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4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念(第1课时)
素养目标 学科素养
1.理解等比数列及等比中项的概念．(重点)2．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．(重点)3．掌握等比数列的判断与证明方法．(难点) 1.数学运算；2．逻辑推理
情境导学
庄子云：一尺之棰，日取其半，万世不竭．意为：长短一尺的东西，今天取走一半，明天在剩余的一半中再取走一半，以后每天都在剩下的取一半出来，这样永远也取不完.
1．等比数列、等比中项的概念
等比数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)
等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab
2.等比数列的通项公式
(1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
(2)第n项与第m项的关系为an＝amqn－m，变形得qn－m＝.
(3)由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)等比数列中不存在数值为0的项．(√)
(2)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．(×)
(3)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列．(√)
(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．(√)
(5)任何两个实数都有等比中项．(×)
1．下列数列为等比数列的是(　　)
A．m，m2，m3，m4，…
B．22,42,62,82，…
C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…
D．，，，，…
D　解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；≠，所以B不是等比数列．
2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　)
A． B．±2
C．± D．2
B　解析：设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±＝±2.
3．已知等比数列{an}的首项a1＝，公比q＝，an＝，则项数n为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B　解析：由a1qn－1＝an得×n－1＝，解得n＝4.
4．在等比数列{an}中，已知a5＋a1＝34，a5－a1＝30，则a3＝(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D．16
A　解析：由得
∴q4＝16，∴q2＝4.∴a3＝a1q2＝8.
5．若b既是a和c的等差中项，又是a和c的等比中项，则数列a，b，c的公比为________．
1　解析：由条件可知2b＝a＋c，且b2＝ac，
∴2＝ac，整理得(a－c)2＝0，
∴a＝c＝b，∴a，b，c的公比为1.
【例1】判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出其公比．
(1)1，，，，，…；
(2)10,10,10,10,10，…；
(3)，2，3，4，…；
(4)1,0,1,0,1,0，…；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解：(1)不是等比数列．
(2)是等比数列，公比为1.
(3)是等比数列，公比为.
(4)不是等比数列．
(5)是等比数列，公比为－4.
【例2】在等比数列{an}中，
(1)若a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)由题意可知
∴q＝－，a1＝－8，
∴an＝a1qn－1＝－8×n－1＝(－2)4－n.
(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝.
由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，
由an＝a1qn－1＝1知n＝6.
(1)由于等比数列的每一项(除末项)都可能作分母，故每一项都不为0，因此q也不能是0.
(2)对于公比q，要注意它是从第2项起每一项与它前一项的比，次序不能颠倒．
(3)每一项与它的前一项的比都是同一个常数，强调的是“同一个”，即若常数不同，则此数列不是等比数列．
(4)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比是同一个常数，此数列不是等比数列．
在等比数列{an}中，已知a3＝9，a6＝243，求a9.
解：∵
∴得q3＝27，
∴a9＝a6q3＝243×27＝6 561.
【例3】(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x＋2,3x＋3，求实数x的值；
(2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中项．
解：(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x＋2,3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4.又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4.
(2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即a＝a2a4，所以a＝64，解得a3＝4，从而a6＝32.
设{an}的公比为q，则解得所以a2＝a1q＝2.
设a2和a6的等比中项为G，则G2＝a2a6＝64，所以G＝±8.
等比中项的理解
(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(2)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab(a，b均不为0)”，可以用它来判断或证明三个数成等比数列．应注意“a，G，b成等比数列”与“G＝”是不等价的．
(3)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，且它们互为相反数；当a，b异号时，a，b没有等比中项．
若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为(　　)
A．－3 B．3
C．±3 D．不能确定
A　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，
∴－1，a，b成等比数列，a，b，c成等比数列，b，c，－9成等比数列，
∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.
∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.
又a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.
探究题1　已知a，b，c是等比数列，求证：a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列．
证明：因为a，b，c是等比数列，所以b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零．
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
所以a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2是等比数列．
探究题2　如果数列{an}的前n项和Sn满足对任意n∈N*，都有Sn＝an－3.求证：{an}是等比数列．
证明：当n＝1时，a1＝S1＝a1－3，
∴a1＝6.
当n≥2时，Sn＝an－3，
则Sn－1＝an－1－3，
即an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝3.
∴数列{an}是首项为6，公比为3的等比数列．
探究题3　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn，n∈N*，求证：数列为等比数列．
证明：∵＝＝
＝＝2×，
∴＝2.又＝＝1，
∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列．
探究题4　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，
由上式易知an＋1≠0，∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列．
(2)解：由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2×2n－1，即an＝2n－1.
探究题5　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，＝＝2.
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
判定一个数列{an}是等比数列的方法：
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为0)或＝q(n≥2，q为常数且不为0)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn＋1)＝n(n＝1,2，…)，试说明数列{an}是等比数列．
解：由已知可得Sn＝10n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1)
＝9×10n－1，
又当n＝1时，a1＝S1＝9也满足上述通项公式，
∴数列{an}的通项公式为an＝9×10n－1.
而当n≥2时，＝＝10，
∴数列{an}是等比数列．
1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝，则a5＝(　　)
A． B．
C． D．
A　解析： ∵等比数列的通项公式an＝a1qn－1，∴a5＝a1×q4＝4×4＝，故选A．
2．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是(　　)
A．等比数列 B．等差数列
C．递增数列 D．递减数列
A　解析：由已知数列an＝(－1)n(n∈N*)的前5项为－1,1，－1,1，－1，明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD．又当n≥2，n∈N*时，＝＝－1为常数，故数列{an}是等比数列．故选A．
3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故选C．
4．在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：∵在等比数列{an}中，a1＝1，
若a2＝4，则公比q＝＝＝4，
则a3＝a2q＝4×4＝16.
