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第 32 讲 电磁感应中的“杆+导轨”模型
知识点、基础回顾
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题
目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和“双
杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、
非匀变速运动等．
考点一 单杆水平式模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，棒 ab长
物理 为 L，质量为 m，初速度为零，拉力恒为 F，水平
模型 轨道光滑，除电阻 R外，其他电阻不计
设运动过程中某时刻棒的速度为 v,由牛顿第二定律知棒 ab的加速度
动态 F B2a L
2v
,a、vt同向，随速度的增加，棒的加速度 a减小，当 a=0
分析 m mR
v I BLv时， 最大， 恒定
R
运动形式 匀速直线运动
收尾 力学特征 a=0,v恒定不变
状态 电学特征 I恒定
1
强化提升
1．如图，由某种粗细均匀的总电阻为 3R的金属条制成的矩形线框 abcd，固定在水平面内且处于方向
竖直向下的匀强磁场 B中．一接入电路电阻为 R的导体棒 PQ，在水平拉力作用下沿 ab、dc以速度 v 匀速
滑动，滑动过程 PQ始终与 ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在 PQ从靠近 ad处向 bc滑动的过程
中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
解析：选 C.PQ在运动过程中切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，线框左右两端电阻并联，当
PQ运动到中间时并联电阻最大，流经 PQ的电流最小，因此在滑动过程中，PQ中的电流先减小后增大，
选项 A错误；由于外接电阻先增大后减小，因此 PQ两端的电压即路端电压先增大后减小，选项 B错误；
E2 BLv 2
由能量守恒得拉力功率等于线框和导体棒的电功率，因此拉力功率为 P＝ ＝ ，由于电路总电阻
R 总 R 总
先增大后减小，因此拉力功率先减小后增大，选项 C正确；矩形线框 abcd总电阻为 3R，当 PQ滑动到 ab
3
中点时，线框并联总电阻最大，最大值为 R，小于导体棒 PQ的电阻，所以滑动过程中线框消耗的电功率
4
先增大后减小，选项 D错误．
2．U形光滑金属导轨水平放置，如图所示为俯视图，导轨右端接入电阻 R＝0.36 Ω，其他部分无电阻，
导轨间距为 L＝0.6 m，界线 MN右侧有匀强磁场，磁感应强度为 B＝ 2 T．导体棒 ab电阻为零，质量 m＝
1 kg.导体棒与导轨始终垂直且接触良好，在距离界线 MN为 d＝0.5 m处受恒力 F＝1 N作用从静止开始向右
运动，到达界线 PQ时恰好匀速，界线 PQ与 MN间距也为 d.
(1)求匀速运动时的速度 v 的大小；
(2)求导体棒在 MN和 PQ间运动过程中 R的发热量 Q.
2 2
解析：(1)匀速时合力为零，所以 F＝F 安＝BIL
B L v
＝
R
得 v FR＝
B2 2
＝0.5 m/s
L
(2) 1设导体棒从出发到匀速的过程安培力做功为 WA，根据动能定理有 F·2d＋WA＝ mv2
2
7
得 WA＝－ J
8
R的发热量即为导体棒克服安培力做的功，
即 Q＝|W 7A|＝ J
8
2
答案：(1)0.5 m/s (2)7 J
8
3．(2017·湖南邵阳二模)如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，两导轨间距为 L，
左端接一电源，其电动势为 E、内阻为 r，有一质量为 m、长度也为 L的金属棒置于导轨上，且与导轨垂直，
金属棒的电阻为 R，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应强度为 B，方向竖直向下的匀强磁场中．
(1)若闭合开关 S 的同时对金属棒施加水平向右恒力 F，求棒即将运动时的加速度和运动过程中的最大
速度；
(2)若开关 S开始是断开的，现对静止的金属棒施加水平向右的恒力 F，一段时间后再闭合开关 S；要使
F
开关 S闭合瞬间棒的加速度大小为 ，则 F需作用多长时间．
m
E
解析：(1)闭合开关 S的瞬间回路电流 I＝
R＋r
金属棒所受安培力水平向右，其大小 FA＝ILB
FA＋F
由牛顿第二定律得 a＝
m
E F
整理可得 a＝ LB＋
R＋r m m
金属棒向右运动的过程中，切割磁感线产生与电源正负极相反的感应电动势，回路中电流减小，安培
力减小，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，匀速运动时速度最大，此时由平衡条件得 FA′＝F
由安培力公式得 FA′＝I′LB
BLvm－E
由闭合电路欧姆定律得 I′＝
R＋r
v F R＋r E联立求得 m＝ ＋
B2L2 BL
(2)设闭合开关 S时金属棒的速度为 v，
I BLv－E此时电流 ″＝
R＋r
F－FA″
由牛顿第二定律得 a″＝
m
F BLv－E
所以加速度 a″＝ － LB
m R＋r m
F BLv－E
F － LB F
若加速度大小为 ，则|m R＋r m |＝
m m
v E v E 2F R＋r 解得速度 1＝ ， 2＝ ＋
BL BL B2L2
F
未闭合开关 S前金属棒的加速度一直为 a0＝
m
解得恒力 F作用时间
3
t v1 mE1＝ ＝ 或 t
v2 mE 2m R＋r
2＝ ＝ ＋
a0 FBL a0 FBL B2L2
(1) E LB F F R＋r E答案： ＋ ＋
R＋r m m B2L2 BL
(2) mE mE 2m R＋r 或 ＋
FBL FBL B2L2
考点二 单杆倾斜式模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间
