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2021-2022学年江西省上饶市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题

1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.

2. 如图，各小方格的边长为，的各顶点都在格点上，则边上的高等于（ ）
A. B. C. D.

3. 如图，中，平分，是中点，，则的值为（ ）
A. B. C. D.

4. 、、是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B. C. D.

5. 如图，在中， ，作的中垂线交于点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.

6. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
二、填空题

已知长方形的面积是，其中一边的长是，则该长方形的周长为________.

在平面直角坐标系中，点到原点的距离是________.

在中， ，则的面积是________.

中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于、，则的长为________．

如图，在矩形中，，点是所在直线的一个动点，点是对角线上的动点，且，则的最小值为________.

如图是一张长方形纸片，已知，，为上一点，，现要剪下一张等腰三角形纸片，使点落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的底边长是________．
三、解答题

计算：
（1）；
（2）.

如图，五边形是某学校的一块空地，校方计划沿、修两条小路，并在内种植某种草皮，经测量，和恰好为两个等腰直角三角形，且，米，米，米．求种植草皮部分 的面积．

如图，四边形是正方形， 是等边三角形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图中，作的中点．
（2）在图中，在边上作一点，使.

先化简，再求值：，其中，.

如图，矩形的对角线、相交于点，平分交于点，连接，若 ，求证：是等腰三角形．

如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是________.
（2）求该长度最短的金属丝的长．

已知：如图，在四边形中，，，．
（1）求证：；
（2）当于时，试证明：．

如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交，，于点，，，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，为的中点，，求的长．

阅读下列解题过程：
；请回答下列问题：
观察上面的解题过程，化简：①；②；
利用上面提供的解法，请计算：
．

如图，已知四边形为正方形， ，点为对角线上一动点，连接，过点作．交于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

