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4.2.1　等差数列的概念(第2课时)
素养目标 学科素养
1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质．2．能够运用等差数列的性质解决有关问题．(重点、难点)3．能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题. 1.数学运算；2．逻辑推理
情境导学
　　某展会期间，人流如织，总参观人数超过7 000万．根据有关部门统计，某展馆7月上旬平均每天参观人数为20万，在后面70天内，前40天每天增加0.5万人，后30天每天减少1万人，在这段时间内，有多少天参观人数能达到30万人？这是与等差数列单调性有关的问题，让我们进一步认识等差数列的有关性质吧！
1．(1)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q∈R)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(2)若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*) 成公差为md的等差数列．
(1)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项是否还构成等差数列？
提示：是．改变了首项，公差不变．
(2)等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列？
提示：是．公差为原来的2倍．
2．(1)等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(2)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则am＋an＝2at.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(×)
(2)若数列{an}为等差数列，则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…也成等差数列．(√)
(3)在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝3t，则am＋an＋ap＝3at.(×)
1．已知{an}是等差数列，则下列数列中的{bn}也为等差数列的是(　　)
A．bn＝a B．bn＝
C．bn＝a3n D．bn＝|an|
C　解析：{a3n}为等差数列，公差为原来的3倍．
2．已知等差数列{an}，a7＋a19＝19，a9＝1，则a17的值为(　　)
A．20 B．18
C．15 D．17
B　解析：∵a7＋a19＝a9＋a17＝19，∴a17＝18.
3．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　)
A．7 B．5
C．3 D．1
D　解析：{2an－3bn}的公差为2d1－3d2＝4－3＝1.
4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
10　解析：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，
∴a5＝5.∴a2＋a8＝2a5＝10.
【例1】(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值；
(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值；
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．
解：(1)(方法一)设{an}的公差为d，则解得故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40.
(方法二)因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40.
(方法三)因为5,15,25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40.
(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28.
(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41.
若数列{an}是等差数列，公差是d，则等差数列{an}有如下性质：
(1)当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．
(3)＝d(m，n∈N*且n≠m)．
(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
1．若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解：∵a15＝8，a60＝20，∴d＝＝＝.
∴a75＝a60＋15d＝20＋15×＝24.
2．已知{an}是等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．
解：∵{an}是等差数列，
∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9，
∴a9＝117，
∴a3＋a15＝2a9＝234.
3．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
解：设b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，
b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列，
∴39＋b3＝2b2＝66，∴b3＝66－39＝27，
即a3＋a6＋a9＝27.
【例2】某公司经销一种产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，
∴每年的利润可构成一个等差数列{an}，
且公差d＝－20，
∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
由an＝220－20n<0，得n>11.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
1．解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．
梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
解：用数列{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，
由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，
即110＝33＋11d，解得d＝7.
因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.
梯子中间各级的宽度从上而下依次是40 cm,47 cm，54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
【例3】已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式．
解：(方法一)依题意，得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
(方法二)设等差数列{an}的前三项依次为a－d，a，a＋d，
则　解得
又∵{an}是递减等差数列，
∴d<0，
∴a＝6，d＝－5.
∴等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)(－5)＝－5n＋16.
【例4】在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7,12，…，197中，求它们的相同项构成数列的通项公式及相同项的个数．
解：记数列2,5,8，…，197为{an}，由已知，数列{an}的首项为2，公差为3，
∴通项公式为an＝3n－1.
记数列2,7,12，…，197为{bm}，则bm＝5m－3，
若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，
即an＝bm，∴3n－1＝5m－3，
∴n＝＝m＋.
又n∈N*，∴必须有m－1＝3k，
即m＝3k＋1(k为非负整数)．
又2≤5m－3≤197，
∴1≤m≤40，∴m＝1,4,7，…，40.
∴两数列的相同项为2,17,32，…，197.
记两数列的相同项构成的数列为{cn}，则{cn}的通项公式为cn＝15n－13，共有＋1＝14个相同项．
(1)等差数列的设项技巧：
已知三个数成等差数列时，设为a－d，a，a＋d；
已知四个数成等差数列时，设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
(2)两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．
1．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
解：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得解得
所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
2．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，它们有多少个共同项？
解：设两数列的共同项组成新数列{an}，则{an}是首项为11的等差数列．
∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的公差分别为3与4，
∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.
∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的第100项分别为302与399，∴an＝12n－1≤302，∴n≤25.25.
