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第 17 讲 电磁感应定律
知识点一、法拉第电磁感应定律
1．感应电动势
（1）定义：在 中产生的电动势．
（2）产生条件：穿过回路的 发生改变，与电路是否闭合 ．
（3）方向判断：感应电动势的方向用 或 判断．
2．法拉第电磁感应定律
（1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的 成正比．
nΔΦ
（2）公式：E＝ ，其中 n为 ．
Δt
（3 ΔΦ）对Φ、ΔΦ和 的理解和易错点拨
Δt
ΔΦ
①通过公式正确地计算Φ、ΔΦ和 的大小，错误地认为它们都与线圈的匝数 n成正比．
Δt
②认为公式中的面积 S就是线圈的面积，而忽视了无效的部分；不能通过Φ－t(或 B t) ΔΦ－ 图象正确地求解 .
Δt
ΔΦ
③认为Φ＝0(或 B＝0)时， 一定等于 0.
Δt
④不能正确地分析初、末状态穿过线圈的磁通量的方向关系，从而不能正确利用公式ΔΦ＝Φ2－Φ1求解ΔΦ.
典例分析
【例 1】一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直．先保持线框的面积不变，将磁感应强度在
1 s时间内均匀地增大到原来的两倍．接着保持增大后的磁感应强度不变，在 1 s时间内，再将线框的面积
均匀地减小到原来的一半．先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为( )
A 1． B．1 C．2 D．4
2
【答案】B
3. 对法拉第电磁感应定律的理解及应用
（1）决定感应电动势大小的因素
E ΔΦ感应电动势 的大小决定于穿过电路的磁通量的变化率 和线圈申匝数 n.而与磁通量的大小、磁通量变化
Δt
量ΔΦ的大小无必然联系．
1
（2）磁通量变化通常有三种方式
ΔS
①磁感应强度 B不变，垂直于磁场的回路面积发生变化，此时 E＝nB ；
Δt
ΔB ΔB
②垂直于磁场的回路面积不变，磁感应强度发生变化，此时 E＝n S，其中 是 B－t的的斜率；
Δt Δt
ΔΦ Φ Φ E nB2S2－B1S1③磁通量的变化是由于面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求， ＝ 末－ 初，＝ ≠n
ΔBΔS.
Δt Δt
ΔΦ
在图象问题中磁通量的变化率 是Φ－t图象上某点切线的斜率．
Δt
（3）感应电荷量的求解
q
在电磁感应现象中，既然有电流通过电路，那么就会有电荷通过，由电流的定义可得 I＝ ，故 q＝I·Δt，式
Δt
E ΔΦ
中 I为感应电流的平均值．由闭合电路的欧姆定律和法拉第电磁感应定律得 I＝ ＝n ，式中 R为电磁感
R R·Δt
ΔΦ
应闭合电路的总电阻．联立解得 q＝n ，可见，感应电荷量 q仅由磁通量的变化量ΔΦ和电路的总电阻 R
R
决定．
典例分析
【例 2】如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈 abcd，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的匝数 N＝100，
边长 ab＝1.0 m、bc＝0.5 m，电阻 r＝2 Ω.磁感应强度 B在 0～1 s内从零均匀变化到 0.2 T．在 1～5 s内从
0.2 T均匀变化到－0.2 T，取垂直纸面向里为磁场的正方向．求：
(1)0.5 s时线圈内感应电动势的大小 E和感应电流的方向；
(2)在 1～5 s内通过线圈的电荷量 q；
(3)在 0～5 s内线圈产生的焦耳热 Q.
2
4.应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤
①分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况；
②利用楞次定律确定感应电流的方向；
③灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解.
应注意的问题,通过回路的电荷量 q仅与 n、ΔΦ和回路电阻 R有关，与变化过程所用的时间长短无关.
典例分析
【例 3】如图甲所示，一个电阻值为 R，匝数为 n的圆形金属线圈与阻值为 2R的电阻 R1连接成闭合回路．线
圈的半径为 r1.在线圈中半径为 r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度 B随时间
t变化的关系图线如图乙所示．图线与横、纵轴的截距分别为 t0和 B0，导线的电阻不计．求 0至 t1时间内：
(1)通过电阻 R1上的电流大小和方向；
(2)通过电阻 R1上的电荷量 q及电阻 R1上产生的热量．
知识点二、导体切割磁感线产生感应电动势
切割方式 电动势表达式 说明
垂直切割 E＝Blv
倾斜切割 E＝Blvsin_θ其中θ为 v 与 B的夹角 ①导体棒与磁场方向垂直
旋转切割
E 1
②磁场为匀强磁场
＝ Bl2ω
(以一端为轴) 2
1.导体切割磁感线产生感应电动势的计算
（1）公式 E＝Blv 的“四性”
①正交性：本公式是在一定条件下得出的，除磁场为匀强磁场外，还需 B、l、v 三者互相垂直．
②瞬时性：若 v 为瞬时速度，则 E为相应的瞬时感应电动势．
③有效性：公式中的 l为导体切割磁感线的有效长度．
3
如图中，棒的有效长度为 a、b间的距离．
④相对性：E＝Blv 中的速度 v 是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系．
典例分析
【例 4】如图 6，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度 v 沿与棒和磁感应强
度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε；将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于
与磁感应强度垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度 v 运动时，棒两端的感应电动势大
ε . ε′小为 ′ 则 等于( )
ε
A 1 B 2． ．
2 2
C．1 D． 2
（2）导体在磁场中旋转产生的感应电动势
1
导体棒绕一端在匀强磁场中转动切割磁感线产生的感应电动势为 E＝ Bωl2.
