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高二期末复习（三）
知识导图
知识点 1 磁场、磁感应强度和安培定则
★对磁感应强度的理解
1．理解磁感应强度的三点注意事项
1 F（ ）磁感应强度由磁场本身决定，因此不能根据定义式 B＝ 认为 B与 F成正比，与 IL成反比。
IL
（2）测量磁感应强度时小段通电导线必须垂直磁场放入，如果平行磁场放入，则所受安培力为零，但不
能说该点的磁感应强度为零。
（3）磁感应强度是矢量，其方向为放入其中的小磁针 N极的受力方向，也是自由转动的小磁针静止时 N
极的指向。
2．磁感应强度 B与电场强度 E的比较
磁感应强度 B 电场强度 E
物理意
描述磁场强弱的物理量 描述电场强弱的物理量
义
F
定义式 B＝ （L与 B垂直） E
F
＝
IL q
磁感线切线方向，小磁针 N极受力方向
方向 电场线切线方向，正电荷受力方向
（静止时 N极所指方向）
大小决
由磁场决定，与电流元无关 由电场决定，与检验电荷无关
定因素
场的叠 合磁感应强度等于各磁场的磁感应强度 合电场强度等于各电场的电场强度的矢
加 的矢量和 量和
1
3地磁场的特点
（1）在地理两极附近磁场最强，赤道处磁场最弱。
（2）地磁场的 N极在地理南极附近，S极在地理北极附近。
（3）在赤道平面（地磁场的中性面）附近，距离地球表面相等的各点，地磁场的强弱程度相同，且方向
水平。
★安培定则的应用与磁场的叠加
1．常见磁体的磁感线
2．电流的磁场及安培定则
安培定则 磁感线 磁场特点
直线电流 无磁极、非匀强磁场，且
的磁场 距导线越远磁场越弱
环形电流的两侧分别是
环形电流
N极和 S极，且离圆环中
的磁场
心越远磁场越弱
与条形磁铁的磁场相似，
通电螺线
管内为匀强磁场，管外为
管的磁场
非匀强磁场
3.磁场的叠加
磁感应强度为矢量，合成与分解遵循平行四边形定则。
2
方法与技巧
【例题 1】如图所示，两根互相平行的长直导线过纸面上的 M、N两点，且与纸面垂直，导线中通有大小
相等、方向相反的电流。a、O、b在 M、N的连线上，O为 MN的中点，c、d位于 MN的中垂线上，且 a、
b、c、d到 O点的距离均相等。关于以上几点处的磁场，下列说法正确的是（ ）
A．O点处的磁感应强度为零
B．a、b两点处的磁感应强度大小相等，方向相反
C．c、d两点处的磁感应强度大小相等，方向相同
D．a、c两点处磁感应强度的方向不同
【答案】C
举一反三
1. （多选）条在同一平面（纸面）内的长直绝缘导线搭成一等边三角形。在导线中通过的电流均为 I，电
流方向如图所示。a、b和 c三点分别位于三角形的 3个顶角的平分线上，且到相应顶点的距离相等。将 a、
b和 c处的磁感应强度大小分别记为 B1、B2和 B3。下列说法正确的是（ ）
A．B1＝B2＜B3
B．B1＝B2＝B3
C．a和 b处磁场方向垂直于纸面向外，c处磁场方向垂直于纸面向里
D．a处磁场方向垂直于纸面向外，b和 c处磁场方向垂直于纸面向里
【答案】AC
知识点 2 磁场对通电导线的作用力—安培力
1．电荷在电场和磁场中受力的对比
（1）某点电场强度的方向与电荷在该点的受力方向相同或相反；而某点磁感应强度方向与电流元在该点
所受磁场力的方向垂直。
（2）电荷在电场中一定会受到电场力的作用；如果通电导体的电流方向与磁场方向平行，则通电导体在
磁场中受到的磁场力为零。
2．安培力的大小应用公式 F＝BIL计算（当磁场方向和电流方向垂直时），但要注意 L是电流元的有效长
度，B是导线所在处的磁感应强度值。在实际应用中，导线可能不是直导线、磁场在导线处的磁感应强度
也不相同，需要进行有效转化，如找等效长度、微分为电流元、转换研究对象等。
3
3．判定导体运动情况的基本思路
判定通电导体在安培力作用下的运动或运动趋势，首先必须弄清楚导体所在位置的磁场磁感线分布情况，
然后利用左手定则准确判定导体的受力情况，进而确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
4．五种常用判定方法
左手定则
电流元法 分割为电流元 ――→ 安培力方向―→整段导体所受合力方向―→运动方向
特殊位置法 在特殊位置―→安培力方向―→运动方向
环形电流 小磁针
等效法
条形磁铁 通电螺线管 多个环形电流
同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，
结论法
有转到平行且电流方向相同的趋势
定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势的问题，可先分析电流
转换研究对
在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场
象法
的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
方法与技巧
【例题 2】如图所示，一长为 10 cm的金属棒 ab用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的
磁感应强度大小为 0.1 T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘。金属棒通过开关与一
电动势为 12 V的电池相连，电路总电阻为 2 Ω。已知开关断开时两弹簧的伸长量为 0.5 cm；闭合开关，
系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了 0.3 cm。重力加速度大小取 10 m/s2。判断开