操作探究：
（1）如图，将正方形纸片沿折叠，使点与正方形的对角线上的点重合．若，则正方形的边长是________.
操作探究：
（2）如图，将正方形纸片分别沿，折叠，使，在处重合．若正方形的边长为 .
①则________度；
②求证：.
结论应用：
（3）如图，已知正方形中，点，分别在，上，于点．若，，求的长．
拓展应用：
（4）如图，已知四边形中， ．若a，请画出解决本题的辅助线，然后直接写出，，，的数量关系．
参考答案与试题解析
2021-2022学年江西省上饶市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
最简二次根式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
2.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
3.
【答案】
D
【考点】
角平分线的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
4.
【答案】
A
【考点】
二次根式的性质与化简
三角形三边关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
5.
【答案】
C
【考点】
线段垂直平分线的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
6.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
二、填空题
【答案】
【考点】
二次根式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【答案】
【考点】
求坐标系中两点间的距离
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【答案】
【考点】
平行四边形的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【答案】
【考点】
菱形的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【答案】
【考点】
矩形的性质
轴对称——最短路线问题
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【答案】
或或
【考点】
矩形的性质
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；
②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；
③当时，底边；即可得出结论．
【解答】
解：如图所示：
①当时，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 底边；
②当时，
∵ ，，
∴ ，
∴ 底边；
③当时，底边.
综上所述：等腰三角形的底边长为或或.
故答案为：或或．
三、解答题
【答案】
解：（）原式
.
（2）原式
.
【考点】
二次根式的混合运算
二次根式的性质与化简
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）原式
.
（2）原式
.
【答案】
解：∵ 和恰好为两个等腰直角三角形， ，
∴ 米，米，
∴ （米），（米），
米，
∴ ，
∴ ，
∴ （平方米），
答：种植草皮部分的面积为平分米．
【考点】
等腰直角三角形
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 和恰好为两个等腰直角三角形， ，
∴ 米，米，
∴ （米），（米），
米，
∴ ，
∴ ，
∴ （平方米），
答：种植草皮部分的面积为平分米．
【答案】
解：（）如图，点为所作；
（2）如图，点为所作．
【考点】
作图—尺规作图的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）如图，点为所作；
（2）如图，点为所作．
【答案】
解：原式
，
当时，原式.
【考点】
二次根式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式
，
当时，原式.
【答案】
证明：矩形的对角线，相交于点，∴ ,
又∵ ,
∴ 为等边三角形．
∴ ,
∵ 平分于点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
【考点】
等腰三角形的判定
正方形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：矩形的对角线，相交于点，∴ ,
又∵ ,
∴ 为等边三角形．
∴ ,
∵ 平分于点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
【答案】
解：（）因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
∵ 圆柱底面的直径，圆柱的高，
∴ 该长度最短的金属丝的长为.
【考点】
平面展开-最短路径问题
圆柱的展开图及侧面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
∵ 圆柱底面的直径，圆柱的高，
∴ 该长度最短的金属丝的长为.
【答案】
证明：（1）连接．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ．
（2）过作于．
∵ ，，，
∴ ，
∴ 四边形是矩形．
∴ ．
∵ ，，
∴ ，
∴ 在与中
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【考点】
勾股定理
全等三角形的性质与判定
矩形的判定与性质
【解析】
（1）根据勾股定理，得出，进而得出；
（2）首先证明是矩形，再根据，得出，进而证明结论．
【解答】
证明：（1）连接．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ．
（2）过作于．
∵ ，，，
∴ ，
∴ 四边形是矩形．
∴ ．
∵ ，，
∴ ，
∴ 在与中
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【答案】
证明：∵ 垂直平分，
∴ ，，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴ ，
在与中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 四边形是平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形是菱形；
解：∵ ，分别为，的中点，
∴ ，
设，则，
在中，，
解得，
，
∴ ，
设，则，，
在中，，解得，
在中，，
∴ ．
【考点】
菱形的判定
三角形中位线定理
勾股定理
线段垂直平分线的性质
全等三角形的判定
全等三角形的性质
【解析】
（1）先根据线段垂直平分线的性质证明，由证明，得出，证出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据三角形中位线的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，，得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得，解得，在中，根据勾股定理可得，由即可求解．
【解答】
证明：∵ 垂直平分，
∴ ，，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴ ，
在与中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 四边形是平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形是菱形；
解：∵ ，分别为，的中点，
∴ ，
设，则，
在中，，
解得，
，
∴ ，
设，则，，
在中，，解得，
在中，，
∴ ．
【答案】
解：①；
②.
．
【考点】
分母有理化
【解析】
观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答题的关键是找出分母的有理化因式．
先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．
【解答】
解：①；
②.
．
【答案】
解：过点作于点，于点，
四边形是正方形，
，，
，且，
四边形是正方形，
．
四边形是矩形，，
.
在和中，
，
，
矩形是正方形．
的值为定值，理由如下：
矩形是正方形，
，.
四边形是正方形，
，，
．
在和中，
，
，
，
．
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的判定
正方形的性质
矩形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：过点作于点，于点，
四边形是正方形，
，，
，且，
四边形是正方形，
．
四边形是矩形，，
.
在和中，
，
，
矩形是正方形．
的值为定值，理由如下：
矩形是正方形，
，.
四边形是正方形，
，，
．
在和中，
，
，
，
．
【答案】
解：（）∵ 四边形为正方形，为对角线，
∴ ，，
由题意，得：，
∴ ，，
∴ 在中，由勾股定理可得：，
∴ .
故答案为：
（2）①由题可知，将正方形纸片分别沿，折叠后得到 ，，
∴ ，，
∵ 四边形为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：；
②证明：由题意知将正方形折叠后可知， ，
，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即，则，
∴ ，
（3）∵ ，∴ 为的角平分线，
，，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（）②得：，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（4）如图，延长到点使，连接，延长到点使，连接，
，，
∴ ，即，
：= ，
∴ ，
∴ ，，
同理：，
∴ ，，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
，
∴ .
【考点】
全等三角形的性质与判定
四边形综合题
勾股定理
等边三角形的性质与判定
翻折变换（折叠问题）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）∵ 四边形为正方形，为对角线，
∴ ，，
由题意，得：，
∴ ，，
∴ 在中，由勾股定理可得：，
∴ .
故答案为：
（2）①由题可知，将正方形纸片分别沿，折叠后得到 ，，
∴ ，，
∵ 四边形为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：；
②证明：由题意知将正方形折叠后可知， ，
，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即，则，
∴ ，
（3）∵ ，∴ 为的角平分线，
，，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（）②得：，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（4）如图，延长到点使，连接，延长到点使，连接，
，，
∴ ，即，
：= ，
∴ ，
∴ ，，
同理：，
∴ ，，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
，
∴ .
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