2
典例分析
【例 5】如图，直角三角形金属框 abc 放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向平行于 ab 边向上。
当金属框绕 ab 边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为 Ua、Ub、Uc，已知 bc 边的长度为 l，
下列判断正确的是( )
A．Ua>Uc，金属框中无电流
B．Ub>Uc，金属框中电流方向沿 a→b→c→a
1 2
C．Ubc＝－ Bl ω，金属框中无电流
2
1 2
D．Uac＝ Bl ω，金属框中电流方向沿 a→c→b→a
2
4
ΔΦ
（3）公式 E＝n 与 E＝Blv 的区别与联系
Δt
E nΔΦ＝ E＝Blv
Δt
研究对象 闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体
区 求的是Δt时间内的平均感应电动势， (1)若 v 为瞬时速度，则求的是瞬时感应电动势
研究内容
别 E与某段时间或某个过程对应 (2)若 v 为平均速度，则求的是平均感应电动势
适用范围 对任何电路普遍适用 只适用于导体切割磁感线运动的情况
(1)E Blv E n ΔΦ＝ 可由 ＝ 在一定条件下推导出来
Δt
(2)E＝n ΔΦ也可求瞬时感应电动势，当Δt→0时的 E即为瞬时感应电动势
联系 Δt
(3)当导体切割磁感线运动时用 E＝Blv 求 E方便，当得知穿过回路的磁通量发生变化
E n ΔΦ情况时，用 ＝ 求 E比较方便
Δt
【例 5】如图(a)所示，平行长直金属导轨水平放置，间距 L＝0.4 m，导轨右端接有阻值 R＝1 Ω的电阻，导
体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计，导轨间正方形区域 abcd内有方向竖直
向下的匀强磁场，bd连线与导轨垂直，长度也为 L，从 0时刻开始，磁感应强度 B的大小随时间 t变化，
规律如图(b)所示；同一时刻，棒从导轨左端开始向右匀速运动，1 s后刚好进入磁场，若使棒在导轨上始终
以速度 v＝1 m/s做直线运动，求：
(1)棒进入磁场前，回路中的电动势 E；
(2)棒在运动过程中受到的最大安培力 F，以及棒通过三角形 abd区域时电流 i与时间 t的关系式．
5
2. 感生电动势与动生电动势的区别：
（1）感生电动势：
①感生电场：变化的磁场在周围空间激发的电场，这种电场叫感生电场
②感生电动势：处在感生电场中的闭合导体中的自由电荷在感生电场的作用下作定向移动，产生感应电流，
或者说导体中产生了感应电动势。由感生电场产生的电动势就叫感生电动势。
（2）动生电动势：一段导体做切割磁感线运动时，自由电荷在洛仑兹力的作用下产生定向移动，异种电荷
分别在导体的两端聚集，从而使导体两端产生电势差，这就是动生电动势，若电路闭合，则电路中产生感
应电流。
感生电动势 动生电动势
产生原因 磁场的变化 导体做切割磁感线运动
感生电场对自由电荷的电场 导体中自由电荷所受洛伦兹力沿导体方向的
移动电荷的非静电力
力 分力
回路中相当于电源的部分 处于变化磁场中的线圈部分 做切割磁感线运动的导体
方向判断方法 由楞次定律判断 通常由右手定则判断，也可由楞次定律判断
大小计算方法 由 E＝n
ΔΦ ΔΦ
计算 通常由 E＝Blvsinθ计算，也可由 E＝n 计算
Δt Δt
3.电势高低的判断
把产生感应电动势的那部分电路或导体当作电源的内电路，那部分导体相当于电源．若电路是不闭合的，
则先假设有电流通过，然后应用楞次定律或右手定则判断出电流的方向．电源内部电流的方向是由负极(低
电势)流向正极(高电势)，外电路顺着电流方向每经过一个电阻电势都要降低．
【例 6】如图甲所示，电路的左侧是一个电容为 C的电容器，电路的右侧是一个环形导体，环形导体所围
的面积为 S.在环形导体中有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间变化的规律如图乙所
示．则在 0～t0时间内，电容器( )
A CS B2－B1 ．上极板带正电，所带电荷量为
t0
B C B2－B1 ．上极板带正电，所带电荷量为
t0
C CS B2－B1 ．上极板带负电，所带电荷量为
t0
D C B2－B1 ．上极板带负电，所带电荷量为
t0
6
实战练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
1. 关于感应电动势，下列说法中正确的是( )
A．线圈中的磁通量越大，产生的感应电动势一定越大
B．线圈放在磁感应强度越大的地方，产生的感应电动势一定越大
C．线圈中产生的感应电动势为 2 V，则穿过线圈的磁通量的变化率一定为 2 Wb/s
D．线圈中产生的感应电动势为 2 V，则线圈电源的“－”极比“＋”极电势低 2 V
