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4.2.2　等差数列的前n项和公式(第1课时)
素养目标 学科素养
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点)2．掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点)3．掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点) 1.数学运算；2．逻辑推理
情境导学
　　高斯在10岁时就发现了1＋2＋3＋…＋100的求和规律，而这正是等差数列前n项和的算法．
1．等差数列前n项和
Sn＝＝na1＋.
(1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a3＝7，公差d＝2，则S20＝440.
(2)已知数列{an}为等差数列，a1＝2，an＝10，Sn＝72，则n＝12.
2．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
(1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列．(×)
(2)若等差数列{an}共有20项，则＝.(×)
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＝－2.若S10＝S9，则a1＝(　　)
A．18 B．20
C．22 D．24
A　解析：∵S10＝S9，∴S10－S9＝0，即a10＝0.
∵a10＝a1＋9d＝a1－18＝0，∴a1＝18.
2．在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，则S30的值为(　　)
A．456 B．465
C．930 D．654
B　解析：S30＝＝＝465.
3．等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　)
A．12 B．24
C．36 D．48
B　解析：∵S10＝＝120，
∴a1＋a10＝24.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列{an}的通项an＝________.
2n　解析：∵∴
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
5．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.
15　解析：∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，
∴2×5＝4＋(S6－9)，∴S6＝15.
6．已知数列{an}是等差数列，且a3＋a9＝4，那么数列{an}的前11项和等于________．
22　解析：因为数列{an}是等差数列，且a3＋a9＝4，所以数列{an}的前11项和S11＝＝＝22.
【例1】(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S9＝________.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
(3)在等差数列{an}中，若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝________.
(1)81　(2)15　(3)－171　解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)设等差数列{an}的公差为d，
则
解得
所以a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
(3)由Sn＝＝＝－1 022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.
【例2】设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)
A．13 B．35
C．49 D．63
C　解析：∵a2＋a6＝a1＋a7＝14，
∴S7＝＝49.
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．
已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
(2)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求d；
(3)S5＝24，求a2＋a4.
解：(1)由题意知Sn＝n×＋×＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－5，
得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(3)(方法一)设等差数列的首项为a1，公差为d，则
S5＝5a1＋d＝24，即得5a1＋10d＝24，
∴a1＋2d＝，
a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝.
(方法二)由S5＝＝24，得a1＋a5＝.
∴a2＋a4＝a1＋a5＝.
探究题1　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1 220，求S30.
解：(方法一)设数列{an}的公差为d，
由已知，得
解得
∴S30＝30×4＋×30×29×6＝2 730.
(方法二)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，
∴S30＝2 730.
(方法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
由题意，得解得
∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730.
(方法四)由Sn＝na1＋d，
得＝a1＋(n－1)，
∴是以a1为首项，为公差的等差数列，
∴，，成等差数列，
∴＋＝2×，
∴S30＝30＝30×(122－31)＝2 730.
探究题2　项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有n项，中间项是第(n＋1)项，即an＋1，
∴＝＝＝＝＝.∴n＝3.
∵S奇＝(n＋1)an＋1＝44，
∴an＋1＝11.
∴这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项)．
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
(4)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝－2，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列的前n项和，求Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d.
∵S7＝7，a1＝－2，
∴7＝7×(－2)＋d，
解得d＝1.
∴an＝－2＋(n－1)×1＝n－3.
(2)＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)＝，
∴－＝.又＝＝－2，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
1．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a5＝20，则{an}的前6项的和为(　　)
A．30 B．40
C．50 D．60
D　解析：因为数列{an}是公差不为0的等差数列，
且a2＋a5＝20，
所以a2＋a5＝a1＋a6＝20，
则S6＝×6＝×6＝60.故选D．
2．若等差数列的前两项分别为1,3，则该数列的前10项和为(　　)
A．81 B．90
C．100 D．121
C　解析：因为公差d＝3－1＝2，所以该数列的前10项和为10×1＋×2＝100.故选C．
3．记Sn为等差数列{an}的前5项和为S5＝25，a3＋a7＝18，则{an}的公差d等于(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
D　解析：根据题意，等差数列{an}中，若S5＝25，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝25，则a3＝5.又由a3＋a7＝18，则a7＝13，则等差数列{an}的公差d＝＝2.故选D．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝36，则a3＋a7＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．24
B　解析：由S9＝36，即＝36得a1＋a9＝8，故a3＋a7＝a1＋a9＝8.故选B．
5．在等差数列{an}中，a1＋a3＝6，a9＝17.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：设等差数列{an}的公差为d，
(1)因为a1＋a3＝2a2＝6，所以a2＝3，所以d＝＝＝2，
则an＝a2＋(n－2)d＝3＋(n－2)×2＝2n－1.
