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4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念(第1课时)
素养目标 学科素养
1.理解等差数列及等差中项的概念．2．掌握等差数列的通项公式．(重点)3．掌握等差数列的判定方法. 1.数学运算；2．逻辑推理
情境导学
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6 000；第二天：6 500；第三天：7 000；第四天：7 500；第五天：8 000；第六天：8 500；第七天：9 000.得到数列：6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000
1．等差数列、等差中项的概念
等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(×)
(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(×)
(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(√)
2．等差数列的通项公式
(1)首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)第n项与第m项的关系为an＝am＋(n－m)d，从而可得变形公式：d＝.
(1)等差数列{an}的递推公式如何表示？
提示：已知公差d，an－an－1＝d(n≥2)是递推公式．
(2)数列{an}的通项公式an＝kn＋b(k，b∈R)，能否判定{an}是等差数列？
提示：∵an＝kn＋b，∴an－an－1＝kn＋b－[k(n－1)＋b]＝k，k为常数．
∴{an}是等差数列．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列(　　)
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
A　解析：∵an－an－1＝2n＋5－(2n＋3)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1＝5，公差d＝3，则当an＝2 021时，n等于(　　)
A．671 B．672
C．673 D．674
C　解析：∵a1＝5，d＝3，∴an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2.
令3n＋2＝2 021，得n＝673.
3．若a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，则a，b的等差中项为(　　)
A．－1 B．－
C．1 D．
C　解析：∵a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，
∴a＋b＝2.∴a，b的等差中项为＝1.
4．在等差数列{an}中，若a5＝11，a8＝5，则其通项公式为an＝______________.
－2n＋21　解析：∵d＝＝－2，
∴an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×(－2)＝－2n＋21.
5．已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________.
10　解析：∵a7＝a1＋6d＝8，∴a1＝8－6×＝10.
【例1】下列说法正确的是(　　)
A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列
B．若an－an－1＝n(n∈N*且n>1)，则{an}是等差数列
C．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列
D．等差数列的公差是该数列中任意两项的差
A　解析：对于A，由a－b＝b－c，可得b－a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，所以A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，所以B错误；对于C，公差d可以等于0，所以C错误；对于D，应为相邻两项．
【例2】已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别是________．
5，－1，－4　解析：依据等差中项的定义，且8，a,2是等差数列，
得2a＝8＋2，
解得a＝5.①
由a,2，b是等差数列，
得2×2＝a＋b，②
同理，由2，b，c是等差数列，得2b＝2＋c.③
①②③联立，
解得b＝－1，c＝－4.
(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”，如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
(2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项与它的前一项作差，而不是与后一项作差，切不可将减数与被减数弄颠倒．
(3)一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差尽管是常数，这个数列也不一定是等差数列，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”．
(4)常数列都是等差数列，公差为0.
1．若数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________.
0　解析：∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数，
∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数，∴2a＝0，∴a＝0.
2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．
3　解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
所以m与n的等差中项为＝＝3.
【例3】在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝________.
1　解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，
则
即解得
∴an＝－2n＋21(n∈N*)．
∴a10＝－2×10＋21＝1.
(方法二)设公差为d，
∵a8＝a5＋(8－5)×d，
∴d＝＝－2，
∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.
(方法三)设an＝An＋B，
则即解得
∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.
求通项公式的方法
(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．
1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
解：设等差数列{an}的公差为d.
∵a5＝10，a12＝31，则解得
∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.
2．已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
解：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.
由得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
探究题1　判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，故该数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，故该数列不是等差数列．
探究题2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．
证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，
bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－，
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
探究题3　已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
证明：因为，，成等差数列，
所以＝＋，即2ac＝b(a＋c)．
而＋＝＝＝＝＝，
所以，，也成等差数列．
探究题4　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由．
(2)求an.
解：(1)数列是等差数列．理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，即－＝.
所以数列是首项＝，公差d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，
所以an＝.
等差数列的三种判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法：已知an＝pn＋q，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
(1)解：由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4.又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差d＝2的等差数列．
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
1．已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A． B．1
C．－1 D．－
C　解析：等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则a9＝a3＋6d，即3＝9＋6d，解得d＝－1.故选C．
2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝3，a3＋a7＝7，则公差d＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：a2＋a6＋2d＝a3＋a7＝7，即3＋2d＝7，所以d＝＝2.
3．在等差数列{an}中，已知a1＝1，d＝3，若an＝295，则项数n等于(　　)
A．96 B．99
C．100 D．101
B　解析：等差数列{an}中，∵a1＝1，d＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，.由an＝295，则3n－2＝295，解得n＝99，故选B．
4．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋2(n>1)，则a5的值(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
C　解析：∵an＝an－1＋2，∴an－an－1＝2，{an}为等差数列，d＝2，a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故选C．
5．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，试判断该数列从第几项开始为正数．
解：由题意，得解得
所以an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48.