2. 如图所示，在线圈上端放置一盛有冷水的金属杯，现接通交流电源，过了几分钟，杯内的水沸腾起来．若
要缩短上述加热时间，下列措施可行的有( )
A．增加线圈的匝数
B．提高交流电源的频率
C．将金属杯换为瓷杯
D．取走线圈中的铁芯
3. (多选)在如图甲所示电路中，螺线管匝数 n＝1 500匝，横截面积 S＝20 cm2.螺线管导线电阻 r＝1.0 Ω，
R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF.在一段时间内，穿过螺线管的磁感应强度 B按如图乙所示规律变化，则下
列说法中正确的是( )
A．螺线管中产生的感应电动势为 1 V
B．闭合开关 S，电路中电流稳定后，电阻 R1消耗的功率为 5×10－2 W
C．电路中电流稳定后电容器下极板带正电
D －．开关 S断开后，流经 R2的电荷量为 1.8×10 5 C
4. 如图所示，两条平行竖直虚线之间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，虚线间的距离为 l.金属圆环
的直径也为 l.圆环从左边界进入磁场，以垂直于磁场边界的恒定速度 v 穿过磁场区域．则下列说法正确的是
( )
A．感应电流的大小先增大后减小再增大再减小
B．感应电流的方向先逆时针后顺时针
C．金属圆环受到的安培力先向左后向右
D 1．进入磁场时感应电动势平均值 E ＝ πBlv
2
7
5. 如图所示，水平放置的平行金属导轨 MN和 PQ之间接有定值电阻 R，导体棒 ab长为 l且与导轨接触良
好，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，现使导体棒 ab向右匀速运动，下列说法正确的是( )
A．导体棒 ab两端的感应电动势越来越小
B．导体棒 ab中的感应电流方向是 a→b
C．导体棒 ab所受安培力方向水平向右
D．导体棒 ab所受合力做功为零
6. (多选)用一根横截面积为 S、电阻率为ρ的硬质导线做成一个半径为 r的圆环,ab为圆环的一条直径。如图
所示,在 ab 的左侧存在一个均匀变化的匀强磁场,磁场垂直圆环所在平面,磁感应强度大小随时间的变化率
B
k (k<0)。则( )
t
A.圆环中产生逆时针方向的感应电流
B.圆环具有扩张的趋势
krS
C.圆环中感应电流的大小为
2
1
D.图中 a、b 2两点间的电势差 Uab= k r
4
7. 法拉第发明了世界上第一台发电机——法拉第圆盘发电机。如图所示,紫铜做的圆盘水平放置在竖直向
下的匀强磁场中,圆盘圆心处固定一个摇柄,边缘和圆心处各与一个黄铜电刷紧贴,用导线将电刷与电流表
连接起来形成回路。转动摇柄,使圆盘逆时针匀速转动,电流表的指针发生偏转。下列说法正确的是 ( )
A.回路中电流大小变化,方向不变
B.回路中电流大小不变,方向变化
C.回路中电流的大小和方向都周期性变化
D.回路中电流方向不变,从 b 导线流进电流表
8. 如图所示，将一根绝缘硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环 a、b与长直
金属杆导通，图中 a、b间距离为 L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆的距离都是 d.右边虚线范围内存
3L
在磁感应强度大小为 B、方向垂直于弯曲导线所在平面的匀强磁场，磁场区域的宽度为 ，现在外力作用
4
下导线沿杆以恒定的速度 v 向右运动，t＝0时刻 a环刚从 O点进入磁场区域，则下列说法正确的是( )
A L．在 t＝ 时刻，回路中的感应电动势为 Bdv
2v
B 3L．在 t＝ 时刻，回路中的感应电动势为 2Bdv
4v
C t L．在 ＝ 时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
4v
8
D L．在 t＝ 时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
2v
9. 如图所示,足够长的光滑导轨 ab、cd固定在竖直平面内,导轨间距为 d,b、c两点间接一阻值为 r的电阻。
ef是一水平放置的导体杆,其质量为 m、有效电阻值为 r,杆与 ab、cd保持良好接触。整个装置放在磁感应强
度大小为 B的匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直。现用一竖直向上的力拉导体杆,使导体杆从静止开始做
加速度为 的匀加速运动,上升了 H高度,这一过程中 bc间电阻 r产生的焦耳热为 Q,g为重力加速度,不计导
轨电阻及感应电流间的相互作用。求:
(1)导体杆上升到 H过程中通过杆的电量;
(2)导体杆上升到 H时所受拉力 F的大小;