关闭合后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量。
【答案】 安培力的方向竖直向下，金属棒的质量为 0.01 kg
【解析】依题意，开关闭合后，电流方向从 b到 a，由左手定则可知，金属棒所受的安
培力方向竖直向下。
开关断开时，两弹簧各自相对于其原长伸长了Δl1＝0.5 cm。由胡克定律和力的平衡条件得
2kΔl1＝mg①
式中，m为金属棒的质量，k是弹簧的劲度系数，g是重力加速度的大小。
开关闭合后，金属棒所受安培力的大小为
F＝BIL②
式中，I 是回路电流，L是金属棒的长度。两弹簧各自再伸长了Δl2＝0.3 cm，由胡克定律和力的平衡条件得
2k（Δl1＋Δl2）＝mg＋F③
4
由欧姆定律有
E＝IR④
式中，E是电池的电动势，R是电路总电阻。
联立①②③④式，并代入题给数据得
m＝0.01 kg。⑤
举一反三
2. 如图所示，一长为 10 cm的金属棒 ab用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应
强度大小为 0.1 T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘。金属棒通过开关与一电动势
为 12 V的电池相连，电路总电阻为 2 Ω。已知开关断开时两弹簧的伸长量为 0.5 cm；闭合开关，系统重
新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了 0.3 cm。重力加速度大小取 10 m/s2。判断开关闭合
后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量。
【答案】 安培力的方向竖直向下，金属棒的质量为 0.01 kg
【解析】依题意，开关闭合后，电流方向从 b到 a，由左手定则可知，金属棒所受
的安培力方向竖直向下。
开关断开时，两弹簧各自相对于其原长伸长了Δl1＝0.5 cm。由胡克定律和力的平衡条件得
2kΔl1＝mg①
式中，m为金属棒的质量，k是弹簧的劲度系数，g是重力加速度的大小。
开关闭合后，金属棒所受安培力的大小为
F＝BIL②
式中，I 是回路电流，L是金属棒的长度。两弹簧各自再伸长了Δl2＝0.3 cm，由胡克定律和力的平衡条件得
2k（Δl1＋Δl2）＝mg＋F③
由欧姆定律有
E＝IR④
式中，E是电池的电动势，R是电路总电阻。
联立①②③④式，并代入题给数据得
m＝0.01 kg。⑤
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知识点 3 带电粒子在磁场中的运动
★对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
（1）利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
（3）运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
（4）洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。
（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
产生
v≠0且 v不与 B平行 电荷处在电场中
条件
大小 F＝qvB（v⊥B） F＝qE
方向 F⊥B且 F⊥v 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功
情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功
★带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．圆心的确定
（1）已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方
向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示）。
（2）已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射
点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示）。
6
（3）带电粒子在不同边界磁场中的运动：
①直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）。
②平行边界（存在临界条件，如图所示）。
③圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）。
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角（φ）等于圆心角（α），并等于 AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的 2倍（如图），即φ＝α
＝2θ＝ωt。
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t α T t α l＝ （或 ＝ T），t＝ （l为弧长）。
360° 2π v
4．重要推论
（1）当速度 v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
（2）当速率 v变化时，圆心角大的运动时间长。
