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指数函数与对数函数的关系
【学习目标】
1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系。
2．利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题。
【学习重难点】
1．反函数。
2．指数、对数函数的图像与性质的应用。
【学习过程】
问题导学
预习教材P30－P31的内容，思考以下问题：
1．反函数是如何定义的？
2．互为反函数的函数有哪些性质？
【新知初探】
1．一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数。
2．一般地，函数y＝f（x）的反函数记作y＝f－1（x）。y＝f（x）的定义域与y＝f－1（x）的值域相同，y＝f（x）的值域与y＝f－1（x）的定义域相同，y＝f（x）与y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称。
3．如果y＝f（x）是单调函数，那么它的反函数一定存在。如果y＝f（x）是增函数，则y＝f－1（x）也是增函数；如果y＝f（x）是减函数，则y＝f－1（x）也是减函数。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝的反函数是y＝logx。（ ）
（2）函数y＝log3x的反函数的值域为R。（ ）
（3）函数y＝ex的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称。（ ）
2．函数f（x）＝的反函数为g（x），那么g（x）的图像一定过点________。
3．函数y＝x＋3的反函数为________。
探究一、求反函数
1．写出下列函数的反函数：
（1）y＝lgx；（2）y＝5x＋1；（3）y＝（）x；（4）y＝x2（x≤0）。
[规律方法]
求反函数的一般步骤
（1）求值域：由函数y＝f（x）求y的范围。
（2）解出x：由y＝f（x）解出x＝f－1（y）。若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个。
（3）得反函数：将x，y互换得y＝f－1（x），注意定义域。
2．函数y＝＋1（x≥1）的反函数是（）
A．y＝x2－2x＋2（x<1）
B．y＝x2－2x＋2（x≥1）
C．y＝x2－2x（x<1）
D．y＝x2－2x（x≥1）
探究二、互为反函数的性质应用
3．已知函数y＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图像过点（1，4），其反函数的图像过点（2，0），求a，b的值。
[规律方法]
互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点（a，b）在函数y＝f（x）的图像上，则点（b，a）必在其反函数y＝f－1（x）的图像上。
4．已知f（x）＝log3x，则f－1（4）＝________。
解析：由log3x＝4，得x＝34＝81．即f－1（4）＝34＝81．
三、探究三：指数、对数函数图像与性质的应用
5．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值。
[规律方法]
形如ax＋kx＝b（a＞0且a≠0）或logax＋kx＝b（a＞0且a≠1）的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题。
6．函数f（x）＝lgx＋x－3的零点所在区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，＋∞）
【达标反馈】
1．函数y＝logx（x＞0）的反函数是（）
A．y＝x，x＞0
B．y＝，x∈R
C．y＝x2，x∈R
D．y＝2x，x∈R
2．若函数f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）等于（）
A．log2x
B．
C．logx
D．2x－2
3．已知函数y＝ax与y＝logax（a＞0且a≠1），下列说法不正确的是（）
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内的增减性相同
D．y＝ax的图像经过平移可得到y＝logax的图像
4．已知y＝的反函数为y＝f（x），若f（x0）＝－，则x0等于（）
A．－2
B．－1
C．2
D．
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×（2）×（3）×
2．解析：f（x）＝的反函数为g（x）＝logx，所以g（x）的图像一定过点（1，0）。
答案：（1，0）
3．解析：由y＝x＋3得x＝y－3，
x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3．（x∈R）。
答案：y＝x－3（x∈R）
1．【解】（1）y＝lgx的底数为10，
它的反函数为指数函数y＝10x。
（2）由y＝5x＋1，得x＝，
所以反函数为y＝（x∈R）。
（3）y＝（）x的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx（x＞0）。
（4）由y＝x2得x＝±。
因为x≤0，
所以x＝－。
所以反函数为y＝－（x≥0）。
2．解析：选B．由y＝＋1，得x＝（y－1）2＋1，
即x＝y2－2y＋2，
因为x≥1，所以y＝＋1≥1，
所以反函数为y＝x2－2x＋2（x≥1）。
3．【解】因为y＝ax＋b的图像过点（1，4），
所以a＋b＝4．①
又因为y＝ax＋b的反函数图像过点（2，0），
所以点（0，2）在原函数y＝ax＋b的图像上。
所以a0＋b＝2．②
联立①②得a＝3，b＝1．
4．答案：81
5．【解】将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3．
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标。
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图像关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A（a，b），B（b，a）。
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3（A点坐标代入），
或a＝－b＋3（B点坐标代入），故a＋b＝3．
6．解析：选C．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图像。它们交点的横坐标x0显然在区间（1，3）内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观想象很难做出判断。实际上这是要比较x0与2的大小。
当x＝2时，lgx＝lg2，－x＋3＝1，
由于lg2＜1，因此x0＞2，从而得到x0∈（2，3），故选C．
【达标反馈】
1．解析：选B．互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同。
2．解析：选A．y＝ax的反函数f（x）＝logax，
则1＝loga2，
所以a＝2．所以f（x）＝log2x。
3．解析：选D．由反函数的定义及互为反函数的函数图像间的对称关系可知A、B、C选项均正确。
4．解析：选C．y＝的反函数是f（x）＝logx，
所以f（x0）＝logx0＝－。
所以x0＝＝－＝2．
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