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中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称
对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等.
1.将军饮马问题
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
2.二次对称问题
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP’’，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小．
3.过河修桥问题
已知人在图中点A村庄，现要过河去往B村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A'N+NB最小值，显然，当A'、N、B共线时，AM+MN+BN的值最小，并得出桥应建的位置．
【问题扩展1】
已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．
AP平移至A'Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．
当A'、Q、M、B’共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．
【问题扩展1】
如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．
构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线．
练习题
1.如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________．
3.如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为　　
A． B．， C．， D．
4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
5.如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　
A．3 B．4 C． D．
8.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　
A． B．2 C． D．4
9.如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是　　
A．6 B． C． D．4.5
10.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是　　
A． B． C． D．
11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　　
A． B． C． D．
12.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为　　
A． B． C． D．
13.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是　　
B． C．6 D．3
如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为　 　 ．
如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为____________．
16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．
17.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．
如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3， )，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为___________．
19.如图，∠ AOB=30 °，点 M、 N 分别在边 OA、OB上，且 OM=1 ，ON=3，点 P、Q分别在边 OB、OA上，则 MP+PQ+QN的最小值 _________
20.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2，则当BP=___时，四边形APQE的周长最小．
21.如图在河的两侧有两个村庄，A离河为60米，B离河是30米，AB的水平距离为120米，河的宽度为30米，问桥修在何处会使得从A经过桥到B的路程最小，最小值为多少？
参考答案
1.8 2.6 3.C 4.B 5. 6. 7.C 8.C 9.C 10.B
11.A 12.B 13.D 14. 15. 16. 17.5 18.
19. 20. 21.180中考数学复习线段和差最值系列之费马点
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．
言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．
问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．
【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么办？
若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．
一、如何作费马点
问题要从初一学到的全等说起：
（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．
（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．
（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）
（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．
但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°，若 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：
此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以，是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了．
二、为什么是这个点
为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？
归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！
在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．
类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．巧的，它们仨的长度居然一样长！
更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！
接下来才是真正的证明：
考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．
△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．
以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．
没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，
显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．
还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！
【中考再现】问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！
如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）
过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，
根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，
∴MQ=HQ=4，∴NH=．
练习题
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=15，现在要找两点E、F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________
如图，等腰RtABC中，AB=4，P为ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为_______
如图，ABC中，AB=4，BC=3,ABC=75°，P为ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为________
如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为______
在RtABC中，ACB=90°，AC=1，BC=，点O为RtABC内一点，连接AO、BO、CO，且AOC=COB=BOA=120°，则OA+OB+OC=_______
如图，在四边形ABCD中，B=60°，AB=BC=3，AD=4，BAD=90°，点P是四边形内部一点，则PA+PB+PD的最小值是______
如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，BC=2，则PA+PB+PC的最小值为_______
如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________
已知，在ABC中，ACB=30°,AC=3,AB=,(CB>CA),点P是ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为__________
如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、则PC的最大值为______
如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2、则PC的最大值为________
如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2，则PO的最大值为_________.
如图，在RtABC中，∠BAC=90 ，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90 ，得到AE，连接CE、DE，点F是DE的中点，连接CF
问题：在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC取最小值时，AP的长为m，用含有m的式子表示CE的长.
参考答案
2.4+3 3.2 4.2+2 5. 6.
8.7 9.3 10. 11. 12. 13.
14. 15.中考数学复习线段和差最值系列之“胡不归”问题
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？数学家们于是建立起模型来解决这个问题.
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1【问题分析】
，记，即求BC+kAC的最小值．
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
例：如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．
【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．
问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
练习题
1.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为_______
3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+PC的最小值是_______
4．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值__________
5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上一动点，则AD+DC的最小值为________
6.如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为_______
如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是________
8.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（　　）
9.在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为________.
10．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为__________.