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方法与技巧
【特别提醒】
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题三步法
【例题 3】如图所示，虚线圆所围区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。一束电子沿圆
形区域的直径方向以速度 v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质
量为 m，电荷量为 e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求：
（1）电子在磁场中运动轨迹的半径 R；
（2）电子在磁场中运动的时间 t；
（3）圆形磁场区域的半径 r。
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点 获取信息
一束电子沿圆形区域的直径方向射入 沿半径方向入射，一定会沿半径方向射出
运动方向与原入射方向成θ角 θ为偏向角等于轨道圆弧所对圆心角
第二步：找突破口
（1）要求轨迹半径→应根据洛伦兹力提供向心力求解。
θ
（2）要求运动时间→可根据 t＝ T，先求周期 T。
2π
（3）要求圆形磁场区域的半径→可根据几何关系求解。
mv mθ mv θ
【答案】 （1） （2） （3） tan
eB eB eB 2
【解析】 （1）由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
mv2
evB＝
R
8
mv
解得 R＝ 。
eB
2πR 2πm
（2）设电子做匀速圆周运动的周期为 T，则 T＝ ＝
v eB
由如图所示的几何关系得圆心角α＝θ，
θ mθ
所以 t＝ T＝ 。
2π eB
（3）由如图所示几何关系可知
θ r
tan ＝ ，
2 R
mv θ
所以 r＝ tan 。
eB 2
举一反三
3. 如图所示，宽度为 d的有界匀强磁场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的两条边界。现有质量为 m、
电荷量为 q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v的最
大值可能是多少？
Bqd Bqd
【答案】（2＋ 2） （q为正电荷）或（2－ 2） （q 为负电荷）
m m
mv R （2＋ 2）Bqd
R＝ 又 d＝R－ 解得 v＝
Bq 2 m
3
若 q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的 圆弧，则轨道半径
4
mv′
R′＝
Bq
R′
又 d＝R′＋
2
（2－ 2）Bqd
解得 v′＝
m
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知识点 4 带电粒子在复合场中的运动
1．复合场
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为
如下四种情况：①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁
场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运
动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同
的运动阶段组成．
3.带电粒子在复合场中的运动实例
装置 原理图 规律
速度选择
若 qv0B＝Eq E，即 v0＝ ，粒子做匀速直线运动
器 B
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负
磁流体发
U
电机 电，两极电压为 U时稳定，q ＝qv0B，U＝v0Bd
d
电磁流量 Uq qvB v U Q vS πDU＝ 所以 ＝ 所以 ＝ ＝
计 D DB 4B
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流
霍尔效应
方向都垂直的方向上出现电势差
10
4.带电粒子在复合场中运动的分析思路
（1）带电粒子在复合场中运动的分析思路
（2）带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点
①受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．
②运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的
条件．
③构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．
方法与技巧
【例题 4】一个带电粒子以初速 v0垂直于电场方向向右飞入匀强电场区域，穿出电场后接着又飞入匀强磁
场区域．在如图所示的几种轨迹中，可能出现的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD．
举一反三
4. 在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为 E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为 B，方向
垂直于纸面向里，一质量为 m 的带电粒子，在场区内的竖直平面内做匀速圆周运动，则可判断该带电质点
（ ）
A．带有电荷量为 的正电荷 B．沿圆周逆时针运动