(3)导体杆上升到 H过程中拉力做的功。
10. 在范围足够大，方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度 B＝0.2 T，有一水平放置的光滑框架，宽度
L＝0.4 m，如图所示，框架上放置一质量 m＝0.05 kg、电阻 R＝1 Ω的金属杆 cd，框架电阻不计．若杆 cd在
水平外力 F的作用下以恒定加速度 a＝2 m/s2，由静止开始做匀变速运动，求：
(1)在 5 s内平均感应电动势 E 是多少？
(2)第 5 s末回路中的电流 I多大？
(3)第 5 s末作用在杆 cd上的水平外力 F多大？
9第 17 讲 电磁感应定律
知识点一、法拉第电磁感应定律
1．感应电动势
（1）定义：在电磁感应现象中产生的电动势．
（2）产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关．
（3）方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断．
2．法拉第电磁感应定律
（1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．
2 E nΔΦ（ ）公式： ＝ ，其中 n为线圈匝数．
Δt
3 Φ ΔΦ ΔΦ（ ）对 、 和 的理解和易错点拨
Δt
Φ ΔΦ ΔΦ①通过公式正确地计算 、 和 的大小，错误地认为它们都与线圈的匝数 n成正比．
Δt
ΔΦ
②认为公式中的面积 S就是线圈的面积，而忽视了无效的部分；不能通过Φ－t(或 B－t)图象正确地求解 .
Δt
③认为Φ＝0(或 B 0) ΔΦ＝ 时， 一定等于 0.
Δt
④不能正确地分析初、末状态穿过线圈的磁通量的方向关系，从而不能正确利用公式ΔΦ＝Φ2－Φ1求解ΔΦ.
典例分析
【例 1】一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直．先保持线框的面积不变，将磁感应强度在
1 s时间内均匀地增大到原来的两倍．接着保持增大后的磁感应强度不变，在 1 s时间内，再将线框的面积
均匀地减小到原来的一半．先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为( )
A 1． B．1 C．2 D．4
2
S
[解析] 设原磁感应强度是 B，线框面积是 S.第 1 s 内ΔΦ1＝2BS－BS＝BS，第 2 s 内ΔΦ2＝2B· －2B·S＝－
2
ΔΦ
BS.因为 E＝n ，所以两次电动势大小相等，B正确．
Δt
1
3. 对法拉第电磁感应定律的理解及应用
（1）决定感应电动势大小的因素
ΔΦ
感应电动势 E的大小决定于穿过电路的磁通量的变化率 和线圈申匝数 n.而与磁通量的大小、磁通量变化
Δt
量ΔΦ的大小无必然联系．
（2）磁通量变化通常有三种方式
ΔS
①磁感应强度 B不变，垂直于磁场的回路面积发生变化，此时 E＝nB ；
Δt
ΔB ΔB
②垂直于磁场的回路面积不变，磁感应强度发生变化，此时 E＝n S，其中 是 B－t的的斜率；
Δt Δt
③磁通量的变化是由于面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝Φ Φ E nB2S2－B1S1 nΔBΔS末－ 初，＝ ≠ .
Δt Δt
ΔΦ
在图象问题中磁通量的变化率 是Φ－t图象上某点切线的斜率．
Δt
（3）感应电荷量的求解
q
在电磁感应现象中，既然有电流通过电路，那么就会有电荷通过，由电流的定义可得 I＝ ，故 q＝I·Δt，式
Δt
E ΔΦ
中 I为感应电流的平均值．由闭合电路的欧姆定律和法拉第电磁感应定律得 I＝ ＝n ，式中 R为电磁感
R R·Δt
ΔΦ
应闭合电路的总电阻．联立解得 q＝n ，可见，感应电荷量 q仅由磁通量的变化量ΔΦ和电路的总电阻 R
R
决定．
典例分析
【例 2】如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈 abcd，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的匝数 N＝100，
边长 ab＝1.0 m、bc＝0.5 m，电阻 r＝2 Ω.磁感应强度 B在 0～1 s内从零均匀变化到 0.2 T．在 1～5 s内从
0.2 T均匀变化到－0.2 T，取垂直纸面向里为磁场的正方向．求：
(1)0.5 s时线圈内感应电动势的大小 E和感应电流的方向；
(2)在 1～5 s内通过线圈的电荷量 q；
(3)在 0～5 s内线圈产生的焦耳热 Q.
ΔΦ
[解析] (1)感应电动势 E1＝N
1，
Δt1
磁通量的变化量ΔΦ1＝ΔB1S
ΔB S
解得 E1＝N
1 代入数据得 E1＝10 V 感应电流的方向为 a→d→c→b→a.
