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2022年春九年级数学中考复习《二次函数与几何图形变换综合题》专题提升训练（附答案）
一．选择题
1．从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征．如果将抛物线y＝x2+2绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（　　）
A．它们的开口方向相同 B．它们的对称轴相同
C．它们的变化情况相同 D．它们的顶点坐标相同
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　）
A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0）
3．将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（　　）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2
4．将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣3）
5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
6．先将抛物线y＝（x﹣1）2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x+1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2﹣2
7．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y＝x2﹣2x+5，则有（　　）
A．b＝3，c＝7 B．b＝﹣9，c＝﹣15 C．b＝3，c＝3 D．b＝4，c＝10
8．二次函数y＝（x﹣1）2+（x﹣3）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a+1）2+（1+b）2的值为（　　）
A．9 B．10 C．20 D．25
二．填空题
9．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得到的抛物线为 　 　．
10．将抛物线y＝x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 　 　．
11．若抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后经过点（2，﹣2），则m＝　 　．
12．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），则平移后的抛物线的对称轴为 　 　．
13．如图，点A、B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点D的横坐标的最大值为8，则点C的横坐标的最小值为 　 　．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（3，0），C（4，3），与y轴交于点A，把抛物线向上平移，使得顶点E落在x轴上点F处，点A平移至点D处，则两条抛物线、对称轴EF和y轴围成的图形（图中阴影部分）的面积S＝　 　．
15．已知函数y＝x2+x+4与y轴交于点C，顶点为D，直线CD交x轴于点E，点F在直线CD上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点，抛物线向上最多可以平移　 　个单位长度，向下最多可以平移　 　个单位长度．
16．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝　 　．
三．解答题
17．已知二次函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论为何值，函数图象与x轴总是没有公共点；
（2）把该函数图象沿平行y轴方向怎样平移，得到的图象与x轴只有一个交点？
18．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），B（3，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移3个单位长度得到抛物线L1，若点P是抛物线L1上一动点，过点P作PN∥y轴，交直线y＝﹣6于点N，若PN≤6，请直接写出点P的横坐标xP的取值范围．
19．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），点
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣x2+mx+m+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
20．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ＝4S△ABC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点C作CP⊥y轴于点P，求CP+OP的最大值；
（3）设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为（﹣2，﹣16），问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MN绕点M顺时针旋转90°？得到线段MN'，且点N'恰好落在抛物线上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c图象交x轴于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），CD⊥y轴交抛物线于另一点D，且CD＝5，P为抛物线上一点，PE∥y轴，与x轴交于E，与BC，CD分别交于点F，G．
（1）求二次函数解析式．
（2）当P在CD上方时，是否存在点P，使得以C，P，G为顶点的三角形与△FBE相似，若存在，求出△CPG与△FEB的相似比，若不存在，说明理由．
（3）点D关于直线PC的对称点为D′，当点D′落在抛物线的对称轴上时，此时点P的横坐标为 　 　．
参考答案
一．选择题
1．解：A、它们的开口方向相反，不符合题意；
B、它们的对称轴相同，符合题意；
C、它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即题目的变化情况不相同，不符合题意；
D、它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意．
故选：B．
2．解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，与x轴一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（6，0），
故选：B．
3．解：将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．
∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，
∴2a＝4，a2+b＝2．
∴a＝2，b＝﹣2．
故选：C．
4．解：将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝（x+2）2+1+3，即y＝（x+2）2+4，
所以顶点坐标为（﹣2，4），
故选：C．
5．解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2） +1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2） +9＝﹣x ﹣4x+5．
故选：A．
6．解：抛物线y＝（x﹣1）2+2关于x轴作轴对称变换，
则所得抛物线为﹣y＝（x﹣1）2+2，即y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
7．解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
依题意，得平移前抛物线顶点坐标为（﹣2，6），
∵平移不改变二次项系数，
∴y＝（x+2）2+6＝x2+4x+10，
比较系数，得b＝4，c＝10．
故选：D．
8．解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+（x﹣3）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，
∴y＝（x+a）2+（x+b）2的解析式为：y＝（﹣x﹣1）2+（﹣x﹣3）2，
即y＝2x2+8x+10，
又∵y＝（x+a）2+（x+b）2＝2x2+（2a+2b）x+a2+b2，
∴2a+2b＝8，a2+b2＝10，
∴（a+1）2+（1+b）2＝a2+b2+2a+2b+2＝10+8+2＝20．
故选：C．
二．填空题
9．解：抛物线y＝﹣2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
∵向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，1），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
故答案是：y＝﹣2（x﹣3）2+1．
10．解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标是（0，1），则沿x轴翻折后顶点坐标是（0，﹣1），所以新抛物线解析式是：y＝﹣x2﹣1．
故答案是：y＝﹣x2﹣1．
11．解：设把抛物线y＝﹣（x+1）2向右平移m个单位长度后得到y＝﹣（x+1﹣m）2．
∵经过点（2，﹣2），
∴﹣（2+1﹣m）2＝﹣2，
解得：m＝5或m＝1．
故答案是：5或1．
12．解：抛物线右移4个单位得到：y＝（x﹣4）2﹣（x﹣4）（a﹣2）+a2﹣1，
∵平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），
∴3＝16+4（a﹣2）+a2﹣1，
解得：a＝﹣2，
∵平移后的抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴：x＝2，
故答案是：x＝2．
13．解：∵抛物线的顶点在线段AB上运动，点D的横坐标的最大值为8，
∴抛物线的顶点为B（4，4），此时点D（8，0）．
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
∴a（8﹣4）2+4＝0，
解得：a＝﹣．
由题意可得当抛物线的顶点在点A处时，点C的横坐标取最小值．
∵抛物线平移过程中a的值不变，
∴抛物线的顶点移动到点A出时的抛物线的解析式为y＝﹣，
令y＝0，则﹣＝0，
解得：x＝﹣3或5．
∵C在D的左侧，
∴点C的横坐标的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（3，0），C（4，3），
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴EF＝1，
阴影部分的面积等于平行四边形AEFD的面积，
平行四边形AEFD的面积＝1×2＝2，
∴阴影部分的面积＝2．
故答案是：2．
15．解：对于y＝x2+x+4，令x＝0，则y＝4，
故点C的坐标为（0，4），
而y＝x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点D的坐标为（1，），
设直线CD解析式为y＝kx+b．
则，解得，
∴直线CD解析式为y＝x+4①，
∴E（﹣8，0），F（4，6），
若抛物线向下移m个单位，其解析式y＝﹣x2+x+4﹣m②，
联立①②得﹣x2+x﹣m＝0，
∵△＝﹣2m≥0，
∴0＜m≤，
∴向下最多可平移个单位，
若抛物线向上移m个单位，其解析式y＝﹣x2+x+4+m（m＞0），
当x＝﹣8时，y＝﹣36+m，
当x＝4时，y＝m，
要使抛物线与EF有公共点，则﹣36+m≤0或m≤6，
∴0＜m≤36，
综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移个单位．
故答案为：36，．
16．解：∵一段抛物线C1：y＝﹣x（x﹣2）＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（2，0），此时抛物线顶点坐标为 （1，1），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2，
∴抛物线C2：y＝（x﹣2）（x﹣4）＝（x﹣3）2﹣1（2≤x≤4），
∴图象C2与x轴交点坐标为：（2，0），（4，0），此时抛物线顶点坐标为（3，﹣1），
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…
∵点P（2023，m）在第1012段抛物线C1012上，1012是偶数，
∴点P（2023，m）是抛物线C1012的顶点，且点P（1012，m）在x轴的下方，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题
17．（1）证明：∵△＝4m2﹣4（m2+3）＝﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3＝0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴总没有公共点；
（2）解：∵y＝x2﹣2mx+m2+3＝（x﹣m）2+3，
∴把函数图象沿平行y轴方向向下平移3个单位长度后，图象与x轴只有一个公共点．
18．解：（1）将A（0，﹣3），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
，
解得，
∴c＝﹣3，b＝﹣2；
（2）∵c＝﹣3，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴函数对称轴为x＝1，
①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴M（1，﹣2）；
②将函数y＝x2﹣2x﹣3向左平移3个单位长度得到y＝x2+4x，