(2)a1＝1，Sn＝na1＋＝n2.
1．(1)由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三个便可求出其余的两个，即“知三求二”．
(2)在运用等差数列的前n项和公式求和时，一般地，若已知首项a1及末项an，则用公式Sn＝较简便；若已知a1及公差d，则用公式Sn＝na1＋d较好．
(3)在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq”的运用．
2．等差数列的前n项和Sn的有关性质在解题过程中如果运用得当，可以化繁为简，化难为易．
课时分层作业(五)
等差数列的前n项和公式(第1课时)
(60分钟　100分)
知识点1　等差数列的前n项和公式
1．(5分)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
B　解析：设等差数列{an}的公差为d.
∵∴
∴a7＝a1＋6d＝13.
2．(5分)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)
A．58 B．88
C．143 D．176
B　解析：S11＝＝＝88.
3．(5分)设等差数列{an}的前10项和为20，且a5＝1，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：设等差数列{an}的公差为d.
∵∴
4．(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝(　　)
A．16 B．20
C．24 D．26
A　解析：设等差数列{an}的公差为d.
∵a1＋a2＋a3＝a4＋a5，
∴3a1＋3d＝2a1＋7d，∴a1＝4d.
又∵S5＝5a1＋10d＝30d＝60，
∴d＝2，∴a1＝8.∴a5＝a1＋4d＝16.
5.(5分)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________.
10　解析：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝2＋6d＝14，∴d＝2，
∴Sn＝n＋×2＝n2，
即n2＝100，
解得n＝10或n＝－10(舍)．
知识点2　等差数列前n项和性质的应用
6．(5分)含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝，
又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.故选B．
7．(5分)已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
B　解析：由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.又因为Sn＝＝＝210，所以n＝14.
8.(5分)在等差数列{an}中，S3＝30，S6＝100，则S9＝________.
210　解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
即30,70，S9－100成等差数列，
∴140＝30＋S9－100，∴S9＝210.
9.(5分)在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝________.
－11　解析：由题意知，是等差数列，首项为＝－11，
设公差为d，则－＝2d＝2，∴d＝1，
∴＝－11＋10×1＝－1.∴S11＝－11.
10.(5分)(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．a1＝1 B．d＝－
C．a2＋a12＝10 D．S10＝40
ACD　解析：设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.
11．(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于(　　)
A．52 B．54
C．56 D．58
A　解析：∵a3＋a7＋a11＝12，∴a7＝4，
∴S13＝＝13a7＝52.
12．(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵＝＝，∴a1＝d.
∴＝＝＝.
13.(5分)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
5　解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
14.(5分)若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等差中项为________．
－6　解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵
∴
∵a5与a7的等差中项为a6，∴a6＝4＋5×(－2)＝－6.
得分
15.(5分)在等差数列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝________，n＝________.
2　3　解析：由
得n2－13n＋30＝0，
∴n＝3或n＝10.
又当n＝3时，a1＝2>0；
当n＝10时，a1＝－<0，不合题意，舍去，
故a1＝2，n＝3.
16.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n.
解：设等差数列{an}的公差为d，
由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得解得
∴an＝2n＋10.
∴Sn＝＝n2＋11n.
令n2＋11n＝242，解得n＝11或n＝－22(舍去).
17.(13分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.
(2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，说明理由．
解：(1)设{an}的公差为d，则
解得
∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，
Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)存在．Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6.
Sn＋2＝7(n＋2)－3(n＋2)2＝－3n2－5n＋2，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4.
若存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．

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