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人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（ ）
A．7 B． C．23 D．11
2．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A． B． C． D．
5．有以下命题：①若，则与 共面；②若与 共面，则；③若，则 四点共面；④若 四点共面，则；⑤若存在，使，则；⑥若 不共线，则空间任一向量().其中真命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥
6．已知非零向量，，且、、不共面．若，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．如图，在正方体中，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
8．点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
10．如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．在三棱锥中，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
12．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的棱长，，及棱间交角，，（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的体对角线的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
13．下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．如图中，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
15．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．在四棱锥中，底面是矩形，为矩形外接圆的圆心.若，则___________.
17．在四面体中，、分别是、的中点，若，则__．
18．.在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.
三、解答题
19．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值.
20．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.
21．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点分别是的中点，设为空间向量的一组基底，计算：（1）;（2）.
22．如图，在平行六面体中，AB＝4，AD＝3，，∠BAD＝90°，，且点F为与的交点，点E在线段上，有．
（1）求的长；
（2）将用基向量来进行表示．设xyz，求x，y，z的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
由向量数量积运算性质直接求解即可
【详解】
解：因为为空间的一个标准正交基底，
所以，
所以
．
故选：B.
此题考查空间向量的数量积运算，属于基础题
2．A
根据已给条件该题可利用数量积的方法求解要求与夹角的余弦值,可求与的夹角的值,利用代入向量的夹角公式求解即可.
【详解】
解：
设异面直线与的夹角为则
故选A
本题主要考查了利用向量的数量积求异面直线所成的角,属有一定难度的基础题.解题的关键是将异面直线与的夹角转化为求与的夹角!
3．B
由空间向量的基本定理求解即可
【详解】
因为OM＝2MA，
所以，
又点N为BC中点，
所以，
所以，
故选：B
4．C
利用空间向量的基本定理可计算得出，由已知条件可得出，进而可求得、、的值，由此可求得结果．
【详解】
如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，
为的重心，可得，
而，
，
所以，，
所以，，因此，．
故选：C
5．B
根据空间向量基本定理一一判断即可；
【详解】
解：①正确，由平面向量基本定理可得，若，则与 共面；
②不正确，若 均为零向量，为非零向量，则后式不成立，
③正确，由平面向量基本定理得，
④不正确，若 均为零向量，为非零向量，则后式不成立，
⑤不正确，若 为相反向量时，，，
⑥不正确，若 不共线，当与 所在的平面垂直时，则后式不成立，
故选：B.
6．B
先由向量平行，得到，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.
【详解】
且，∴，即，
又、、不共面，∴，解得，，.
故选：B.
7．B
以为基底表示出，由此确定的值，进而求得的值.
【详解】
由题意可得，
∵，∴x=1，y=-1，z=1，故x+y+z=1，
故选：B
本小题主要考查用基底表示向量，考查空间向量基本定理，属于基础题.
8．D
取的中点，连接，，再利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理即可求解.
【详解】
取的中点，连接，
则
，
又因为，
由空间向量基本定理可得：
故选：D.
9．D
根据空间向量共面定理判断．
【详解】
当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；
若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，
故C项不正确，D项正确．
故选：D．
10．B
记点E为BC的中点，连接AE，OE，G是的重心，则，又，化简可得选项．
【详解】
如图，
记点E为BC的中点，连接AE，OE，
所以，
又G是的重心，则，
所以.
因为，
所以
.
11．C
利用向量的线性运算把用表示出来即可得．
【详解】
由题意是中点，∴，
又，则，
∴，
若，则．
故选：C．
12．B
由题可得，然后利用模长公式即得.
【详解】
如图，连接，
则，
依题可知，，，，，
所以
，
故.
故选：B.
13．B
举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】
①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
14．D
根据，，，，代入计算即可得出结果.
【详解】
解：，分别是对边，的中点，
，.
点在线段上，且分所成的定比为，
.
.
即，，.
故选：D.
15．B
利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】
设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
16．
利用空间向量基本定理将用出来，从而可求出的值，进而可得答案
【详解】
如图，由题意可得
，
则，，，故.
故答案为：
17．1
由空间向量的线性运算将用表示，由空间向量基本定理可求得的值即可求解.
【详解】
在四面体中，、分别是、的中点，
所以
，
所以，
所以．
故答案为：．
18．
根据空间向量的线性运算法则计算可得；
【详解】
解:四面体中，、分别是、的中点，则
故答案为：
本题考查了空间向量的线性表示与运算的应用问题，属于基础题．
19．（1）证明见解析；（2）.
如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解
【详解】
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.
则E（），，
（1）∵，，
∵，
（2）由（1）知，
∴，
，
，
设EF与C1G所成角为，则
故EF与C1G所成角的余弦值为
20．证明见解析
根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..
【详解】
如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
，于是得：，即共面，它们有公共点E，
所以E，F，G，H四点共面.
21．(1) ；（2） .
（1）先根据条件确定的模以及相互之间的夹角，再根据向量共线以及加减法表示，最后根据向量数量积求结果，（2）根据向量减法表示，再根据向量模的定义以及向量数量积求结果.
【详解】
(1） 因为空间四边形的每条边和对角线都等于1，
所以 ，
因为点分别是的中点，所以，
（2）因为，所以
本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
22．（1）；（2）．
（1），利用数量积运算性质即可得出．
（2），再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出．
【详解】
（1），
85，
∴．
（2）
，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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