C．运动的角速度为 D．运动的速率为
【答案】C
11
5、 为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计．该装置由
绝缘材料制成，长、宽、高分别为 a、b、c，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加磁感应强度大小为
B 的匀强磁场，在前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，电
压表将显示两个电极间的电压 U．若用 Q 表示污水流量（单位时间内排出的污水体积），下列说法中正确
的是（ ）
A．若污水中负离子较多，则前表面比后表面电势高
B．若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高
C．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大
D．污水流量 Q 与 U 成正比，与 a、b 无关
【答案】D
12
强化提升
1．下列四个实验现象中，不能表明电流能产生磁场的是( )
A．甲图中，导线通电后磁针发生偏转
B．乙图中，通电导线在磁场中受到力的作用
C．丙图中，当电流方向相同时，导线相互靠近
D．丁图中，当电流方向相反时，导线相互远离
答案：B
解析：甲、丙、丁中小磁针或导线所受的磁场力都是导线中电流产生的磁场给的力，但乙中的磁场是
磁铁产生的。
2．根据所学知识判断图中正确的是( )
答案：A
解析：由左手定则知 A正确，B错误；由安培定则知 D错误；电场中某点场强方向应沿电场线的切线
方向，正电荷受力与其方向相同，C错误。
3．水平长直导线中有恒定电流 I通过，导线正下方的电子初速度方向与电流方向相同，如图所示，则
电子的运动情况是( )
A．沿路径 Oa运动
B．沿路径 Ob运动
C．沿路径 Oc运动
D．沿路径 Od运动
答案：D
解析：水平电流下方的磁场垂直向外，且离导线越远，磁感应强度 B越小，根据左手定则可以确定电
mv
子从开始运动向下偏转，再由 r＝ 知电子运动曲率半径逐渐增大，故 A、B、C错，D对。
qB
13
4．(山东文登市 2013～2014学年高二上学期期末)如图所示，三个完全相同的半圆形光滑轨道竖直放
置，分别处在真空、匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上，三个相同的带正电小球同时从轨道
左端最高点由静止开始沿轨道运动，P、M、N分别为轨道的最低点，如图所示，则下列有关判断正确的是
( )
A．小球第一次到达轨道最低点的速度关系 vp＝vM>vN
B．小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力关系 FP＝FM>FN
C．小球从开始运动到第一次到达轨道最低点所用的时间关系 tPD．三个小球到达轨道右端的高度都不相同，但都能回到原来的出发点位置
答案：A
1
解析：小球沿 P、M轨道下滑过程都只有重力做功，根据动能定理 WG＝mgR＝ mv2知到达底端速度
2
1
相等，小球沿 N轨道下滑过程电场力做负功，根据动能定理 WG－W 电＝ mvN2，其到达最低点速度要小于2
沿 P、M轨道下滑情况，故选项 A正确；根据上述分析知到达最低点的时间关系 tP＝tMmv2
选项 B中，小球沿 P轨道到达底端时，根据牛顿第二定律：FP－mg＝ ＝2mg，所以 FP＝3mg，同理小
R
mvN2
球沿 M轨道到达底端时，对轨道的压力为 FM＝3mg＋F 洛，小球沿 N轨道到达底端时 FN－mg＝ <2mg，R
故 FM>FP>FN，故选项 B错误；小球沿轨道 P、M下滑后，能到达右端同样高度的地方，故选项 D错误。
5.如图所示，在沿水平方向向里的匀强磁场中，带电小球 A与 B处在同一条竖直线上，其中小球 B带
正电荷并被固定，小球 A与一水平放置的光滑绝缘板 C接触而处于静止状态，若将绝缘板 C沿水平方向
抽去，则( )
A．小球 A仍可能处于静止状态
B．小球 A将可能沿轨迹 1运动
C．小球 A将可能沿轨迹 2运动
D．小球 A将可能沿轨迹 3运动
答案：AB
解析：若小球所受库仑力和重力二力平衡，则撤去绝缘板后，小球仍能继续处于平衡状态，A正确。
若小球在库仑力、重力、绝缘板弹力三力作用下处于平衡状态，则撤去绝缘板后，小球所受合力向上，小
球向上运动并受到向左的洛伦兹力而向左偏转，B正确，C、D错误。
14
6．(湖北省部分重点中学 2013～2014学年高二上学期期中)一束粒子流由左端平行于极板 P1射入质谱
仪，沿着直线通过电磁场复合区后，并从狭缝 S0进入匀强磁场 B2，在磁场 B2中分为如图所示的三束，则
下列相关说法中正确的是( )
A．速度选择器的 P1极板带负电
B．粒子 1带负电
C．能通过狭缝 S0的带电粒子的速率等于 E/B1
D．粒子 2的比荷 q/m绝对值最大
【答案】：BC
解析：若粒子带正电，在平行金属板中受到电场力和洛伦兹力两个力作用而做匀速直线运动，由左手
定则可知，洛伦兹力方向竖直向上，则电场力方向向下，电场强度方向向下，所以速度选择器的 P1极板带
正电，故 A错误；由图可知，粒子 1进入匀强磁场 B1时向上偏转，根据左手定则判断得知该束粒子带负
E
电，故 B正确；粒子能通过狭缝，电场力与洛伦兹力平衡，则有：qvB1＝qE，解得 v＝ ，故 C正确；根
B1
qvB m v
2
r mv据 ＝ 得， ＝ ，知 r越大，比荷越小，所以 D错误。
r qB
7．(6分)(海岳中学 2014～2015学年高二上学期检测)磁流体发电机原理如图所示，将一束等离子体(正