设P（xP，xP2+4xP），则N（xP，﹣6），
当P点在N点上方时，PN＝xP2+4xP+6，
∵PN≤6，
∴xP2+4xP+6≤6，
∴﹣4≤xP≤0；
当P点在N点下方时，PN＝﹣6﹣xP2﹣4xP，
∵PN≤6，
∴﹣6﹣xP2﹣4xP≤6，
∴xP取全体实数；
综上所述：﹣4≤xP≤0．
19．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；
（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x，
如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，t），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（t）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝ PH （xP﹣xA）+ PH （xC﹣xP）
＝ PH （xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S△PAC取得最大值，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），
∴图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴图象M的顶点坐标为（n，﹣n﹣），
∴图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
当图象M经过点C（0，﹣）时，
则：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，
∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴联立可得：，
解得：，
将代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．
20．解：（1）将（﹣1，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c
得，
∴，
∴y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
（2）由题意得L'的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
令（x﹣3）2﹣4＝0，
∴x1＝1，x2＝5，
∴D（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴，
∴15S△BDQ＝4S△ABC，
∴S△BDQ＝4，
∵BD＝5﹣1＝4，
∴Q到BD的距离为2，
当yQ＝2时，（x﹣3）2﹣4＝2，
，
∴，
当yQ＝﹣2时，（x﹣3）2﹣4＝﹣2，
，
∴，
综上所述：Q的坐标为，，，
21．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣12；
（2）依题意作出图形，如图1：
设点C坐标为（a，a2﹣4a﹣12），
∵点C是抛物线在第四象限内图象上的一点，a＞0，a2﹣4a﹣12＜0，
∴P（0，a2﹣4a﹣12），
∴CP+OP＝﹣a2+5a+12
＝﹣（a﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当a＝时，CP+OP有最大值，最大值为；
（3）在抛物线的对称轴上存在符合题意的点M，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣12，
∴顶点D的坐标为（2，﹣16），
当点M在点D的下方时，过点M作x轴的平行线l，分别过点N、N'作直线l的垂线，垂足分别为E、F，如图2：
∵∠NEM＝∠MFN'＝90°，∠NMN'＝90°，
∴∠N+∠NME＝90°，∠NME+∠N'MF＝90°，
∴∠N＝∠N'MF，
∵NM＝N'M，
∴△ENM≌△FMN'（AAS），
设点M（2，m），EM＝FN'＝4，EN＝DM＝MF＝﹣16﹣m，
∴N'（﹣14﹣m，4+m），代入y＝x2﹣4x﹣12，
得4+m＝（﹣14﹣m）2﹣4（﹣14﹣m）﹣12，
∴m2+31m+236＝0，
∴△＝312﹣4×236＝17，
解得m1＝（舍去），m2＝，
当点M在点D的上方时，连接DN，过点N'作N'G垂直于对称轴于点G，同理△NDM≌△MN'G（AAS），如图3：
设点M（2，m），ND＝MG＝4，GN'＝DM＝m+16，
∴N'（﹣14﹣m，4+m），代入y＝x2﹣4x﹣12，
得4+m＝（﹣14﹣m）2﹣4（﹣14﹣m）﹣12，
∴m2+31m+236＝0，
∴△＝312﹣4×236＝17，
解得m1＝，m2＝（舍去），
综上所述，点M的坐标为（2，），或（2，）．
22．解：（1）∵点C（0，3），CD⊥y轴，CD＝5，
∴D（5，3）．
∴，
解得：．
∴二次函数解析式为：y＝﹣x+3．
（2）存在点P，使得以C，P，G为顶点的三角形与△FBE相似，理由：
令y＝0，则﹣x+3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣1．
∵A在B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（6，0）．
∴OA＝1，OB＝6．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
①当△PCG∽△FBE时，
则∠P＝∠EFB．
∵∠CFP＝∠EFB，
∴∠P＝∠CFP．
∴CP＝CF．
∵CD⊥y轴，PE∥y轴，
∴CD⊥PF．
∴GF＝PF．
设点P（t，﹣+t+3），则G（t，3），F（t，﹣t+3），
∴PF＝（﹣+t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣+3t，
GF＝3﹣（﹣t+3）＝t．
∴t＝（﹣+3t），
解得：t＝4或t＝0（不合题意，舍去）．
∴t＝4．
∴P（4，5），G（4，3），F（4，1）．
∴PG＝2，EF＝1．
∴△CPG与△FEB的相似比＝＝2；
②当△CPG∽△FBE时，
则∠PCG＝∠BFE．
∵CD∥x轴，
∴∠DCF＝∠B．
∵∠B+∠BFE＝90°，
∴∠DCF+∠PCG＝90°．
∴PC⊥BC．
∴PC的解析式为：y＝2x+3，
∴，
解得：，．
∴P（1，5）．
∴PG＝2，CG＝1，BE＝5．
∴△CPG与△FEB的相似比＝．
综上，存在点P，使得以C，P，G为顶点的三角形与△FBE相似，△CPG与△FEB的相似比为2或；
（3）连接DD′交CP于点H，连接CD′，如图，
∵点D关于直线PC的对称点为D′，
∴CP垂直平分DD′．
∴CD′＝CD＝5．
设点P（a，﹣a+3），D′（，n），
∵H为DD′的中点，D（5，3），
∴H（，）．
∵直线CP的解析式为y＝（﹣a+）x+3，
∴＝×（﹣a+）+3．
∴n＝，
设CD交抛物线对称轴于点M，
则D′M＝n﹣3＝．
∵CM2+D′M2＝CD′2，
∴+＝52．
解得：a＝5±．
∴此时点P的横坐标为5+或5﹣．
故答案为：5+或5﹣．

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