Δt1
2
ΔB S E
(2)同理可得 E2＝N
2 ，感应电流 I 22＝ ，电荷量 q＝I2Δt2
Δt2 r
ΔB S
解得 q＝N 2 代入数据得 q＝10 C.
r
E
(3)0～1 s 内线圈产生的焦耳热Q1＝I2
1
1rΔt1且 I1＝ ，
r
1～5 s 内线圈产生的焦耳热Q 22＝I2rΔt2，
由Q＝Q1＋Q2，代入数据得Q＝100 J.
[答案] (1)10 V adcba(或逆时针) (2)10 C (3)100 J
4.应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤
①分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况；
②利用楞次定律确定感应电流的方向；
③灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解.
应注意的问题,通过回路的电荷量 q仅与 n、ΔΦ和回路电阻 R有关，与变化过程所用的时间长短无关.
典例分析
【例 3】如图甲所示，一个电阻值为 R，匝数为 n的圆形金属线圈与阻值为 2R的电阻 R1连接成闭合回路．线
圈的半径为 r1.在线圈中半径为 r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度 B随时间
t变化的关系图线如图乙所示．图线与横、纵轴的截距分别为 t0和 B0，导线的电阻不计．求 0至 t1时间内：
(1)通过电阻 R1上的电流大小和方向；
(2)通过电阻 R1上的电荷量 q及电阻 R1上产生的热量．
ΔB B
[解析] (1)由图象分析可知，0至 t1时间内 ＝
0
Δt t0
ΔΦ ΔB
由法拉第电磁感应定律有 E＝n ＝n S.
Δt Δt
而 S＝πr22，
E
由闭合电路欧姆定律有 I1＝
R1＋R
nB πr2
联立以上各式解得 通过电阻 R1上的电流大小为 I ＝
0 2
1
3Rt0
由楞次定律可判断通过电阻 R1上的电流方向为从 b到 a.
πB πr2t
(2)通过电阻 R 上的电荷量 q＝I t ＝ 0 2 11 1 1
3Rt0
电阻 R1上产生的热量Q1＝I21R1t1.
3
2n2B2π2r4t
解得 Q ＝ 0 2 11 .
9Rt20
nB πr2 πB 2 2 2 2 4
[答案] (1) 0 2 从 b到 a (2) 0
πr2t1 2n B0π r2t1
3Rt 3Rt 9Rt20 0 0
知识点二、导体切割磁感线产生感应电动势
切割方式 电动势表达式 说明
垂直切割 E＝Blv
倾斜切割 E＝Blvsin_θ其中θ为 v 与 B的夹角 ①导体棒与磁场方向垂直
旋转切割 1 ②磁场为匀强磁场E＝ Bl2ω
(以一端为轴) 2
1.导体切割磁感线产生感应电动势的计算
（1）公式 E＝Blv 的“四性”
①正交性：本公式是在一定条件下得出的，除磁场为匀强磁场外，还需 B、l、v 三者互相垂直．
②瞬时性：若 v 为瞬时速度，则 E为相应的瞬时感应电动势．
③有效性：公式中的 l为导体切割磁感线的有效长度．
如图中，棒的有效长度为 a、b间的距离．
④相对性：E＝Blv 中的速度 v 是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系．
典例分析
【例 4】(2015·海南单科·2)如图 6，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度 v
沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε；将此棒弯成两段长度相等且相互
垂直的折线，置于与磁感应强度垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度 v 运动时，棒两
ε′
端的感应电动势大小为ε′.则 等于( )
ε
A 1． B 2．
2 2
C．1 D． 2
答案 B
4
（2）导体在磁场中旋转产生的感应电动势
1
导体棒绕一端在匀强磁场中转动切割磁感线产生的感应电动势为 E＝ Bωl2.