令an>0，得2n－48>0 n>24，
又n∈N*，所以从第25项开始，各项为正数．
6. (1)证明：1，， 不可能成等差数列；
(2)证明：1，，不可能为同一等差数列中的三项．
证明：(1)假设1，，成等差数列，
则2＝1＋，两边平方得
12＝6＋2，即6＝2.
因为6≠2，矛盾，
所以1，， 不可能成等差数列.
(2)假设1，，为同一等差数列中的三项，
则存在正整数m，n(m≠n), 满足
①×n－②×m得n－m＝n－m，
两边平方得3n2＋5m2－2mn＝(n－m)2③，
由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，故假设不正确，
即1，，不可能为同一等差数列中的三项．
1．利用等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列，关键是看a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是否等于同一个常数，或者看an＋1－an＝d(d为常数)是否对任意正整数n都成立．
2．(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中的四个量a1，an，n，d，只要知道任意三个量，就可以求出第四个量．(2)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也可以判断某特定数是否是该数列中的项．
3．等差数列的判断方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)，n∈N* {an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2，n∈N* {an}为等差数列．
(3)通项法：an＝pn＋q(p，q为常数) {an}为等差数列．
课时分层作业(三)
等差数列的概念(第1课时)
(60分钟　100分)
知识点1　等差数列及等差中项的概念
1．(5分)已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B等于(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
B　解析：∵A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B．又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
2．(5分)已知等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则等于(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：∵∴
∴＝.
知识点2　等差数列的通项公式
3．(5分)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
A　解析：数列{an}的首项为a1，设公差为d，则有
解得
故a12＝a1＋11d＝15.
4．(5分)在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝(　　)
A．50 B．49
C．48 D．47
A　解析：∵a4＋a5＝2a1＋7d＝＋7d＝，∴d＝.
∴ak＝a1＋(k－1)·d＝＋(k－1)×＝k－＝33.∴k＝50.
5．(5分)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为(　　)
A． B．－
C．－ D．－1
B　解析：新等差数列中，首项为8，第9项为2.
∴新公差d′＝＝＝－.
6．(5分)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a4等于(　　)
A．15 B．23
C．7 D．29
B　解析：∵a3＋a8＝2a1＋9d＝22，a6＝a1＋5d＝7，
∴a1＝47，d＝－8，∴a4＝a1＋3d＝23.
知识点3　等差数列的判定与证明
7．(5分)已知数列{an}，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a11＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
A　解析：设的公差为d.
∵＝，＝，∴4d＝－＝，
∴d＝，∴＝＋8×＝，∴a11＝.
8．(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E所得为(　　)
A．钱 B．钱
C．钱 D．钱
A　解析：由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则解得a＝，故E所得为钱．
9．(5分)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　)
A． B．1
C． D．
A　解析：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝.
10．(5分)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　)
A．9 B．15
C．18 D．30
C　解析：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2.又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
11.(5分)若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
B　解析：an＝a1＋(n－1)d＝70＋(n－1)×(－9)＝79－9n，
∴a8＝7，a9＝－2，a10＝－11，故绝对值最小的一项为a9.
12．(5分)已知在等差数列{an}中，a1＝－1，公差d＝2，an－1＝15，则n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
D　解析：an－1＝a1＋(n－2)d＝－1＋2(n－2)＝2n－5＝15，∴n＝10.
13．(5分)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)
A．8 B．12
C．16 D．24
C　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得解得
所以a9＝a1＋8d＝16.故选C．
14．(5分)已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)，
∴数列是等差数列，公差为1，首项为1.
∴＝1＋(n－1)＝n，解得an＝.
∴a1 024＝＝.故选D．
15.(5分)已知{an}是公差为d的等差数列，若3a6＝a3＋a4＋a5＋12，则d＝________.
2　解析：∵3a6＝a3＋a4＋a5＋12＝3a4＋12，
∴a6－a4＝4，即2d＝4，∴d＝2.
16.(5分)若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________.
　解析：设两等差数列的公差分别为d1，d2，
则有b－a＝4d1＝6d2，∴d1＝d2.
∴＝＝＝.
17.(10分)在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2)数列{an}中有多少项属于区间[－18,18]
解：(1)∵
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)×(－10)＝－10n＋110.
(2)令－18≤an≤18，即－18≤－10n＋110≤18，
得9.2≤n≤12.8.∵n∈N*，∴n＝10,11,12.
∴有3项在[－18,18]之间.
18.(10分)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝.

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