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2022年考前回归课本
|回扣一|　集合与常用逻辑用语　
「要点回扣」
1．集合
(1)集合的运算性质：①A∪B＝A B A；②A∩B＝B B A；③A B UA UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．四种命题及其相互关系
(1)
(2)互为逆否命题的两命题同真同假．
3．含有逻辑联结词的命题的真假
(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．
(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．
(3)命题綈p：与命题p真假相反．
4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定
(1)全称命题p： x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题綈p： x0∈M，綈p(x0)．
(2)特称(存在性)命题p： x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p： x∈M，綈p(x)．
5．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p q，则qD /p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
「易错盘点」
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
[对点训练1]　集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.
答案：
2．遇到A∩B＝ 时，你是否注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样在应用条件A∪B＝B A∩B＝A A B时，不要忽略A＝ 的情况．
[对点训练2]　设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．
答案：
3．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
[对点训练3]　已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则( IA)∪B等于(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
答案：C
4．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即非p，只是否定命题p的结论．
[对点训练4]　已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题是________，命题的否定是________．
答案：已知实数a，b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b
已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
5．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[对点训练5]　设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
6．含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．
[对点训练6]　命题p： x∈R，ex－x－1>0，则綈p是________．
答案： x0∈R，ex0－x0－1≤0
7．存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[对点训练7]　若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪
　函数与导数
「要点回扣」
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；当a>0时，值域为；当a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；
③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，
即f(x)＝f(2a－x)，
则f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，
则f(x)＝－f(2a－x)，
则f(x)的图象关于点(a,0)对称；
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设x1，x1∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．
5．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝loga x(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝loga x在(0，＋∞)上单调递增；
当06．函数与方程
(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点 f(x0)＝0 (x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0；
②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点；
③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
7．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
8．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围：
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
9．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
「易错盘点」
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数等，列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
[对点训练1]　函数f(x)＝ln＋x的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案：B
2．求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则．
[对点训练2]　函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________．
答案：(4，＋∞)
3．定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．函数y＝f(x)为奇函数，但不一定有f(0)＝0成立．
[对点训练3]　函数f(x)＝的奇偶性是________．
答案：奇函数
4．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[对点训练4]　函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________．
答案：(－∞，－1)和(1，＋∞)
5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝loga x(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件．
[对点训练5]　函数y＝loga|x|的增区间为________．
答案：当a>1时，函数的增区间为(0，＋∞)；
当06．分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值．
[对点训练6]　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
答案：
7．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
[对点训练7]　函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
8．混淆y＝f(x)在某点(x0，f(x0))处的切线与y＝f(x)过某点(x0，f(x0))的切线，导致求解失误．
[对点训练8]　已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
答案：1
9．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此．
[对点训练9]　若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．
答案：
10．对于可导函数y＝f(x)，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．
[对点训练10]　若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.
答案：－7
|回扣三|　三角函数与平面向量　
「要点回扣」
1．准确记忆六组诱导公式
对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符合看象限．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．
(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(3)弦、切互化：一般是切化弦．
(4)灵活运用辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).
3．三种三角函数的性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
单调性 在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增
对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．
(3)图象变换
5．正弦定理及其变形
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
sinA＝，sinB＝，sinC＝.
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
6．余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
推论：cosA＝，cosB＝，
cosC＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，
a2＋b2－c2＝2abcosC.
7．面积公式
S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
8．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
9．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
10．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝ .
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
11．利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
cosθ＝＝.
12．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心 ＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心 ·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
「易错盘点」
1．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号，若ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
[对点训练1]　函数y＝sin的递减区间是________．
答案：，k∈Z
2．在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解．
[对点训练2]　已知cosα＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则cosβ＝________.
答案：
3．已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解，在△ABC中，A>B sinA>sinB.
[对点训练3]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝.若C＝，则角A＝________.
答案：
4．设两个非零向量a，b，其夹角为θ，当θ为锐角时，a·b>0，且a，b不同向；故a·b>0是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且a，b不反向，故a·b<0是θ为钝角的必要不充分条件．
[对点训练4]　已知向量a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，设a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：
　数列与不等式
「要点回扣」
1．牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列 等比数列
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和 Sn＝＝na1＋d (1)q≠1，Sn＝＝；(2)q＝1，Sn＝na1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
等差数列 等比数列
性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝amqn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列．
②通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*) {an}是等差数列．
③中项公式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列．
④前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列．
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列．
②通项公式法
an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*) {an}是等比数列．
③中项公式法
a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*) {an}是等比数列．
3．数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．
(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．
(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.
4．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
5．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
6．分式不等式
>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)
7．基本不等式
(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
8．线性规划
(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．
(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．
(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．
「易错盘点」
1．已知数列的前n项和Sn，求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
[对点训练1]　已知数列{an}对任意的n∈N*都满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n，则数列{an}的通项公式为________．
答案：an＝
2．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解．
[对点训练2]　等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
答案：
3．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
[对点训练3]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝________.
答案：－1或1
4．利用等差数列定义求解问题时，易忽视an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中，＝q(常数且q≠0)，忽视n∈N*的条件限制．
[对点训练4]　已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
答案：23
5．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
[对点训练5]　若不等式x2＋x－1答案：(－∞，－1]∪
6．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值．
[对点训练6]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________．
答案：9
7．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如 是指已知区域内的点(x，y)与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．
[对点训练7]　已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
答案：
8．求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响．
[对点训练8]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
答案：
9．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．
[对点训练9]　若an＝2n－1，且bn＝(－1)n－1，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案：Tn＝
　立体几何
「要点回扣」
1．概念理解
(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．
(2)三视图
①三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
②三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
2．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图 表面积 体积
直棱柱 长方形 S＝2S底＋S侧 V＝S底·h
圆柱 长方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l
棱锥 由若干三角形构成 S＝S底＋S侧 V＝S底·h
圆锥 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h
续表
棱台 由若干个梯形构成 S＝S上底＋S下底＋S侧 V＝(S＋＋S′)·h
圆台 扇环 S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2 V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h
球 S＝4πr2 S＝πr3
3.平行、垂直关系的转化示意图
(1)
(2)两个结论
① a∥b，
② b⊥α.