负电荷组成的离子化气体状物质)喷射入磁场，在电场中有两块金属板 A、B，这时金属板上就会聚集电荷，
产生电压。如果射入的等离子体速度为 v，板间距离为 d，匀强磁场的磁感应强度为 B，方向与速度方向垂
直，负载电阻为 R，电离气体充满两板间的空间。当发电机稳定发电时，电流表示数为 I。则以下说法正
确的有( )
(1)图中________板为电源的正极；
(2)有电流从________经用电器流向________；
(3)这个发电机的电动势为________；
(4)此发电机的等效内阻是________。
【答案】：(1)A (2)a，b (3)Bdv (4)Bdv－R
I
解析：大量带正电和带负电的微粒进入磁场时，由左手定则可以判断正电荷受到的洛伦兹力向上，所
以正电荷会聚集在 A板上，负电荷受到的洛伦兹力向下，负电荷聚集到 B板上，故 A板相当于电源的正极，
B E板相当于电源的负极，所以通过电阻 R的电流从 a到 b。根据 qvB＝q 得，E＝Bdv。根据欧姆定律得，
d
r E＝ －R Bdv＝ －R。
I I
15
8．(10分)为 m＝0.02kg的通电细杆 ab置于倾角为θ＝37°的平行放置的导轨上，导轨的宽度 d＝0.2m，
杆 ab与导轨间的动摩擦因数μ＝0.4，磁感应强度 B＝2T的匀强磁场与导轨平面垂直且方向向下，如图所
示。现调节滑动变阻器的触头，试求出为使杆 ab静止不动，通过 ab杆的电流范围为多少？
【答案】：0.14A≤I≤0.46A
解析：杆 ab中的电流为 a到 b，所受的安培力方向平行于导轨向上。当电流较大时，导体有向上的运
动趋势，所受静摩擦力向下；当静摩擦力达到最大时，磁场力为最大值 F1，此时通过 ab的电流最大为 Imax；
同理，当电流最小时，应该是导体受向上的最大静摩擦力，此时的安培力为 F2，电流为 Imin。
正确地画出两种情况下的受力图，由平衡条件列方程求解。
根据第一幅受力图列式如下：F1－mgsinθ－Fμ1＝0
FN－mgcosθ＝0，Fμ1＝μFN，F1＝BImaxd
解上述方程得：Imax＝0.46A
根据第二幅受力图，F2＋Fμ2－mgsinθ＝0，
FN－mgcosθ＝0，Fμ2＝μFN，F2＝BImind.
解上述方程得：Imin＝0.14A。
9. (12分)(哈尔滨六中 2014～2015学年高二下学期开学检测)在某空间存在着水平向右的匀强电场和垂
直于纸面向里的匀强磁场，如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧轨道 AC固定在纸面内，其圆心为 O点，半
径 R＝1.8m，OA －连线在竖直方向上，AC弧对应的圆心角θ＝37°。今有一质量 m＝3.6×10 4kg、电荷量 q
－
＝＋9.0×10 4C的带电小球(可视为质点)，以 v0＝4.0m/s的初速度沿水平方向从 A点射入圆弧轨道内，一
段时间后从 C点离开，小球离开 C点后做匀速直线运动，已知重力加速度 g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计
空气阻力，求：
(1)匀强电场的场强 E；
(2)小球射入圆弧轨道后的瞬间对轨道的压力。
【答案】：(1)E＝3N/C (2)3.2×10－3N
解析：(1)当小球离开圆弧轨道后，对其受力分析如图所示：
由平衡条件得：
F 电＝qE＝mgtanθ
代入数据解得：E＝3N/C
(2)小球从进入圆弧轨道到离开圆弧轨道的过程中，由动能定理得：
16
2 2
F 电Rsinθ－mgR(1－cosθ)
mv mv0
＝ －
2 2
代入数据得：v＝5m/s
由 F 电＝qvB
mg
＝
cosθ
解得：B＝1T
分析小球射入圆弧轨道瞬间的受力情况
2
由牛顿第二定律得：FN＋Bqv mg
mv0
0－ ＝
R
代入数据得：FN＝3.2 －×10 3N
由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力为：FN＝3.2×10－3N。
17高二期末复习（三）
知识导图
知识点 1 磁场、磁感应强度和安培定则
★对磁感应强度的理解
1．理解磁感应强度的三点注意事项
1 F（ ）磁感应强度由磁场本身决定，因此不能根据定义式 B＝ 认为 B与 F成正比，与 IL成反比。
IL
（2）测量磁感应强度时小段通电导线必须垂直磁场放入，如果平行磁场放入，则所受安培力为零，但不
能说该点的磁感应强度为零。
（3）磁感应强度是矢量，其方向为放入其中的小磁针 N极的受力方向，也是自由转动的小磁针静止时 N
极的指向。
2．磁感应强度 B与电场强度 E的比较
磁感应强度 B 电场强度 E
物理意
描述磁场强弱的物理量 描述电场强弱的物理量
义
F
定义式 B＝ （L与 B垂直） E
F
＝
IL q
磁感线切线方向，小磁针 N极受力方向
方向 电场线切线方向，正电荷受力方向
（静止时 N极所指方向）
大小决
由磁场决定，与电流元无关 由电场决定，与检验电荷无关
定因素
场的叠 合磁感应强度等于各磁场的磁感应强度 合电场强度等于各电场的电场强度的矢
加 的矢量和 量和
1
3地磁场的特点
（1）在地理两极附近磁场最强，赤道处磁场最弱。
（2）地磁场的 N极在地理南极附近，S极在地理北极附近。
（3）在赤道平面（地磁场的中性面）附近，距离地球表面相等的各点，地磁场的强弱程度相同，且方向
水平。
★安培定则的应用与磁场的叠加
1．常见磁体的磁感线
2．电流的磁场及安培定则
安培定则 磁感线 磁场特点
直线电流 无磁极、非匀强磁场，且
的磁场 距导线越远磁场越弱
环形电流的两侧分别是
