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第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学案
一、学习目标
1.了解并掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
2.掌握异面直线的概念及其应用.
二、基础梳理
1.空间中两条直线的位置关系
①异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.如图.
②两条直线的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
直线a在平面内：，有无数个公共点.图形表示：
直线a与平面相交：，有且只有一个公共点.图形表示：
直线a与平面平行：，没有公共点.图形表示：
3.空间中两个平面的位置关系
两个平面平行：没有公共点，.图形表示：
两个平面相交：有一条公共直线，.图形表示：
三、巩固练习
1.若直线a不平行于平面且，则下列结论正确的是( )
A.平面内的所有直线与a异面
B.平面内不存在与a平行的直线
C.平面内存在唯一的直线与a平行
D.平面内的直线与a都相交
2.在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则直线与直线EF的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
3.，是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( ).
A.平面内有两条直线a，b都与平面平行，那么
B.平面内有无数条直线平行于平面，那么
C.若直线a与平面和平面都平行，那么
D.平面内所有的直线都与平面平行，那么
4.设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体的六个面相交的平面个数为m，则m的所有可能取值构成的集合为( )
A. B. C. D.
5.已知a，b表示两条不同的直线，表示平面，若，，则b与的位置关系是( ).
A. B. C. D.或
6.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则与直线CF互为异面直线的是( )
A. B. C.DE D.AE
7.如图，点N为正方形的中心，为正三角形，平面平面，M是线段的中点，则( ).
A.，且直线BM，EN是相交直线
B.，且直线BM，EN是相交直线
C.，且直线BM，EN是异面直线
D.，且直线BM，EN是异面直线
8.已知下列说法：
①若直线平面，直线平面，与相交，则a，b相交；
②若平面平面直线l，直线平面，直线平面，且，则；
③若平面平面，直线平面，直线平面，则a与b平行或异面；
④若平面平面直线b，直线平面，则a与一定相交.
其中正确的说法是________(填序号).
9.若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有________________个.
10.平面，相交，在内任取两点A，B，在内任取两点C，D，且这四点都不在交线上，则直线AB与直线CD的位置关系为____________.
11.如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有________对异面直线.
12.如图，在正六棱柱中，分别是棱的中点.
(1)写出六棱柱中所有与直线平行的底面与侧面；
(2)判断对角线与此六棱柱中所有底面、侧面的位置关系.
答案解析
1.答案：B
解析：由已知条件知直线a与平面相交，则平面内的直线与a可能相交，也可能异面，不可能平行.故选B.
2.答案：A
解析：在正方体中，，与可以确定平面，
又平面，且EF，不平行，直线与直线EF的位置关系是相交.故选A.
3.答案：D
解析：A，B都不能保证，无公共点，如图(1)所示；C中当，时，与可能相交，如图(2)所示；只有D说明，一定无公共点.故选D.
4.答案：D
解析：体对角线所在的直线与正方体的6个面都相交，面对角线所在的直线与正方体的4个面相交，而棱所在的直线与正方体的2个面相交.故选D.
5.答案：D
解析：如图，在长方体中，直线，直线与平面没有公共点，即平面，而直线平面；另外，直线，又直线与平面无公共点，即平面，而直线平面.因此满足题意的直线b与的位置关系是或.故选D.
6.答案：D
解析：因为直线，平面，平面，所以直线，与直线CF共面.又因为E，F分别是，的中点，所以.由平面，平面，且CF与AE不平行，可得直线CF与直线AE互为异面直线.故选D.
7.答案：B
解析：在中，N为中点，M为中点，，共面相交，选项C，D错误，
如图，作，垂足为O，连接，过M作，垂足为点F，连接，平面平面，，，平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形，设正方形边长为2，易知，，，，，，，故选B.
8.答案：②③
解析：易知②③正确.对于①，a，b也可能平行或异面，故①不正确；对于④，a与也可能平行，故④不正确.
9.答案：0或1
解析：当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足条件的平面；当点M不在a，b两个平面内时，满足题意的平面只有1个.
10.答案：相交或平行或异面
解析：如图，设，当，时，，当AB与l相交，CD与l相交时，若交点相同，则直线AB与CD相交；若交点不同，则直线AB与CD异面.故答案为相交或平行或异面.
11.答案：5
解析：异面直线有5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，EF与BP.
12.解析：（1）与直线平行的有底面、底面、侧面、侧面.
（2）与对角线平行的有侧面、侧面.
与对角线相交的有底面、底面、侧面、侧面、侧面、侧面.

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