物理 距为 L，导体棒质量为 m，电阻为 R，导轨光滑，
模型 电阻不计
棒 ab释放后下滑，此时 a=gsin ,棒 ab速度 v 感应电动势E=BLv
动态
电流 I E 安培力 F=BIL 加速度 a ,当安培力 F=mgsin 时，
分析 R
a=0,v最大
运动形式 匀速直线运动
收尾 力学特征 a=0,v v mgR sin 最大， m B2 2状态 L
电学特征 I恒定
强化提升
1. (2017·河南安阳检测)如图所示，平行金属导轨宽度为 d，一部分轨道水平，左端接电阻 R，倾斜部分
与水平面成θ角，且置于垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为 B，现将一质量为 m、长度也为 d的导
体棒从导轨顶端由静止释放，直至滑到水平部分(导体棒下滑到水平部分之前已经匀速，滑动过程中与导轨
保持良好接触，重力加速度为 g)．不计一切摩擦力，导体棒接入回路电阻为 r，则整个下滑过程中( )
A mg R＋r sin θ．导体棒匀速运动时速度大小为
B2d2
B mg R＋r sin θ．匀速运动时导体棒两端电压为
Bd
C．导体棒下滑距离为 s Bsd时，通过 R的总电荷量为
R
D．重力和安培力对导体棒所做的功大于导体棒获得的动能
解析：选 A.导体棒下滑过程中受到沿斜面向下重力的分力和沿斜面向上的安培力，当匀速运动时，有
4
mgsin θ BId I E＝ ，根据欧姆定律可得 ＝ ，根据法拉第电磁感应定律可得 E＝Bdv，联立解得 v mg R＋r ＝ sin
R＋r B2d2
θ E mg R＋r ， ＝ sin θ E mgR，故导体棒两端的电压为 U＝ R＝ sin θ，A正确，B错误．根据法拉第电磁感
Bd r＋R Bd
E ΔΦ BΔS Bds E应定律 ＝ ＝ ＝ ，故 q＝IΔt＝ Δt Bsd＝ ，根据动能定理可得重力和安培力对导体棒所做的功
Δt Δt Δt R＋r R＋r
等于导体棒获得的动能，C、D错误．
2．(2017·北京东城期末)如图所示，两根足够长平行金属导轨 MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，
顶部接有一阻值 R＝3 Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距 L＝1 m．整个装置处于磁感应强度 B＝2 T的匀
强磁场中，磁场方向垂直斜面向上．质量 m＝1 kg 的金属棒 ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻 r＝1 Ω，
电路中其余电阻不计．金属棒 ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好．不计空
气阻力影响．已知金属棒 ab与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取 g＝10 m/s2.
(1)求金属棒 ab沿导轨向下运动的最大速度 vm；
(2)求金属棒 ab沿导轨向下运动过程中，电阻 R上的最大电功率 PR；
(3)若从金属棒 ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻 R上产生的焦耳热总共为 1.5 J，求流过电阻 R
的总电荷量 q.
解析：(1)金属棒由静止释放后，沿斜面做变加速运动，加速度不断减小，
当加速度为零时有最大速度 vm.
由牛顿第二定律得 mgsin θ－μmgcos θ－F 安＝0
F 安＝BIL I
BLvm
， ＝ ，解得 vm＝2.0 m/s
R＋r
(2)金属棒以最大速度 vm匀速运动时，电阻 R上的电功率最大，此时 PR＝I2R，解得 PR＝3 W
(3)设金属棒从开始运动至达到最大速度过程中，沿导轨下滑距离为 x，由能量守恒定律得
mgxsin θ＝μmgxcos θ 1＋QR＋Qr＋ mv2m
2
Q
根据焦耳定律 R
R
＝ ，解得 x＝2.0 m
Qr r
E
根据 q＝ I Δt， I ＝
R＋r
E ΔΦ BLx＝ ＝ ，解得 q＝1.0 C
Δt Δt
答案：(1)2 m/s (2)3 W (3)1.0 C
5
3．(2017·山西第二次四校联考)如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距 L，导轨平面
与水平面的夹角θ＝30°，导轨电阻不计，磁感应强度为 B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为 L的金属
棒垂直于 MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为 m、电阻为 R.两金属导轨的上
端连接一个灯泡，灯泡的电阻也为 R.现闭合开关 K，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向
上的、大小为 F＝2mg的恒力，使金属棒由静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额
定功率．重力加速度为 g，求：
(1)金属棒能达到的最大速度 vm；
(2)灯泡的额定功率 PL；
(3)若金属棒上滑距离为 s时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑 2s的过程中，金属棒上产生的
电热 Q1.
解析：(1)金属棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，
金属棒达到最大速度，此后开始做匀速直线运动，设最大速度为 vm，则速
度达到最大时有
E＝BLvm，I E＝ ，
2R
F＝BIL＋mgsin θ，解得 v 3mgRm＝ ，
B2L2
9m2 2(2)P I2R P g RL＝ ，解得 L＝ .
4B2L2
(3)设整个电路放出的电热为 Q，由能量守恒定律有
F·2s＝Q＋mgsin θ·2s 1＋ mvm2，
2
Q 3 9m3g2R2
由题意可知 Q1＝ ，解得 Q1＝ mgs－ .