环形电流
N极和 S极，且离圆环中
的磁场
心越远磁场越弱
与条形磁铁的磁场相似，
通电螺线
管内为匀强磁场，管外为
管的磁场
非匀强磁场
3.磁场的叠加
磁感应强度为矢量，合成与分解遵循平行四边形定则。
2
方法与技巧
【例题 1】如图所示，两根互相平行的长直导线过纸面上的 M、N两点，且与纸面垂直，导线中通有大小
相等、方向相反的电流。a、O、b在 M、N的连线上，O为 MN的中点，c、d位于 MN的中垂线上，且 a、
b、c、d到 O点的距离均相等。关于以上几点处的磁场，下列说法正确的是（ ）
A．O点处的磁感应强度为零
B．a、b两点处的磁感应强度大小相等，方向相反
C．c、d两点处的磁感应强度大小相等，方向相同
D．a、c两点处磁感应强度的方向不同
举一反三
1. （多选）条在同一平面（纸面）内的长直绝缘导线搭成一等边三角形。在导线中通过的电流均为 I，电
流方向如图所示。a、b和 c三点分别位于三角形的 3个顶角的平分线上，且到相应顶点的距离相等。将 a、
b和 c处的磁感应强度大小分别记为 B1、B2和 B3。下列说法正确的是（ ）
A．B1＝B2＜B3
B．B1＝B2＝B3
C．a和 b处磁场方向垂直于纸面向外，c处磁场方向垂直于纸面向里
D．a处磁场方向垂直于纸面向外，b和 c处磁场方向垂直于纸面向里
知识点 2 磁场对通电导线的作用力—安培力
1．电荷在电场和磁场中受力的对比
（1）某点电场强度的方向与电荷在该点的受力方向相同或相反；而某点磁感应强度方向与电流元在该点
所受磁场力的方向垂直。
（2）电荷在电场中一定会受到电场力的作用；如果通电导体的电流方向与磁场方向平行，则通电导体在
磁场中受到的磁场力为零。
2．安培力的大小应用公式 F＝BIL计算（当磁场方向和电流方向垂直时），但要注意 L是电流元的有效长
度，B是导线所在处的磁感应强度值。在实际应用中，导线可能不是直导线、磁场在导线处的磁感应强度
也不相同，需要进行有效转化，如找等效长度、微分为电流元、转换研究对象等。
3
3．判定导体运动情况的基本思路
判定通电导体在安培力作用下的运动或运动趋势，首先必须弄清楚导体所在位置的磁场磁感线分布情况，
然后利用左手定则准确判定导体的受力情况，进而确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
4．五种常用判定方法
左手定则
电流元法 分割为电流元 ――→ 安培力方向―→整段导体所受合力方向―→运动方向
特殊位置法 在特殊位置―→安培力方向―→运动方向
环形电流 小磁针
等效法
条形磁铁 通电螺线管 多个环形电流
同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，
结论法
有转到平行且电流方向相同的趋势
定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势的问题，可先分析电流
转换研究对
在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场
象法
的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
方法与技巧
【例题 2】如图所示，一长为 10 cm的金属棒 ab用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的
磁感应强度大小为 0.1 T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘。金属棒通过开关与一
电动势为 12 V的电池相连，电路总电阻为 2 Ω。已知开关断开时两弹簧的伸长量为 0.5 cm；闭合开关，
系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了 0.3 cm。重力加速度大小取 10 m/s2。判断开
关闭合后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量。
4
举一反三
2. 如图所示，一长为 10 cm的金属棒 ab用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应
强度大小为 0.1 T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘。金属棒通过开关与一电动势
为 12 V的电池相连，电路总电阻为 2 Ω。已知开关断开时两弹簧的伸长量为 0.5 cm；闭合开关，系统重
新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了 0.3 cm。重力加速度大小取 10 m/s2。判断开关闭合
后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量。
知识点 3 带电粒子在磁场中的运动
★对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
（1）利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
（3）运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
（4）洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。
（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
产生
