菱形的性质可求解BD的长，再利用令的面积列式计算可求解CD的长．
【解答】（1）证明：∵O为BD的中点，
∴OD＝OB，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
在△DOE与△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵∠DEF＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BD⊥EF，BF＝DF＝5，OF＝EF＝3，BD＝2BO，
∴OB＝4，
∴BD＝8，
又∴∠C＝90°，
∴S菱形BEDF＝，
∴×8×6＝5×CD，
∴CD＝．
【点评】本题主要考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，且A（﹣2，3），B（6，n）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）连结AO并延长交双曲线于点D，连结BD，求△ABD的面积．
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点D作DE∥y轴交AB于点E．利用一次函数解析式求得E点的坐标，然后根据S△ABD＝S△ADE+S△BDE即可求得．
【解答】解：（1）把A（﹣2，3）代入得m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
∴B（6，﹣1），
将A（﹣2，3）和B（6，﹣1）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）过点D作DE∥y轴交AB于点E．
∵A、D两点关于原点对称，
∴D（2，﹣3）
把x＝2代入得y＝1，
∴E（2，1），
∴DE＝4，
∴．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22．（11分）如图，一天，我国A、B两舰队在南海某海域进行例行训练，B舰队在A舰队的正东方向．突然，B舰队发现在它北偏东45°方向上相距海里的P处有一货轮遇险发出求救信号，同时A舰队测得P在A的北偏东55°方向上．
（1）求A、B两舰队的距离；
（2）此时A舰队发现在它正北方向海里的Q处有一艘救援船，并立即委派它前往营救，其航行速度为40海里/小时，求救援船到点P处所需的最短时间．
（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，sin55°≈1.4）
【分析】（1）过点P作PE⊥AB于点E．分别求出AE和BE的长度可得AB的距离；
（2）过点P作PF⊥AQ于点F，先求出QF＝2海里，再利用勾股定理可得PQ的长度，最后根据救援船的速度可得答案．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥AB于点E．
在Rt△PBE中，∠PBE＝45°，海里，
∴BE＝PE＝20海里，
在Rt△APE中，，
∴AE＝1.4×20＝28（海里），
∴AB＝AE﹣BE＝28﹣20＝8（海里），
即A、B两舰队的距离为8海里；
（2）过点P作PF⊥AQ于点F．
易得AF＝PE＝20海里，PF＝AE＝28海里，
∴（海里），
在Rt△PFQ中，由勾股定理得：（海里），
（小时）．
答：救援船到点P处所需的最短时间为小时．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形来求解．
23．（12分）探究发现：
（1）如图1，E是线段AB上一点，若∠A＝∠B＝∠CED，则△ACE∽△BED．请证明．
灵活运用：
（2）如图2，在四边形ABCD中，E是AD上一点，∠BAD＝∠BEC＝∠ADC＝120°，AB＝CD＝2，BE：CE＝1：2，求tan∠ADB的值．
拓展延伸：
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝10，，D为AB的中点，E是BC上一点，当∠AED＝45°，∠AEB＞90°时，求BE的长．
【分析】（1）利用三角形外角的性质得∠DEB＝∠C，可证明结论；
（2）作BF⊥AD交DA的延长线于点F．由（1）同理可得△ABE∽△DEC，得AE＝1，DE＝4，在Rt△ABF中，求出AF和BF的长，从而得出答案；
（3）作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，在线段BE上取点H，使∠DHE＝45°，则△ACF、△DHG为等腰直角三角形，由（1）同理可得△DEH∽△EAC，，设EF＝x，则EG＝4﹣x，代入可得方程，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠CED+∠DEB＝∠A+∠C，∠CED＝∠A，
∴∠DEB＝∠C，
在△ACE与△BED中，
，
∴△ACE∽△BED；
（2）解：作BF⊥AD交DA的延长线于点F．
由（1）同理可得△ABE∽△DEC，
∴，
又∵AB＝CD＝2，
∴AE＝1，DE＝4，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAF＝60°，
∴，，
∴DF＝6，
∴；
（3）解：作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，在线段BE上取点H，使∠DHE＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∵，
∴AF＝CF＝6，
∵AF⊥BC，
∴，
∵DG⊥BC，AF⊥BC，D为AB的中点，
∴，FG＝4，
又∵∠DHE＝45°，DG⊥BE，
∴DG＝GH＝3，，
由（1）同理可得△DEH∽△EAC，
∴，
设EF＝x，则EG＝4﹣x，
∴，
∴x＝3或﹣2（舍去），
∴BE＝BF﹣EF﹣8﹣3＝5．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
24．（13分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC．
①如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD．设△BCP的面积为S1，△ODE的面积为S2，若S＝S1﹣S2，求S的最大值；
②如图2，已知∠PBC+∠ACO＝45°，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用待定系数法求得直线BC的解析式，设P（m，﹣m2+3m+4），则D（m，﹣m+4），利用P，D的坐标表示出线段PE＝﹣m2+3m+4，DE＝﹣m+4，OE＝m，则PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m；利用三角形的面积公式求得S，再利用配方法根据二次函数的性质可求得结论；
②在OB上截取OF＝OA，连接CF，利用已知可得BP∥CF；利用待定系数法求得直线BP的解析式，与二次函数解析式联立即可求得点P坐标，从而得到PC∥x轴，PC＝3；利用已知条件可求确定点Q的位置及坐标．
【解答】解：（1）由题意，得：
，
∴．
∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）①由y＝﹣x2+3x+4，
令x＝0，则y＝4．
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为：y＝kx+b1，
则，
∴．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设P（m，﹣m2+3m+4），则D（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+3m+4，DE＝﹣m+4，OE＝m．
∴PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m，
∴S＝S1﹣S2
＝PD OB﹣OE DE
＝4（﹣m2+4m）﹣m（﹣m+4）
＝（m﹣2）2+6，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，S有最大值为6．
②在OB上截取OF＝OA，连接CF，如图，
则∠ACO＝∠FCO，
∵∠PBC+∠ACO＝45°，
∴∠FCO+∠PBC＝45°．
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4．
∵OC⊥OB，
∴∠OCB＝45°，
∴∠BCF＝∠CBP，
∴BP∥CF．
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
∴OF＝OA＝1．
∴F（1，0）．
设直线CF的解析式为y＝dx+n，
则，
解得：．
∴直线CF的解析式为：y＝﹣4x+4．
∵BP∥CF，
∴设直线BP的解析式为y＝﹣4x+e，
∵B（4，0），
∴e﹣4×4＝0．
∴直线BP的解析式为：y＝﹣4x+16．
由题意：﹣4x+16＝﹣x2+3x+4，
解得：x＝3或4，
∴P（3，4）．
∵C（0，4），
∴PC∥x轴，PC＝3．
∵以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边构成平行四边形，
∴PC∥AQ，PC＝AQ＝3．
∴点Q在x轴上，
∴Q（﹣4，0）或（2，0）．
【点评】本题主要考查了二次函数的特性及性质，待定系数法，配方法，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

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