∵n∈N*，∴所给两数列有25个共同项．
1．已知{an}是等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝48，则a6＋a7＝(　　)　　　　　　　　　　　　　
A．12 B．24
C．20 D．16
B　解析：由等差数列的性质可得2(a3＋a10)＝48，所以a3＋a10＝24，故a6＋a7＝a3＋a10＝24，故选B．
2．在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为(　　)
A．24 B．36
C．48 D．60
C　解析：设等差数列的公差为d，因为a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，由等差数列的性质得a9＝24，所以3a12－a18＝3(a1＋11d)－(a1＋17d)＝2a1＋16d＝2(a1＋8d)＝2a9＝48.故选C．
3．在等差数列{an}中，a1＝3，a4＝24，则a7＝(　　)
A．32 B．45
C．64 D．96
B　解析：根据等差数列的性质有a1＋a7＝2a4，a7＝2a4－a1＝48－3＝45.故选B．
4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0，则有(　　)
A．a1＋a11>0
B．a2＋a10<0
C．a3＋a9＝0
D．a6＝6
C　解析：因为a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0，所以由等差数列的性质得到5(a3＋a9)＋a6＝0，所以5(a3＋a9)＋(a3＋a9)＝0，所以a3＋a9＝0.故选C．
5．在等差数列{an}中，a12＝23，a42＝143，an＝239，求n及公差d.
解：由题意可得，d＝＝＝4，∴a1＝－21.∵an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝239，解得n＝66.综上，n＝66，d＝4.
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题．如果条件与结论间无明显联系，则均可以化成关于a1，d的方程组求解；如果条件与结论存在明显的特点，一般运用性质解决较为简捷．
课时分层作业(四)
等差数列的概念(第2课时)
(60分钟　100分)
知识点1　等差数列的性质
1．(5分)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)
A．8 B．4
C．6 D．12
A　解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8.
∴m＝8.
2．(5分)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝8，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(　　)
A．10 B．16
C．20 D．24
C　解析：∵a4＋a6＝2a5＝8，∴a5＝4，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝20.
3．(5分)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项为(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
C　解析：∵{an}，{bn}是等差数列，
∴{an＋bn}是等差数列．
∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，
∴数列{an＋bn}的公差d＝0，∴a37＋b37＝100.
得分
4.(5分)已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________.
n＋1或－n＋9　解析：∵a3＋a5＝2a4＝10，
∴a4＝5.
∵a2a6＝(a4－2d)·(a4＋2d)＝25－4d2＝21，
∴d2＝1.∴an＝n＋1或an＝－n＋9.
知识点2　等差数列的实际应用
5．(5分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升
C．升 D．升
B　解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则即
解得
则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升．
6．(5分)过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈，则k的取值不可能是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
A　解析：将x2＋y2＝10x化为(x－5)2＋y2＝52，
表示圆心为C(5,0)，半径r＝5的圆．
设A(5,3)，则AC＝3，故a1＝8，ak＝10.
∴10＝8＋(k－1)d，∴k＝＋1.
∵≤d≤，∴5≤＋1≤7，即5≤k≤7.
知识点3　等差数列的综合问题
7.(5分)已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．
11　解析：∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝10，
∴a5＝2.
∵a－a＝(a8＋a2)(a8－a2)＝2a5×6d＝36，
∴d＝.
∴a11＝a5＋6d＝2＋9＝11.
8.(5分)正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.
　解析：∵2a＝a＋a，∴{a}成等差数列，首项a＝1，
公差为a－a＝3，∴a＝3n－2，∴an＝.
∴a7＝＝.
9.(5分)在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an＝________.
n－　解析：新数列的公差d＝×＝，
∴an＝－5＋(n－1)·＝n－.
10.(5分)(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
BC　解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.
∵a1＝3，∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.
∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45.
11．(5分)已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝，则tan(a3＋a7)的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
D　解析：∵数列{an}为等差数列，
∴a3＋a7＝a2＋a8＝.
∴tan(a3＋a7)＝tan ＝－.
12．(5分)如果点(n，an)(n∈N*)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有(　　)
A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0 D．a7a9＝0
C　解析：∵3n－an－24＝0，∴an＝3n－24.
∴a7＋a9＝2a8＝0.
13．(5分)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
C　解析：∵等差数列{an}的公差为d，
∴an＋1－an＝d.
又∵数列{2a1an}为递减数列，
∴＝2a1d<1，∴a1d<0.
14.(5分)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是________．
16　解析：∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24.
∴a9－a11＝(a1＋8d)－(a1＋10d)＝a1＋＝(a1＋7d)＝a8＝16.
15.(5分)已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝________.
20　解析：由已知得
∴3a＝12＋a＝12＋(2a2－2)2，∴a－8a2＋16＝0，
∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a10＝a1＋9d＝20.
16.(12分)已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，
∴d＝2，∴这三个数分别为4,6,8.
17.(13分)已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.
∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.

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