v≠0且 v不与 B平行 电荷处在电场中
条件
大小 F＝qvB（v⊥B） F＝qE
方向 F⊥B且 F⊥v 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功
情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功
5
★带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．圆心的确定
（1）已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方
向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示）。
（2）已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射
点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示）。
（3）带电粒子在不同边界磁场中的运动：
①直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）。
②平行边界（存在临界条件，如图所示）。
③圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）。
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角（φ）等于圆心角（α），并等于 AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的 2倍（如图），即φ＝α
＝2θ＝ωt。
6
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t α T t α l＝ （或 ＝ T），t＝ （l为弧长）。
360° 2π v
4．重要推论
（1）当速度 v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
（2）当速率 v变化时，圆心角大的运动时间长。
方法与技巧
【特别提醒】
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题三步法
【例题 3】如图所示，虚线圆所围区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。一束电子沿圆
形区域的直径方向以速度 v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质
量为 m，电荷量为 e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求：
（1）电子在磁场中运动轨迹的半径 R；
（2）电子在磁场中运动的时间 t；
（3）圆形磁场区域的半径 r。
7
举一反三
3. 如图所示，宽度为 d的有界匀强磁场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的两条边界。现有质量为 m、
电荷量为 q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v的最
大值可能是多少？
知识点 4 带电粒子在复合场中的运动
1．复合场
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为
如下四种情况：①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁
场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运
动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同
的运动阶段组成．
8
3.带电粒子在复合场中的运动实例
装置 原理图 规律
速度选择
若 qv0B＝Eq E，即 v0＝ ，粒子做匀速直线运动
器 B
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负
磁流体发
电机 电，两极电压为 U
U
时稳定，q ＝qv0B，U＝v0Bd
d
电磁流量 Uq＝qvB U πDU所以 v＝ 所以 Q＝vS＝
计 D DB 4B
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流
霍尔效应
方向都垂直的方向上出现电势差
4.带电粒子在复合场中运动的分析思路
（1）带电粒子在复合场中运动的分析思路
（2）带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点
①受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．
②运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的
条件．
③构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．
9
方法与技巧
【例题 4】一个带电粒子以初速 v0垂直于电场方向向右飞入匀强电场区域，穿出电场后接着又飞入匀强磁
场区域．在如图所示的几种轨迹中，可能出现的是（ ）
A． B． C． D．
举一反三