2
典例分析
【例 5】如图，直角三角形金属框 abc 放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向平行于 ab 边向上。
当金属框绕 ab 边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为 Ua、Ub、Uc，已知 bc 边的长度为 l，
下列判断正确的是( )
A．Ua>Uc，金属框中无电流
B．Ub>Uc，金属框中电流方向沿 a→b→c→a
1
C．Ubc＝－ Bl
2ω，金属框中无电流
2
1
U Bl2D． ac＝ ω，金属框中电流方向沿 a→c→b→a
2
【答案】C
ΔΦ
（3）公式 E＝n 与 E＝Blv 的区别与联系
Δt
E＝nΔΦ E＝Blv
Δt
研究对象 闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体
区 求的是Δt时间内的平均感应电动势， (1)若 v 为瞬时速度，则求的是瞬时感应电动势
研究内容
别 E与某段时间或某个过程对应 (2)若 v 为平均速度，则求的是平均感应电动势
适用范围 对任何电路普遍适用 只适用于导体切割磁感线运动的情况
(1)E Blv E n ΔΦ＝ 可由 ＝ 在一定条件下推导出来
Δt
(2)E n ΔΦ＝ 也可求瞬时感应电动势，当Δt→0时的 E即为瞬时感应电动势
联系 Δt
(3)当导体切割磁感线运动时用 E＝Blv 求 E方便，当得知穿过回路的磁通量发生变化
E n ΔΦ情况时，用 ＝ 求 E比较方便
Δt
5
【例 5】如图(a)所示，平行长直金属导轨水平放置，间距 L＝0.4 m，导轨右端接有阻值 R＝1 Ω的电阻，导
体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计，导轨间正方形区域 abcd内有方向竖直
向下的匀强磁场，bd连线与导轨垂直，长度也为 L，从 0时刻开始，磁感应强度 B的大小随时间 t变化，
规律如图(b)所示；同一时刻，棒从导轨左端开始向右匀速运动，1 s后刚好进入磁场，若使棒在导轨上始终
以速度 v＝1 m/s做直线运动，求：
(1)棒进入磁场前，回路中的电动势 E；
(2)棒在运动过程中受到的最大安培力 F，以及棒通过三角形 abd区域时电流 i与时间 t的关系式．
ΔΦ ΔB
[解析] (1)棒进入磁场前 E＝ ＝S· ①
Δt Δt
1
由几何关系得 S＝ L2 ②
2
ΔB
由题图知 ＝0.5 T/S ③
Δt
联立①②③解得 E＝0.04 V ④
(2)棒在 bd 位置时 E最大 Em＝BLv
E
I mm＝
R
B2L2v
F 安＝BImL 代入得 F 安＝ ＝0.04 N，方向向左
R
在 abd 区域，t 时刻有效长度 L′＝v×(t－1)×2＝2v(t－1)
E′＝BL′v
E′ BL′v
i＝ ＝ ＝(t－1)A (1 s＜t＜1.2 s)
R R
[答案] (1)0.04 V (2)0.04 N 方向向左 i＝(t－1)A (1 s＜t＜1.2 s)
6
2. 感生电动势与动生电动势的区别：
（1）感生电动势：
①感生电场：变化的磁场在周围空间激发的电场，这种电场叫感生电场
②感生电动势：处在感生电场中的闭合导体中的自由电荷在感生电场的作用下作定向移动，产生感应电流，
或者说导体中产生了感应电动势。由感生电场产生的电动势就叫感生电动势。
（2）动生电动势：一段导体做切割磁感线运动时，自由电荷在洛仑兹力的作用下产生定向移动，异种电荷
分别在导体的两端聚集，从而使导体两端产生电势差，这就是动生电动势，若电路闭合，则电路中产生感
应电流。
感生电动势 动生电动势
产生原因 磁场的变化 导体做切割磁感线运动
感生电场对自由电荷的电场 导体中自由电荷所受洛伦兹力沿导体方向的
移动电荷的非静电力
力 分力
回路中相当于电源的部分 处于变化磁场中的线圈部分 做切割磁感线运动的导体
方向判断方法 由楞次定律判断 通常由右手定则判断，也可由楞次定律判断
大小计算方法 由 E＝n
ΔΦ ΔΦ
计算 通常由 E＝Blvsinθ计算，也可由 E＝n 计算
Δt Δt
3.电势高低的判断
把产生感应电动势的那部分电路或导体当作电源的内电路，那部分导体相当于电源．若电路是不闭合的，
则先假设有电流通过，然后应用楞次定律或右手定则判断出电流的方向．电源内部电流的方向是由负极(低
电势)流向正极(高电势)，外电路顺着电流方向每经过一个电阻电势都要降低．
【例 6】如图甲所示，电路的左侧是一个电容为 C的电容器，电路的右侧是一个环形导体，环形导体所围
的面积为 S.在环形导体中有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间变化的规律如图乙所
示．则在 0～t0时间内，电容器( )
A CS B2－B1 ．上极板带正电，所带电荷量为
t0
B C B2－B1 ．上极板带正电，所带电荷量为
t0
C CS B2－B1 ．上极板带负电，所带电荷量为
t0
D C B2－B1 ．上极板带负电，所带电荷量为
t0
7
ΔB B －B
解析 由题图乙可知 ＝ 2 1，B增大，根据楞次定律知，感应电流沿逆时针方向，故电容器上极板带正
Δt t0
SΔB S(B －B
电，E＝n ＝ 2 1
) CS(B
，Q＝CE＝ 2