4．用空间向量证明平行垂直
5．用向量求空间角
「易错盘点」
1．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
[对点训练1]　某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V＝________.
答案：π
2．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，这是因为忽视面面垂直的性质定理中m α的限制条件．
[对点训练2]　已知m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β.
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n.
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线．
④若α∩β＝m，n∥m，且n α，n β，则n∥α，且n∥β.
⑤若m，n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.其中正确的命题序号是________．
答案：②④
3．忽视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误．
[对点训练3]　如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为________．
答案：
4．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
[对点训练5]　如图①，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图②)，设点E，F分别为棱AC，AD的中点．
(1)求证：DC⊥平面ABC；
(2)设CD＝a，求三棱锥A－BFE的体积．
解：(1)证明：在题图①中，AB＝BD，且∠A＝45°，
∴∠ADB＝45°，∠ABD＝90°，则AB⊥BD.
在题图②中，
∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，AB 平面ABD，
∴AB⊥底面BDC，又∵CD 平面BDC，
∴AB⊥CD.
∵∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，又AB∩BC＝B，
∴DC⊥平面ABC.
(2)∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF∥CD，
又由(1)知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
　平面解析几何
「要点回扣」
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2 k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2 k1·k2＝－1.
提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法；
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
图形
几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0)
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c,0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e＝＝ (01) e＝1
准线 x＝－
渐近线 y＝±x
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|.
8．解决范围、最值问题的常用解法
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．
(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
9．定点问题的思路
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
10．求解定值问题的两大途径
(1)→
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
11．解决存在性问题的解题步骤
第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；
第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；
第三步：得出结论．
「易错盘点」
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
[对点训练1]　直线xcosθ＋y－2＝0的倾斜角的范围是________．
答案：∪
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况．
[对点训练2]　已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．
答案：5x－y＝0或x＋y－6＝0
3．求两条平行线之间的距离时，易忽视两直线x，y的系数相等的条件，而直接代入公式d＝，导致错误．
[对点训练3]　直线3x＋4y＋5＝0与6x＋8y－7＝0的距离为________．
答案：
4．两圆的位置关系可根据圆心距与半径的关系判定，在两圆相切的关系中，误认为相切为两圆外切，忽视相内切的情形；求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情形．
[对点训练4]　(1)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆的位置关系为________．
答案：(1)x＋2y－5＝0　(2)内切
5．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
[对点训练5]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
答案：C
6．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
[对点训练6]　已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A，B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．
答案：＋＝1
7．由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解．
[对点训练7]　已知椭圆＋＝1的离心率等于 ，则m＝________.
答案：1或16
8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行．
[对点训练8]　已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O为坐标原点．
(1)求椭圆W的方程；
(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为Sk，证明：S1＝S2.
解：(1)由题意，得W的半焦距c＝1，右焦点F(1,0)，上顶点M(0，b)．
∴直线MF的斜率kMF＝＝－1，解得b＝1.
由a2＝b2＋c2，得a2＝2.
∴椭圆W的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.①
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|＝ ＝
，
∵原点O到直线y＝kx＋m的距离d＝，
∴S△AOB＝|AB|d＝ ，
当k＝1时，S△AOB＝ ，
∴当m2＝时，S△AOB有最大值S1＝，
验证满足①式；
当k＝2时，S△AOB＝ ，
∴当m2＝时，S△AOB的最大值S2＝，
经验证①式成立．因此S1＝S2.
　计数原理、概率与统计
「要点回扣」
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
5．二项式定理
6．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
7．二项式系数的性质
8．牢记概念与公式
(1)概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式
(3)统计中四个数据特征
①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作中位数；
③平均数：样本数据的算术平均数，
9．活用定理与结论
「易错盘点」
1．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
[对点训练1]　从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________．
答案：20
2．在独立性检验中，K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度．
[对点训练2]　为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表.
分类 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示)．
附：K2＝
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
答案：99.5%
3．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
[对点训练3]　抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．
答案：
4．混淆直线方程y＝ax＋b与回归直线＝x＋系数的含义，导致回归分析中致误．
[对点训练4]　为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
答案：B
5．几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误．
[对点训练5]　在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
答案：
答案：4:1
7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
答案：
8．正态密度曲线具有对称性，注意X～N(μ，σ2)时，P(X≥μ)＝0.5的灵活应用．
[对点训练8]　已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
答案：C
9．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的数学期望和方差公式计算致误．
[对点训练9]　现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择．但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子去决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．
(1)求这4个人中恰好有1个人去A地的概率；
(2)用X、Y分别表示这4个人中去A、B两地的人数，记ξ＝X·Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
解：依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地旅游的概率为．
|回扣八|　复数、程序框图、推理与证明　
「要点回扣」
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数 b＝0；
②z是虚数 b≠0；
③z是纯虚数 a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ .
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i.
(其中a，b，c，d∈R)
2．复数和几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
「易错盘点」
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
[对点训练1]　设i是虚数单位，复数z＝为纯虚数，则实数a＝________.
答案：－2
2．复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点为Z(a，b)，不是Z(a，bi)；当且仅当O为坐标原点时，向量与点Z对应的复数相同．
[对点训练2]　设a∈R，若复数z＝(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a＝________.
答案：1

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