2 2 4B4L4
3mgR 9m2g2R 3 9m3g2R2
答案：(1) (2) (3) mgs－
B2L2 4B2L2 2 4B4L4
考点三 双杆模型
“双杆”模型分为两类：一类是“一动一静”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质
是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡．另一种情况
物理
是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加
模型
还是相减．
分析 通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态．对于收尾状态则有恒定的速度
方法 或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解.
6
强化提升
1. 如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距 L＝0.4 m．导
轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为 MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ
中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为 B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量 m1＝0.1 kg，
电阻 R1＝0.1 Ω 的金属条 ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量 m2＝0.4 kg、电阻 R2
＝0.1 Ω的光滑导体棒 cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd
始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 g＝10 m/s2.问：
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度 v 多大；
(3)从 cd开始下滑到 ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离 x＝3.8 m，此过程中 ab上产生的热量 Q
是多少．
解析：(1)由右手定则可判断出 cd中的电流方向为由 d到 c，则 ab
中电流方向为由 a流向 b.
(2)开始放置 ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设
其为 Fmax，有 Fmax＝m1gsin θ①
设 ab刚要上滑时，cd棒的感应电动势为 E，由法拉第电磁感应定律
有 E＝BLv②
设电路中的感应电流为 I，由闭合电路欧姆定律有
I E＝ ③
R1＋R2
设 ab所受安培力为 F 安，有 F 安＝BIL④
此时 ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有 F 安＝m1gsin θ＋Fmax⑤
综合①②③④⑤式，代入数据解得 v＝5 m/s⑥
(3)设 cd 1棒运动过程中在电路中产生的总热量为 Q 总，由能量守恒定律有 m2gxsin θ＝Q 总＋ m2v2⑦2
Q R1又 ＝ Q 总⑧
R1＋R2
解得 Q＝1.3 J⑨
答案：(1)由 a流向 b (2)5 m/s (3)1.3 J
7
2．如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成 53°角固定放置，导轨间连接一阻值为 6 Ω
的电阻 R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线 m、n间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为 B的匀强磁
场．导体棒 a的质量为 ma＝0.4 kg，电阻 Ra＝3 Ω；导体棒 b的质量为 mb＝0.1 kg，电阻 Rb＝6 Ω；它们分
别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a、b从开始相距 L0＝0.5 m处同时由静止开始释放，运动过程中它
们都能匀速穿过磁场区域，当 b刚穿出磁场时，a正好进入磁场(g取 10 m/s2，不计 a、b之间电流的相互作
用)．求：
(1)当 a、b分别穿越磁场的过程中，通过 R的电荷量之比；
(2)在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；
(3)磁场区域沿导轨方向的宽度 d；
(4)在整个过程中产生的总焦耳热．
ΔΦ
解析：(1)由法拉第电磁感应定律得 E ＝ ，
Δt
平均电流 I
E
＝ ，
R 总
ΔΦ
通过导体棒的总电荷量 q ＝ I总 Δt＝ .R 总
RRa
在 b穿越磁场的过程中，b是电源，a与 R是外电路，电路的总电阻 R 总 1＝Rb＋ ＝8 Ω.R＋Ra
则通过 R的电荷量为 q 1q 1 ΔΦRb＝
3 总
＝ · .
3 R 总 1
同理，a RRb 1 1 ΔΦ穿越磁场的过程中，R 总 2＝Ra＋ ＝6 Ω，通过 R的电荷量为 qRa＝ q 总＝ · .R＋Rb 2 2 R 总 2
解得 qRa∶qRb＝2∶1.
2 2
(2) b BLvb B L vb设 在磁场中匀速运动的速度大小为 vb，则 b中的电流 Ib＝ .由平衡条件得 ＝mbgsin 53°.
R 总 1 R 总 1
B2L2va
同理，a在磁场中匀速运动时有 ＝magsin 53°.
R 总 2
联立可得 va∶vb＝3∶1.
(3)设 a、b穿越磁场的过程中的速度分别为 va和 vb.
由题意得 va＝vb＋gtsin 53°，d＝vbt，
因 va2－vb2＝2gL0sin 53°，解得 d＝0.25 m.
(4)由 F 安 a＝magsin 53°，故 Wa＝magdsin 53°＝0.8 J，
同理 Wb＝mbgdsin 53°＝0.2 J.