若a3＝16，则a3＝1×q2＝16，解得q＝±4.
当q＝－4时，a2＝a1q＝－4，此时a2＝4不成立，
即“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．故选A．
5．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式．
解：设数列{an}的公比为q.
由题意，得解得
所以{an}的通项公式为an＝2n－1.
1．等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
2．判定一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法．
课时分层作业(七)
等比数列的概念(第1课时)
(60分钟　120分)
知识点1　等比数列的概念与通项公式
1．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝32，q＝－，则a6等于(　　)
A．1 B．－
C．－1 D．
C　解析：a6＝32×5＝－1.故选C．
2．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　解析：根据an＝a1qn－1，得16＝2×2n－1，解得n＝4.
3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是(　　)
A．q,2q,4q,6q
B．q，q2，q3，q4
C．q,2q,4q,8q
D．，，，
D　解析：A项不符合等比数列定义；B，C两项中q不等于0时是等比数列，q＝0时不是等比数列；D项符合等比数列的定义，公比是.
4．(5分)在等比数列{an}中，a2 021＝－8a2 018，则公比q等于(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．
B　解析：∵＝q3＝－8，∴q＝－2.
5．(5分)在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．27
C．36 D．81
B　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝1－a1，a4＝9－a3，
∴a1＋a2＝1，a3＋a4＝9.
∴＝＝q2＝9.∴q＝±3.
∵an>0，∴q＝3.
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
知识点2　等比中项及应用
6．(5分)若a，b，c成等差数列，则a，b，c一定(　　)
A．成等差数列
B．成等比数列
C．既成等差数列也成等比数列
D．既不成等差数列也不成等比数列
B　解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴2＝a·c成立．
∴这三个数成等比数列．
7．(5分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝(　　)
A．±3 B．3
C．±5 D．5
B　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a＝a1·a5＝9，∴a3＝±3.
∵a3＝a1·q2>0，∴a3＝3.
8.(5分)在等比数列{an}中，若a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是________．
±4　解析：因为a6是a4与a8的等比中项，a6＝a1q6－1＝4，所以a4与a8的等比中项是±4.
知识点3　等比数列的判断
9．(5分)(多选)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是(　　)
A．{|an|}
B．{an－an＋1}
C．
D．{kan}
AC　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵＝|q|，∴{|an|}是等比数列；
当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是等比数列；
∵＝＝，
∴是等比数列；
当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列．
故只有AC一定是等比数列．
10．(5分)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝(　　)
A．2n＋1
B．2n＋1－1
C．3×2n－3
D．3×2n－1
C　解析：∵Sn＝2an－3，∴a1＝2a1－3，∴a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－3－(2an－1－3)＝2an－2an－1.
∴an＝2an－1，即＝2.
∴{an}是等比数列，首项为3，公比为2.
∴an＝3×2n－1.∴Sn＝3×2n－3.
11.(5分)在数列{an}中，已知a1＝3，且对任意正整数n都有2an＋1－an＝0，则an＝________.
3×n－1　解析：∵2an＋1－an＝0，
∴＝.
∴{an}是等比数列，且公比q＝.
∴an＝a1·qn－1＝3×n－1.
12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________.
　解析：∵Sn＝2an＋1，
∴a1＝2a2，∴a2＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
∴3an＝2an＋1，即＝.
∵＝≠，∴an＝
13.(5分)2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．2
C　解析：根据等比中项的定义有G＝±＝±1.
14．(5分)由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
D　解析：∵an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，∴n＝7.
15．(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)
A．－ B．－2
C．2 D．
D　解析：∵＝q3＝，∴q＝.
16．(5分)若a，b，c成等差数列，而a＋1，b，c和a，b，c＋2都分别成等比数列，则b的值为(　　)
A．16 B．15
C．14 D．12
D　解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∵a＋1，b，c与a，b，c＋2都分别成等比数列，
∴b2＝(a＋1)·c，b2＝a·(c＋2)．
联立解得b＝12.
17.(5分)已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a3＝3，a10＝384，∴q7＝＝128.
∴q＝2，∴an＝a3·qn－3＝3×2n－3.
18.(5分)已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________．
±1　解析：∵4a1，a5，－2a3成等差数列，
∴2a5＝4a1－2a3，即a5＝2a1－a3，
∴4q4＝8－4q2.∴q4＋q2－2＝0.
∴q2＝1或q2＝－2(舍)．
∴q＝±1.
19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．
4　解析：设插入的三个数为a，b，c，
则有b2＝1×16＝16.又∵b与1同号，∴b＝4.
20.(5分)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7.
解：设等比数列{an}的公比为q，
∵＝＝q＝2，
∴a1＋2a1＝3a1＝3，∴a1＝1.
∴a7＝a1q6＝64.
21.(10分)已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式．
证明：依题意，得当n≥2时，Sn－1＝4an－1－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝(4an－1)－(4an－1－1)，
即3an＝4an－1，所以＝，故数列{an}是公比为的等比数列．
因为S1＝4a1－1，即a1＝4a1－1，所以a1＝，
故数列{an}的通项公式是an＝×n－1.
22.(10分)已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
解：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，
∴a2＝2.
从而解得或
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1或an＝23－n.

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