－B1)，故 A正确．
Δt t0 t0
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实战练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
1. 关于感应电动势，下列说法中正确的是( )
A．线圈中的磁通量越大，产生的感应电动势一定越大
B．线圈放在磁感应强度越大的地方，产生的感应电动势一定越大
C．线圈中产生的感应电动势为 2 V，则穿过线圈的磁通量的变化率一定为 2 Wb/s
D．线圈中产生的感应电动势为 2 V，则线圈电源的“－”极比“＋”极电势低 2 V
ΔΦ ΔΦ
解析：由 E＝n 可知，感应电动势 E与磁通量的变化率 成正比，与磁通量Φ、磁感应强度 B大小无关，
Δt Δt
ΔΦ
故选项 A、B均错误；由于不知道线圈的匝数 n，虽知道 E的大小为 2 V，但无法确定 的大小，故选项 C
Δt
错误；感应电动势的方向为电源内部感应电流的方向，电源内部感应电流从“－”极流向“＋”极，故选
项D正确．
2. 如图所示，在线圈上端放置一盛有冷水的金属杯，现接通交流电源，过了几分钟，杯内的水沸腾起来．若
要缩短上述加热时间，下列措施可行的有( )
A．增加线圈的匝数
B．提高交流电源的频率
C．将金属杯换为瓷杯
D．取走线圈中的铁芯
解析：当线圈上通交流电时，金属杯由于发生电磁感应现象，杯中有感应电流，对水加热，若要增大感应
电流，则需要增大感应电动势或者减小杯体的电阻．增加线圈的匝数，使得穿过金属杯的磁场增强，感应
电动势增大，选项 A正确；提高交变电流的频率，使得磁通量的变化率增大，感应电动势增大，选项 B正
确；若将金属杯换为瓷杯，则不会产生感应电流，选项 C错误；取走线圈中的铁芯，磁场会大大减弱，感
应电动势减小，选项D错误．故选 AB
3. (多选)在如图甲所示电路中，螺线管匝数 n＝1 500匝，横截面积 S＝20 cm2.螺线管导线电阻 r＝1.0 Ω，
R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF.在一段时间内，穿过螺线管的磁感应强度 B按如图乙所示规律变化，则下
列说法中正确的是( )
A．螺线管中产生的感应电动势为 1 V
B －．闭合开关 S，电路中电流稳定后，电阻 R1消耗的功率为 5×10 2 W
C．电路中电流稳定后电容器下极板带正电
D －．开关 S断开后，流经 R2的电荷量为 1.8×10 5 C
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nΔΦ ΔB
【解析】 根据法拉第电磁感应定律 E＝ ＝n·S ，得 E＝1.2 V，选项 A 错；根据全电路欧姆定律 I
Δt Δt
E
＝ ＝0.12 A，由 P＝I2R1，得 R1消耗的功率 P＝5.76×10－2W，选项 B错；由楞次定律知选项 C对；
R1＋R2＋r
S 断开后，流经 R2的电荷量即为 S闭合时 C板上所带电荷量Q，电容器两端的电压 U＝IR2＝0.6 V，流经 R2
的电荷量Q＝CU＝1.8×10－5 C，选项D对．
【答案】 CD
4. 如图所示，两条平行竖直虚线之间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，虚线间的距离为 l.金属圆环
的直径也为 l.圆环从左边界进入磁场，以垂直于磁场边界的恒定速度 v 穿过磁场区域．则下列说法正确的是
( )
A．感应电流的大小先增大后减小再增大再减小
B．感应电流的方向先逆时针后顺时针
C．金属圆环受到的安培力先向左后向右
D 1．进入磁场时感应电动势平均值 E ＝ πBlv
2
解析：在圆环进入磁场的过程中，通过圆环的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时
针方向，感应电动势 E＝Blv，有效长度先增大后减小，所以感应电流先增大后减小，同理可以判断穿出磁
场时的情况，A、B两项正确；根据左手定则可以判断，进入磁场和穿出磁场时受到的安培力都向左，C项
1
B· πl2
E ΔΦ 1错误；进入磁场时感应电动势平均值 ＝ ＝ 4 ＝ πBlv，D 项错误．
Δt l 4
v
答案：AB
5. 如图所示，水平放置的平行金属导轨 MN和 PQ之间接有定值电阻 R，导体棒 ab长为 l且与导轨接触良
好，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，现使导体棒 ab向右匀速运动，下列说法正确的是( )
A．导体棒 ab两端的感应电动势越来越小
B．导体棒 ab中的感应电流方向是 a→b
C．导体棒 ab所受安培力方向水平向右
D．导体棒 ab所受合力做功为零
解析：由于导体棒匀速运动，磁感应强度及长度不变，由 E＝BLv 可知，运动中感应电动势不变；由楞次定
律可知，导体棒中的电流方向由 b指向 a；由左手定则可知，导体棒所受安培力方向水平向左；由于匀速运
动，棒的动能不变，由动能定理可知，合力做的功等于零．选项 A、B、C错误，D正确．
答案：D
10
6. (多选)用一根横截面积为 S、电阻率为ρ的硬质导线做成一个半径为 r的圆环,ab为圆环的一条直径。如图