在整个过程中，电路中共产生焦耳热为
Q＝Wa＋Wb＝1 J.答案：(1)2∶1 (2)3∶1 (3)0.25 m (4)1 J
8
课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．如图，在磁感应强度为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆 MN在平行金属导轨上以速度
v 向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为 E1；若磁感应强度增为 2B，其他条件不变，MN中产生的感应
电动势变为 E2.则通过电阻 R的电流方向及 E1与 E2之比 E1∶E2分别为( )
A．c→a,2∶1 B．a→c,2∶1
C．a→c,1∶2 D．c→a,1∶2
解析：选 C.杆 MN向右匀速滑动，由右手定则判知，通过 R的电流方向
为 a→c；又因为 E＝BLv，所以 E1∶E2＝1∶2，故选项 C正确．
2．(多选)如图，水平放置的金属导体框 abcd，ab、cd边平行、间距为 l，导体框内均有垂直于框面、
磁感应强度大小为 B的匀强磁场，一单位长度电阻为 r的金属杆 MN，与导轨成θ角，以速度 v 沿平行于 cd
的方向匀速滑动，金属杆滑动过程中与导轨接触良好，导轨框电阻不计，则( )
A．M点电势低于 N点电势
B．闭合回路中磁通量的变化率为 Blv
C．金属杆所受安培力的方向与运动方向相反
2
D B lv．金属杆所受安培力的大小为
r
解析：选 BD.由右手定则可知 M点电势高于 N点电势，故 A错误．根据法拉第电磁感应定律可得 E＝
ΔΦ
＝Blv，故 B正确．由左手定则知，金属杆所受安培力方向垂直于 MN斜向上，故 C错误．由 E＝Blv，I
Δt
E R l r F BI l F B
2lv
＝ ， ＝ ， ＝ ，解得 ＝ ，故 D正确．
R sin θ sin θ r
3．如图所示，两根间距为 l的光滑平行金属导轨与水平面夹角为α，图中虚线下方区域内存在磁感应强
度为 B的匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上．两金属杆质量均为 m，电阻均为 R，垂直于导轨放置．开
始时金属杆 ab处在距磁场上边界一定距离处，金属杆 cd处在导轨的最下端，被与导轨垂直的两根小柱挡
住．现将金属杆 ab由静止释放，金属杆 ab刚进入磁场便开始做匀速直线运动．已知重力加速度为 g，则
( )
A．金属杆 ab进入磁场时感应电流的方向为由 a到 b
B ab 2mgRsin α．金属杆 进入磁场时速度大小为
B2l2
C．金属杆 ab mgsin α进入磁场后产生的感应电动势为
Bl
D．金属杆 ab进入磁场后，金属杆 cd对两根小柱的压力大小为零
9
解析：选 B.由右手定则可知，金属杆 ab进入磁场时产生的感应电流的方向为由 b到 a，故 A错误；因
2 2
金属杆 ab B l v 2mgRsin α刚进入磁场便开始做匀速直线运动，则有 mgsin α＝ ，解得 v＝ ，故 B正确；金属
2R B2l2
2mgRsin α
杆 ab进入磁场后产生的感应电动势 E＝Blv，解得 E＝ ，故 C错误；由左手定则可知，金属杆 cd
Bl
受到的安培力与斜面平行且向下，则金属杆 cd对两根小柱的压力不为零，故 D错误．
4．CD、EF是两条水平放置的电阻可忽略的平行金属导轨，导轨间距为 L，在水平导轨的左侧存在磁
感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，磁场区域的长度为 d，如图所示．导轨
的右端接有一电阻 R，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．将一阻值也为 R的导体棒从弯曲轨道上 h高处
由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右边界处．已知导体棒与水平导轨接触良好，且动摩擦因数为μ，
则下列说法中正确的是( )
A Bd 2gh．电阻 R的最大电流为
R
B BdL．流过电阻 R的电荷量为
R
C．整个电路中产生的焦耳热为 mgh
D 1．电阻 R中产生的焦耳热为 mg(h－μd)
2
解析：选 D.由题图可知，导体棒刚进入磁场的瞬间速度最大，产生的感应电流最大，由机械能守恒有
mgh 1mv2 I E BLv BL 2gh A R q I t ΔΦ BLd＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ， 错误；流过 的电荷量为 ＝ ＝ ＝ ，B错误；由能
2 2R 2R 2R 2R 2R
量守恒定律可知整个电路中产生的焦耳热为 Q＝mgh－μmgd，C错误；由于导体棒的电阻也为 R，则电阻 R
1 1
中产生的焦耳热为 Q＝ mg(h－μd)，D正确．
2 2
5．(多选)如图所示，足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0＜θ＜90°)，其中 MN与 PQ平
行且间距为 L，导轨平面与磁感应强度大小为 B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒 ab由静止开始沿
导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab棒接入电路的部分的电阻为 R，当流过 ab棒某一横截
面的电荷量为 q时，棒的速度大小为 v，则金属棒 ab在这一过程中( )
A．a点的电势高于 b点的电势
B．ab棒中产生的焦耳热小于 ab棒重力势能的减少量
C qR．下滑的位移大小为
BL
B2L2D v．受到的最大安培力大小为 sin θ
R
解析：选 ABC.由右手定则可知 a点相当于电源的正极，b点相当于电源的负极，故 A正确；由能量守
恒可知 ab ΔΦ BxL棒重力势能的减少量等于 ab棒中产生的焦耳热与 ab棒的动能之和，故 B正确；由 q＝ ＝
R R
10
qR