4. 在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为 E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为 B，方向
垂直于纸面向里，一质量为 m 的带电粒子，在场区内的竖直平面内做匀速圆周运动，则可判断该带电质点
（ ）
A．带有电荷量为 的正电荷 B．沿圆周逆时针运动
C．运动的角速度为 D．运动的速率为
5. 为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计．该装置由绝
缘材料制成，长、宽、高分别为 a、b、c，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加磁感应强度大小为 B
的匀强磁场，在前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，电压
表将显示两个电极间的电压 U．若用 Q 表示污水流量（单位时间内排出的污水体积），下列说法中正确的
是（ ）
A．若污水中负离子较多，则前表面比后表面电势高
B．若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高
C．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大
D．污水流量 Q 与 U 成正比，与 a、b 无关
10
强化提升
1．下列四个实验现象中，不能表明电流能产生磁场的是( )
A．甲图中，导线通电后磁针发生偏转
B．乙图中，通电导线在磁场中受到力的作用
C．丙图中，当电流方向相同时，导线相互靠近
D．丁图中，当电流方向相反时，导线相互远离
2．根据所学知识判断图中正确的是( )
3．水平长直导线中有恒定电流 I通过，导线正下方的电子初速度方向与电流方向相同，如图所示，则电子
的运动情况是( )
A．沿路径 Oa运动
B．沿路径 Ob运动
C．沿路径 Oc运动
D．沿路径 Od运动
4．(山东文登市 2013～2014学年高二上学期期末)如图所示，三个完全相同的半圆形光滑轨道竖直放置，
分别处在真空、匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上，三个相同的带正电小球同时从轨道左端
最高点由静止开始沿轨道运动，P、M、N分别为轨道的最低点，如图所示，则下列有关判断正确的是( )
A．小球第一次到达轨道最低点的速度关系 vp＝vM>vN
B．小球第一次到达轨道最低点时对轨道的压力关系 FP＝FM>FN
C．小球从开始运动到第一次到达轨道最低点所用的时间关系 tPD．三个小球到达轨道右端的高度都不相同，但都能回到原来的出发点位置
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5.如图所示，在沿水平方向向里的匀强磁场中，带电小球 A与 B处在同一条竖直线上，其中小球 B带正电
荷并被固定，小球 A与一水平放置的光滑绝缘板 C接触而处于静止状态，若将绝缘板 C沿水平方向抽去，
则( )
A．小球 A仍可能处于静止状态
B．小球 A将可能沿轨迹 1运动
C．小球 A将可能沿轨迹 2运动
D．小球 A将可能沿轨迹 3运动
6．一束粒子流由左端平行于极板 P1射入质谱仪，沿着直线通过电磁场复合区后，并从狭缝 S0进入匀强磁
场 B2，在磁场 B2中分为如图所示的三束，则下列相关说法中正确的是( )
A．速度选择器的 P1极板带负电
B．粒子 1带负电
C．能通过狭缝 S0的带电粒子的速率等于 E/B1
D．粒子 2的比荷 q/m绝对值最大
7．磁流体发电机原理如图所示，将一束等离子体(正负电荷组成的离子化气体状物质)喷射入磁场，在电场
中有两块金属板 A、B，这时金属板上就会聚集电荷，产生电压。如果射入的等离子体速度为 v，板间距离
为 d，匀强磁场的磁感应强度为 B，方向与速度方向垂直，负载电阻为 R，电离气体充满两板间的空间。
当发电机稳定发电时，电流表示数为 I。则以下说法正确的有( )
(1)图中________板为电源的正极；
(2)有电流从________经用电器流向________；
(3)这个发电机的电动势为________；
(4)此发电机的等效内阻是________。
8．为 m＝0.02kg的通电细杆 ab置于倾角为θ＝37°的平行放置的导轨上，导轨的宽度 d＝0.2m，杆 ab与导
轨间的动摩擦因数μ＝0.4，磁感应强度 B＝2T的匀强磁场与导轨平面垂直且方向向下，如图所示。现调节
滑动变阻器的触头，试求出为使杆 ab静止不动，通过 ab杆的电流范围为多少？
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9. 在某空间存在着水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧
轨道 AC固定在纸面内，其圆心为 O点，半径 R＝1.8m，OA连线在竖直方向上，AC弧对应的圆心角θ＝
37°。今有一质量 m＝3.6 －×10 4kg －、电荷量 q＝＋9.0×10 4C的带电小球(可视为质点)，以 v0＝4.0m/s的初
速度沿水平方向从 A点射入圆弧轨道内，一段时间后从 C点离开，小球离开 C点后做匀速直线运动，已
知重力加速度 g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，求：
(1)匀强电场的场强 E；
(2)小球射入圆弧轨道后的瞬间对轨道的压力。
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