11.如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为 　 　．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，BC＝20cm，E是∠BAC平分线AD上一点．现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是每秒4cm，在EC上的速度是每秒2cm，则点P从点A到点C的运动过程至少需_________s．
13.如图，直角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，AC=，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+BP的最小值 　 　．
14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6．点D是在边BC上的动点，则BD+AD的最小值是 　 　．
15.如图，矩形ABCD中，点P是AD边上的动点，AB＝2，BC＝3，以PC为边作如图所示的矩形PEFC，且PE：EF＝2：3，则2PB+3CF的最小值是 　 　．
16.如图，已知抛物线（k为常数，且k>0）与轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
17.抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）
参考答案
1.3 2. 3.3 4.6 5.6 6. 7.5 8.5
9.10 10.4 11. 12.5 13. 14.4+ 15.10
16.(1) (2)F(-2，2) 17.O1(，0) 最小值中考数学复习线段和差最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
下给出证明
法一：首先了解两个定理
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．
证明：，，即
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．
接下来开始证明步骤：
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；
又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．
法二：建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：
解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．
那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：
例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．
【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．
法一：构造相似三角形
注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．
问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．
【问题剖析】
（1）这里为什么是？
答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是，也只能构造．
（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？
答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为．
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．
法二：阿氏圆模型
对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！
而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！
P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM==1，即可确定M点位置．
如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．
【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M点位置，虽不够严谨，却很实用．
练习题
1.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是　　．
2.如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
3.如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 　 　．
4.如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 　 　．
5.如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为 　 　．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 　 　．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 　 　．
9．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为 　 　．
10．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+AP的最小值是 　 　．
11．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 　 　．
12.如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C＝60°，CD＝4，则PB+PD的最小值为 　 　．
13．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 　 　．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A、B两点，OA=1，OB=5，抛物线与y轴交于点C，点C的纵坐标与点B的横坐标相同，抛物线的顶点为D.
抛物线的解析式为_________________，顶点D的坐标为__________.
如图，已知⊙A的半径为2，点M是⊙A上一动点，连接CM、MB，则CM+BM是否存在最小值？若存在，说明在何处取得最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.12 2.5 3.2 4. 5.6-2≤PM+2PN≤6+2
7. 8.5 9. 10. 11.2 12.2 13.4
14.(1)y=x2-6x+5 D(3,-4)(2)AH=AM，当H、M、B三点共线时，CM+BM取最小值.中考数学复习线段和差最值系列之瓜豆原理
两个动点，一个动点随着另一个动点的运动而运动，通过找到两动点的轨迹，求线段最值.瓜豆原理说的是“种瓜得瓜，种豆得豆”，两点运动的轨迹性质一样.
一．轨迹之圆篇
引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
例1：如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．
当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．最小值为.
二．轨迹之线段篇
引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
【模型总结】
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
例2：如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．
根据∠ABP=60°可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=．
练习题
1.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．
2.如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
3.△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．
4.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．
5.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
6.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．
7.如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8.如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．
9.如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．
10．如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 　 　．
11.如图，⊙O的直径AB=2，C为⊙O上动点，连接CB，将CB绕点C逆时针旋转90 得到CD，连接OD，则OD的最大值为________
12.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，BC=5，CD=2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为____
13.已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为 　 　．
14．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．
（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝　 　；
（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；
（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，
连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数．
15.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．
参考答案：
π 2.5-2 3.3 4.8 5.2 6. 7.D 8.3 9.4-2≤PB≤4+2 10. 11. 12. 13. 14.127°，25°
15.(1)y=x2-6x+5 (2)M(2，-3)、(4,-3) (3)2-2≤DF≤2+2中考复习线段(和差)最值系列之辅助圆
动点轨迹为圆，可能是直白的告知，多数是隐含的告知，谓之为隐圆.这类借助辅助圆来求解最值的问题，最核心的当然是找到隐含的圆.考查的背景可能是三角形相似、全等、四边形的相关性质等，对同学们的基础功底还是有较高要求的.
若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．
从圆的定义构造圆
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1：如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．
连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．
定角对定弦
定角对定弦，确定一个圆.涉及的知识点是同弧或等弧所对的圆周角都相等.
在初中阶段，定角一边指的是特殊角，30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°，这些角都可能出现.以下是几种常见定角对定弦的动点轨迹图.
例2：如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是__________．
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．
连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'M即可．可求出最小值为.
例3：如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　
【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，
所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧，当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求，故DH的最小值为.
练习题
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
2.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．
3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．
4.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．
5.如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　．
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．
7.如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　．
8.如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．
10.如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
11.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．
12.在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．
13.如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．
14.如图，已知ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x、y轴上，点A在x轴上运动，点C随之在y轴上运动，则点B到原点O的最大距离为_______
15.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为_______．
参考答案
2. 3.8 4.2 5. 6. 7. 8. 9.1 10. 11. 12.413. 14. 15.7

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