可得，下滑的位移大小为 x＝ ，故 C正确；金属棒 ab在这一过程中受到的安培力大小为 F＝BIL，I最大
BL
BLv B2L2v
为 ，故最大安培力大小为 ，故 D错误．
R R
6．(多选)如图甲所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为 L，一端通过导线与阻
值为 R的电阻连接．导轨上放一质量为 m的金属杆，金属杆、导轨的电阻均忽略不计，匀强磁场垂直导轨
平面向下．用与导轨平行的恒定拉力 F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，金
属杆做匀速运动时的速度 v 也会变化，v 和 F的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．金属杆在匀速运动之前做匀加速直线运动
B．流过电阻 R的电流方向为 a→R→b
2 2
C B L 2．由图象可以得出 B、L、R三者的关系式为 ＝
R 3
D．当恒力 F＝3 N时，电阻 R消耗的最大电功率为 8 W
BD. F B
2L2v
解析：选 金属杆在匀速运动之前，随着运动速度的增大，由 安＝ 可知金属杆所受的安培力增R
大，由牛顿第二定律可知金属杆的加速度减小，故金属杆做加速度减小的加速运动，选项 A错误；由楞次
定律可知，流过电阻 R的电流方向为 a→R→b，选项 B正确；因为图象与横轴交点等于金属杆所受摩擦力
B2L2v B2L2
的大小，故由图象可知金属杆所受的摩擦力为 Ff＝1 N，金属杆匀速运动时有 F－Ff＝F 安＝ ，则可得R R
F－Ff 1
＝ ＝ ，选项 C错误；当恒力 F＝3 N时，金属杆受到的安培力大小为 F 安＝F－Ff＝2 N，金属杆匀速v 2
运动的速度为 4 m/s，所以金属杆克服安培力做功的功率 P＝8 W，转化为电能的功率为 8 W，故电阻 R消
耗的最大电功率为 8 W，选项 D正确．
[综合应用题组]
7. 如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距 L，与水平面的夹角为θ，整个空间存在垂直于导轨平面
的匀强磁场，磁感应强度大小均为 B，虚线上方轨道光滑且磁场方向垂直导轨平面向上，虚线下方轨道粗糙
且磁场方向垂直导轨平面向下．当导体棒 EF以初速度 v0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒 MN一
直静止在导轨上，若两导体棒质量均为 m、电阻均为 R，导轨电阻不计，重力加速度为 g，在此过程中导体
棒 EF上产生的电热为 Q，求：
(1)导体棒 MN受到的最大摩擦力；
(2)导体棒 EF上升的最大高度．
解析：(1)EF获得向上初速度 v0时，产生感应电动势 E＝BLv0，电路中
电流为 I，由闭合电路的欧姆定律有
I E＝ ，
2R
此时对导体棒 MN受力分析，由平衡条件有
FA＋mgsin α＝Ff，FA＝BIL，
11
B2L2F v0解得 f＝ ＋mgsin θ.
2R
(2)导体棒 EF 上升过程 MN 1一直静止，对系统由能的转化和守恒定律有 mv20＝mgh＋2Q，解得 h＝
2
mv20－4Q.
2mg
(1)B
2L2v0 mgsin θ (2)mv0
2－4Q
答案： ＋
2R 2mg
8．如图甲所示，足够长的光滑导轨倾角为 30°，间距 L＝1 m，电阻不计，恒定的非匀强磁场方向垂直
于斜面向下，电阻 R＝1 Ω，导体棒 ab质量 m＝0.25 kg，其电阻 r＝1 Ω，垂直于导轨放置．现导体棒 ab从
磁场上边界由静止下滑，测得导体棒所到达位置的磁感应强度 B与导体棒在该位置速度之间的关系如图乙
所示，(g取 10 m/s2)
(1)求导体棒下滑 2 s时的速度和位移；
(2)求导体棒下滑 2 s内回路中产生的焦耳热．
解析：(1)由题图乙可知，棒下滑的任意状态有
B2v＝0.5 T2·m·s－1
对棒下滑过程中某一状态由牛顿第二定律得
2 2
mgsin 30° B L v－ ＝ma
R＋r
代入数据可得导体棒的加速度 a＝4 m/s2
可见导体棒在斜面上做 a＝4 m/s2的匀加速直线运动
1
棒在 2 s内的位移 x＝ at2＝8 m
2
2 s末的速度 v＝at＝8 m/s
(2) 1由能量守恒得 mgxsin 30°＝ mv2＋Q
2
代入数据解得 Q＝2 J.
答案：(1)8 m/s 8 m (2)2 J
12
9．如图甲所示，两根足够长平行金属导轨 MN、PQ相距为 L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒 ab
垂直于 MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为 m.导轨处于匀强磁场中，磁场的
方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为 B.金属导轨的上端与开关 S、定值电阻 R1和电阻箱 R2相
连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为 g.现在闭合开关 S，将金属棒由静止释放．
(1)判断金属棒 ab中电流的方向；
(2)若电阻箱 R2接入电路的阻值为 0，当金属棒下降高度为 h时，速度为 v，求此过程中定值电阻上产
生的焦耳热 Q；
(3)当 B＝0.40 T，L＝0.50 m，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度 vm随电阻箱 R2阻值的变化关系，如
图乙所示．取 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.
求 R1的阻值和金属棒的质量 m.
解析：(1)由右手定则可知，金属棒 ab中的电流方
向为由 b到 a.
(2) mgh 1由能量守恒定律知，金属棒减少的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热 ，即 ＝ mv2
2
＋Q
则 Q＝mgh 1－ mv2.