所示,在 ab 的左侧存在一个均匀变化的匀强磁场,磁场垂直圆环所在平面,磁感应强度大小随时间的变化率
=k(k<0)。则( )
A.圆环中产生逆时针方向的感应电流
B.圆环具有扩张的趋势
C.圆环中感应电流的大小为
D.图中 a、b两点间的电势差 Uab=
【解答】解：A、磁通量向里减小，由楞次定律“增反减同”可知，线圈中的感应电流方向为顺时针，故 A
错误；
B、由楞次定律的“来拒去留”可知，为了阻碍磁通量的减小，线圈有扩张的趋势；故 B正确；
C、由法拉第电磁感应定律可知，E= = = kπr2，感应电流 I= = ，故 C正确；
D、与闭合电路欧姆定律可知，ab 两点间的电势差为 =| kπr2|，故 D正确；
故选：BCD．
7. 法拉第发明了世界上第一台发电机——法拉第圆盘发电机。如图所示,紫铜做的圆盘水平放置在竖直向
下的匀强磁场中,圆盘圆心处固定一个摇柄,边缘和圆心处各与一个黄铜电刷紧贴,用导线将电刷与电流表
连接起来形成回路。转动摇柄,使圆盘逆时针匀速转动,电流表的指针发生偏转。下列说法正确的是 ( )
A.回路中电流大小变化,方向不变
B.回路中电流大小不变,方向变化
C.回路中电流的大小和方向都周期性变化
D.回路中电流方向不变,从 b 导线流进电流表
【解析】圆盘在磁场中切割磁感线产生恒定的感应电动势 E= BωR2保持不变,则电流大小也不变,由右手定
则判断得 a端为负极、b端为正极,D 项正确。
答案：D
11
8. 如图所示，将一根绝缘硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环 a、b与长直
金属杆导通，图中 a、b间距离为 L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆的距离都是 d.右边虚线范围内存
3L
在磁感应强度大小为 B、方向垂直于弯曲导线所在平面的匀强磁场，磁场区域的宽度为 ，现在外力作用
4
下导线沿杆以恒定的速度 v 向右运动，t＝0时刻 a环刚从 O点进入磁场区域，则下列说法正确的是( )
A．在 t L＝ 时刻，回路中的感应电动势为 Bdv
2v
B t 3L．在 ＝ 时刻，回路中的感应电动势为 2Bdv
4v
C．在 t L＝ 时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
4v
D L．在 t＝ 时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
2v
L 3L
解析：t＝ 时刻，回路中切割磁感线的有效长度为 0，感应电动势为 0，选项 A错误；t＝ 时刻，回路中
2v 4v
L
切割磁感线的有效长度为 d，感应电动势为 Bdv，选项 B 错误；t＝ 时刻，回路中感应电流第一次开始改
2v
变方向，选项 C错误，D正确．
答案：D
9. 如图所示,足够长的光滑导轨 ab、cd固定在竖直平面内,导轨间距为 d,b、c两点间接一阻值为 r的电阻。
ef是一水平放置的导体杆,其质量为 m、有效电阻值为 r,杆与 ab、cd保持良好接触。整个装置放在磁感应强
度大小为 B的匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直。现用一竖直向上的力拉导体杆,使导体杆从静止开始做
加速度为 的匀加速运动,上升了 H高度,这一过程中 bc间电阻 r产生的焦耳热为 Q,g为重力加速度,不计导
轨电阻及感应电流间的相互作用。求:
(1)导体杆上升到 H过程中通过杆的电量;(6分)
(2)导体杆上升到 H时所受拉力 F的大小;(8分)
(3)导体杆上升到 H过程中拉力做的功。(6分)
解:(1)感应电量 q=
又因为
(2)设 ef 上升到H时,速度为 v1、拉力为 F,根据运动学公式得 v1=
12
根据牛顿第二定律有 F-mg-BI1d=ma
根据闭合电路的欧姆定律,得 I1=
综上三式,得 F=
(3)由功能关系有WF-mgH-2Q= -0
解得 WF= +2Q
10. 在范围足够大，方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度 B＝0.2 T，有一水平放置的光滑框架，宽度
L＝0.4 m，如图所示，框架上放置一质量 m＝0.05 kg、电阻 R＝1 Ω的金属杆 cd，框架电阻不计．若杆 cd在
水平外力 F的作用下以恒定加速度 a＝2 m/s2，由静止开始做匀变速运动，求：
(1)在 5 s内平均感应电动势 E 是多少？
(2)第 5 s末回路中的电流 I多大？
(3)第 5 s末作用在杆 cd上的水平外力 F多大？
1
解析 (1)t＝5 s 内金属杆的位移 x＝ at2＝25 m，
2
v 0＋v也可用 ＝ 5x 求解
5 s 内的平均速度 v ＝ ＝5 m/s， 2
t
故平均感应电动势 E ＝BL v ＝0.4 V.
(2)第 5 s 末杆的速度 v＝at＝10 m/s，
此时感应电动势 E＝BLv，
E BLv
则回路中的电流为 I＝ ＝ ＝0.8 A.
R R
(3)杆 cd 匀加速运动，由牛顿第二定律得 F－F 安＝ma
杆 cd 所受安培力 F 安＝BIL
即 F＝BIL＋ma＝0.164 N.
13

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