2
(3)金属棒达到最大速度 vm时，切割磁感线产生的感应电动势：
E＝BLvm
E
由闭合电路的欧姆定律得：I＝
R1＋R2
从 b端向 a端看，金属棒受力如图所示
金属棒达到最大速度时，满足：
mgsin α－BIL＝0
由以上三式得
v mgsin αm＝ (R ＋R )
B2L2
2 1
由图乙可知：斜率
k 60－30＝ m·s－1·Ω－1＝15 m·s－1·Ω－1，
2
纵轴截距 v＝30 m/s
mgsin αR v mgsin α所以 1＝ ， ＝k
B2L2 B2L2
R 1解得 1＝2.0 Ω，m＝0.1 kg答案：(1)b→a (2)mgh－ mv2 (3)2.0 Ω 0.1 kg
2
13
10．如图所示，电阻不计、间距 L＝1 m、足够长的光滑金属导轨 ab、cd与水平面成θ＝37°角，导轨平
面矩形区域 efhg内分布着磁感应强度大小 B＝1 T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，边界 ef、gh之间的
距离 D＝1.4 m．现将质量 m＝0.1 kg 5、电阻 R＝ Ω的导体棒 P、Q相隔Δt＝0.2 s先后从导轨顶端由静止自
3
由释放，P、Q在导轨上运动时始终与导轨垂直且接触良好，P进入磁场时恰好匀速运动，Q穿出磁场时速
度为 2.8 m/s.已知重力加速度 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)导轨顶端与磁场上边界 ef之间的距离 s；
(2)从导体棒 P释放到 Q穿出磁场的过程，回路中产生的焦耳热 Q 总．
解析：(1)设 P进入磁场时的速度为 v1，由法拉第电磁感应定律有 E＝BLv1
E
由闭合电路欧姆定律有 I＝ ，安培力 F＝BIL，
2R
P匀速运动有 F＝mgsin θ，联立解得 v1＝2 m/s，
P从 ac到 ef过程，由牛顿第二定律有 a＝gsin θ，由运动学公式
v21
有 s＝ ，
2a
1
解得 s＝ m≈0.33 m.
3
(2)P进入磁场以速度 v1匀速运动，Δt＝0.2 s后，Q恰好进入磁场，速度也为 v1＝2 m/s.之后，P、Q以
加速度 a匀加速运动，P出磁场以后继续以加速度 a匀加速运动，而 Q在安培力作用下减速运动，直到穿
出磁场区域．
P在磁场中匀速运动的位移 x1＝v1Δt，
此过程回路产生的焦耳热 Q1＝mgx1sin θ，
P、Q一起匀加速运动的位移 x2＝D－x1，
设 P刚好出磁场时，P、Q的速度为 v，由运动学公式有 v2－v12＝2ax2，解得 v＝4 m/s，
P出磁场后 Q做减速运动，Q出磁场时的速度 v2＝2.8 m/s，运动的位移 x3＝x1，
Q 1 1减速运动过程中回路产生的焦耳热 Q2＝mgx3sin θ＋ mv2－ mv22，所以，全过程回路中的焦耳热为 Q
2 2
总＝Q1＋Q2＝0.888 J.
答案：(1)0.33 m (2)0.888 J
14第 32 讲 电磁感应中的“杆+导轨”模型
知识点、基础回顾
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题
目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和“双
杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、
非匀变速运动等．
考点一 单杆水平式模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，棒 ab长
物理 为 L，质量为 m，初速度为零，拉力恒为 F，水平
模型 轨道光滑，除电阻 R外，其他电阻不计
设运动过程中某时刻棒的速度为 v,由牛顿第二定律知棒 ab的加速度
动态 F B2a L
2v
,a、vt同向，随速度的增加，棒的加速度 a减小，当 a=0
分析 m mR
v I BLv时， 最大， 恒定
R
运动形式 匀速直线运动
收尾 力学特征 a=0,v恒定不变
状态 电学特征 I恒定
1
强化提升
1．如图，由某种粗细均匀的总电阻为 3R的金属条制成的矩形线框 abcd，固定在水平面内且处于方向
竖直向下的匀强磁场 B中．一接入电路电阻为 R的导体棒 PQ，在水平拉力作用下沿 ab、dc以速度 v 匀速
滑动，滑动过程 PQ始终与 ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在 PQ从靠近 ad处向 bc滑动的过程
中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
2．U形光滑金属导轨水平放置，如图所示为俯视图，导轨右端接入电阻 R＝0.36 Ω，其他部分无电阻，
导轨间距为 L＝0.6 m，界线 MN右侧有匀强磁场，磁感应强度为 B＝ 2 T．导体棒 ab电阻为零，质量 m＝
1 kg.导体棒与导轨始终垂直且接触良好，在距离界线 MN为 d＝0.5 m处受恒力 F＝1 N作用从静止开始向右
运动，到达界线 PQ时恰好匀速，界线 PQ与 MN间距也为 d.
(1)求匀速运动时的速度 v 的大小；
(2)求导体棒在 MN和 PQ间运动过程中 R的发热量 Q.
2
3．(2017·湖南邵阳二模)如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，两导轨间距为 L，
左端接一电源，其电动势为 E、内阻为 r，有一质量为 m、长度也为 L的金属棒置于导轨上，且与导轨垂直，
金属棒的电阻为 R，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应强度为 B，方
向竖直向下的匀强磁场中．
(1)若闭合开关 S的同时对金属棒施加水平向右恒力 F，求棒即将运动时
的加速度和运动过程中的最大速度；
(2)若开关 S开始是断开的，现对静止的金属棒施加水平向右的恒力 F，一段时间后再闭合开关 S；要使
开关 S F闭合瞬间棒的加速度大小为 ，则 F需作用多长时间．
m
考点二 单杆倾斜式模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间
物理 距为 L，导体棒质量为 m，电阻为 R，导轨光滑，
模型 电阻不计
棒 ab释放后下滑，此时 a=gsin ,棒 ab速度 v 感应电动势E=BLv
动态
电流 I E 安培力 F=BIL 加速度 a ,当安培力 F=mgsin 时，
分析 R
a=0,v最大
运动形式 匀速直线运动
收尾 力学特征 a=0,v v mgR sin 最大， m B2状态 L
2
电学特征 I恒定
3
强化提升
1. (2017·河南安阳检测)如图所示，平行金属导轨宽度为 d，一部分轨道水平，左端接电阻 R，倾斜部分
与水平面成θ角，且置于垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为 B，现将一质量为 m、长度也为 d的导
体棒从导轨顶端由静止释放，直至滑到水平部分(导体棒下滑到水平部分之前已经匀速，滑动过程中与导轨
保持良好接触，重力加速度为 g)．不计一切摩擦力，导体棒接入回路电阻为 r，则整个下滑过程中( )
A mg R＋r sin θ．导体棒匀速运动时速度大小为
B2d2
B mg R＋r sin θ．匀速运动时导体棒两端电压为
Bd
C．导体棒下滑距离为 s时，通过 R Bsd的总电荷量为
R
D．重力和安培力对导体棒所做的功大于导体棒获得的动能
2．(2017·北京东城期末)如图所示，两根足够长平行金属导轨 MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，
顶部接有一阻值 R＝3 Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距 L＝1 m．整个装置处于磁感应强度 B＝2 T的匀
强磁场中，磁场方向垂直斜面向上．质量 m＝1 kg 的金属棒 ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻 r＝1 Ω，
电路中其余电阻不计．金属棒 ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好．不计空
气阻力影响．已知金属棒 ab与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取 g＝10 m/s2.
(1)求金属棒 ab沿导轨向下运动的最大速度 vm；
(2)求金属棒 ab沿导轨向下运动过程中，电阻 R上的最大电功率 PR；
(3)若从金属棒 ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻 R上产生的焦耳热总共为 1.5 J，求流过电阻 R
的总电荷量 q.
4
3．(2017·山西第二次四校联考)如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距 L，导轨平面
与水平面的夹角θ＝30°，导轨电阻不计，磁感应强度为 B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为 L的金属
棒垂直于 MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为 m、电阻为 R.两金属导轨的上
端连接一个灯泡，灯泡的电阻也为 R.现闭合开关 K，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向
上的、大小为 F＝2mg的恒力，使金属棒由静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额
定功率．重力加速度为 g，求：
(1)金属棒能达到的最大速度 vm；
(2)灯泡的额定功率 PL；
(3)若金属棒上滑距离为 s时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑 2s的过程中，金属棒上产生的
电热 Q1.
考点三 双杆模型
“双杆”模型分为两类：一类是“一动一静”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质
是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡．另一种情况
物理
是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加
模型
还是相减．
分析 通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态．对于收尾状态则有恒定的速度
方法 或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解.
5
强化提升
1. 如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距 L＝0.4 m．导
轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为 MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ
中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为 B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量 m1＝0.1 kg，
电阻 R1＝0.1 Ω 的金属条 ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量 m2＝0.4 kg、电阻 R2
＝0.1 Ω的光滑导体棒 cd置于导轨上，由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd
始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 g＝10 m/s2.问：
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度 v 多大；
(3)从 cd开始下滑到 ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离 x＝3.8 m，此过程中 ab上产生的热量 Q
是多少．
6
2．如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成 53°角固定放置，导轨间连接一阻值为 6 Ω
的电阻 R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线 m、n间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为 B的匀强磁
场．导体棒 a的质量为 ma＝0.4 kg，电阻 Ra＝3 Ω；导体棒 b的质量为 mb＝0.1 kg，电阻 Rb＝6 Ω；它们分
别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a、b从开始相距 L0＝0.5 m处同时由静止开始释放，运动过程中它
们都能匀速穿过磁场区域，当 b刚穿出磁场时，a正好进入磁场(g取 10 m/s2，不计 a、b之间电流的相互作
用)．求：
(1)当 a、b分别穿越磁场的过程中，通过 R的电荷量之比；
(2)在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；
(3)磁场区域沿导轨方向的宽度 d；
(4)在整个过程中产生的总焦耳热．
7
课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．如图，在磁感应强度为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆 MN在平行金属导轨上以速度
v 向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为 E1；若磁感应强度增为 2B，其他条件不变，MN中产生的感应
电动势变为 E2.则通过电阻 R的电流方向及 E1与 E2之比 E1∶E2分别为( )
A．c→a,2∶1 B．a→c,2∶1
C．a→c,1∶2 D．c→a,1∶2
2．(多选)如图，水平放置的金属导体框 abcd，ab、cd边平行、间距为 l，导体框内均有垂直于框面、
磁感应强度大小为 B的匀强磁场，一单位长度电阻为 r的金属杆 MN，与导轨成θ角，以速度 v 沿平行于 cd
的方向匀速滑动，金属杆滑动过程中与导轨接触良好，导轨框电阻不计，则( )
A．M点电势低于 N点电势
B．闭合回路中磁通量的变化率为 Blv
C．金属杆所受安培力的方向与运动方向相反
2
D B lv．金属杆所受安培力的大小为
r
3．如图所示，两根间距为 l的光滑平行金属导轨与水平面夹角为α，图中虚线下方区域内存在磁感应强
度为 B的匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上．两金属杆质量均为 m，电阻均为 R，垂直于导轨放置．开
始时金属杆 ab处在距磁场上边界一定距离处，金属杆 cd处在导轨的最下端，被与导轨垂直的两根小柱挡
住．现将金属杆 ab由静止释放，金属杆 ab刚进入磁场便开始做匀速直线运动．已知重力加速度为 g，则
( )
A．金属杆 ab进入磁场时感应电流的方向为由 a到 b
B 2mgRsin α．金属杆 ab进入磁场时速度大小为
B2l2
C ab mgsin α．金属杆 进入磁场后产生的感应电动势为
Bl
D．金属杆 ab进入磁场后，金属杆 cd对两根小柱的压力大小为零
8
4．CD、EF是两条水平放置的电阻可忽略的平行金属导轨，导轨间距为 L，在水平导轨的左侧存在磁
感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，磁场区域的长度为 d，如图所示．导轨
的右端接有一电阻 R，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．将一阻值也为 R的导体棒从弯曲轨道上 h高处
由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右边界处．已知导体棒与水平导轨接触良好，且动摩擦因数为μ，
则下列说法中正确的是( )
A．电阻 R Bd 2gh的最大电流为
R
B．流过电阻 R BdL的电荷量为
R
C．整个电路中产生的焦耳热为 mgh
D 1．电阻 R中产生的焦耳热为 mg(h－μd)
2
5．(多选)如图所示，足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0＜θ＜90°)，其中 MN与 PQ平
行且间距为 L，导轨平面与磁感应强度大小为 B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒 ab由静止开始沿
导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab棒接入电路的部分的电阻为 R，当流过 ab棒某一横截
面的电荷量为 q时，棒的速度大小为 v，则金属棒 ab在这一过程中( )
A．a点的电势高于 b点的电势
B．ab棒中产生的焦耳热小于 ab棒重力势能的减少量
C qR．下滑的位移大小为
BL
2 2
D B L v．受到的最大安培力大小为 sin θ
R
6．(多选)如图甲所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为 L，一端通过导线与阻
值为 R的电阻连接．导轨上放一质量为 m的金属杆，金属杆、导轨的电阻均忽略不计，匀强磁场垂直导轨
平面向下．用与导轨平行的恒定拉力 F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，金
属杆做匀速运动时的速度 v 也会变化，v 和 F的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．金属杆在匀速运动之前做匀加速直线运动
B．流过电阻 R的电流方向为 a→R→b
B2C L
2 2
．由图象可以得出 B、L、R三者的关系式为 ＝
R 3
D．当恒力 F＝3 N时，电阻 R消耗的最大电功率为 8 W
9
[综合应用题组]
7. 如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距 L，与水平面的夹角为θ，整个空间存在垂直于导轨平面
的匀强磁场，磁感应强度大小均为 B，虚线上方轨道光滑且磁场方向垂直导轨平面向上，虚线下方轨道粗糙
且磁场方向垂直导轨平面向下．当导体棒 EF以初速度 v0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒 MN一
直静止在导轨上，若两导体棒质量均为 m、电阻均为 R，导轨电阻不计，重力加速度为 g，在此过程中导体
棒 EF上产生的电热为 Q，求：
(1)导体棒 MN受到的最大摩擦力；
(2)导体棒 EF上升的最大高度．
8．如图甲所示，足够长的光滑导轨倾角为 30°，间距 L＝1 m，电阻不计，恒定的非匀强磁场方向垂直
于斜面向下，电阻 R＝1 Ω，导体棒 ab质量 m＝0.25 kg，其电阻 r＝1 Ω，垂直于导轨放置．现导体棒 ab从
磁场上边界由静止下滑，测得导体棒所到达位置的磁感应强度 B与导体棒在该位置速度之间的关系如图乙
所示，(g取 10 m/s2)
(1)求导体棒下滑 2 s时的速度和位移；
(2)求导体棒下滑 2 s内回路中产生的焦耳热．
10
9．如图甲所示，两根足够长平行金属导轨 MN、PQ相距为 L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒 ab
垂直于 MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为 m.导轨处于匀强磁场中，磁场的
方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为 B.金属导轨的上端与开关 S、定值电阻 R1和电阻箱 R2相
连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为 g.现在闭合开关 S，将金属棒由静止释放．
(1)判断金属棒 ab中电流的方向；
(2)若电阻箱 R2接入电路的阻值为 0，当金属棒下降高度为 h时，速度为 v，求此过程中定值电阻上产
生的焦耳热 Q；
(3)当 B＝0.40 T，L＝0.50 m，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度 vm随电阻箱 R2阻值的变化关系，如
图乙所示．取 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.
求 R1的阻值和金属棒的质量 m.
11
10．如图所示，电阻不计、间距 L＝1 m、足够长的光滑金属导轨 ab、cd与水平面成θ＝37°角，导轨平
面矩形区域 efhg内分布着磁感应强度大小 B＝1 T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，边界 ef、gh之间的
距离 D＝1.4 m．现将质量 m＝0.1 kg、电阻 R 5＝ Ω的导体棒 P、Q相隔Δt＝0.2 s先后从导轨顶端由静止自
3
由释放，P、Q在导轨上运动时始终与导轨垂直且接触良好，P进入磁场时恰好匀速运动，Q穿出磁场时速
度为 2.8 m/s.已知重力加速度 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)导轨顶端与磁场上边界 ef之间的距离 s；
(2)从导体棒 P释放到 Q穿出磁场的过程，回路中产生的焦耳热 Q 总．
12

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