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(共85张PPT)
第五章
§5.1　平面向量的概念及线性运算
考试要求
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
落实主干知识
探究核心题型
内容
索引
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____
______.
(2)零向量：长度为__的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于________长度的向量.
(4)平行向量：方向相同或____的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向_____的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向_____的向量.
方向
长度
(或模)
0
1个单位
相反
相同
相反
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：
a＋b＝_______；
结合律：
(a＋b)＋c＝_________
2.向量的线性运算
b＋a
a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λ a|＝_______，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝___ λ(μ a)＝_______；
(λ＋μ)a＝________；
λ(a＋b)＝________
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得_______.
b＝λa
常用
结论
常用
结论
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.(　　 )
(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　 )
√
×
×
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(　 　)
√
④海拔、温度、角度都不是向量.
则所有正确命题的序号是
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
1.给出下列命题：
①若a与b都是单位向量，则a＝b；
②直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；
√
①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；
②错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；
③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；
④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.
√
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝
________.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
例1　 (1)给出下列命题，正确的有
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
√
题型一
平面向量的概念
C.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是
√
下列命题为假命题的是
A.若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行
B.若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e
C.两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向
D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件
教师备选
√
思维升华
平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
D.若a＝b，b＝c，则a＝c
跟踪训练1　 (1)下列命题不正确的是
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
√
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
D项，由向量相等的定义知D正确.
(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
若a＋b＝0，
则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，
即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件.
例2　 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是______，最小值是___.
题型二
平面向量的线性运算
命题点1　向量加、减法的几何意义
2 023　 0
当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，
|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，
|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；
当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，
e1＋e2＋…＋e2 023＝0，
所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
例3　如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且 ＝3，F是AE的中点，则下列关系式不正确的是
命题点2　向量的线性运算
√
所以选项A正确；
所以选项B正确；
所以选项C不正确；
所以选项D正确.
命题点3　根据向量线性运算求参数
√
如图所示，
易知BC＝4AD，
CE＝2AD，
教师备选
√
如图所示，
∵D为BC的中点，
√
思维升华
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
如图所示，由题意可知
√
√
如图所示，由题意知，
例5　设两向量a与b不共线.
题型三
共线定理及其应用
又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，
∴k＝±1.
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
A.2 B.3
C.4 D.8
教师备选
√
2.设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb， (a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________.
又a，b为两个不共线的非零向量，
思维升华
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
√
由题意知，
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
√
因为线段CO与线段AB交于点D，
所以O，C，D三点共线，
因为A，B，D三点共线，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞).
KESHIJINGLIAN
课时精练
根据正六边形的性质，
基础保分练
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2.若a，b为非零向量，则“ ”是“a，b共线”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
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A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.|a＋b|＝|a|＋|b|
由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；
由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，
所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.
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4.(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是
A.若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb
B.若a∥b，b∥c，则a∥c
C.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D.|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
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若a∥b，且b＝0，则可有无数个实数λ使得a＝λb，故A错误；
若a∥b，b∥c(b≠0)，则a∥c，若b＝0，
则a，c不一定平行，故B错误；
若a·b＝0，也可以为a⊥b，故C错误；
根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|－|b|≤
|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正确.
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B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
D.向量的模是一个正实数
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B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；
D项，向量的模是一个非负实数，故错误.
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连接AE(图略)，因为F为DE的中点，
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8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且 .下列关系中正确的是
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所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，
即(t－2k)a＝(3k＋1)b.
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如图，设F为BC的中点，
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又G，D，E三点共线，
在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，
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技能提升练
直角
因为点P是△ABC所在平面内一点，
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如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，
∵B，D，C三点共线，
∵在△ABC中，∠A＝60°，
∠A的平分线交BC于D，
∴四边形AMDN是菱形，
∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，
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又D为BC的中点，M为AC的中点，
则P，D，M三点共线且D为PM的中点，
又D为BC的中点，
所以四边形CPBM为平行四边形.
设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，
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所以△AMB为等边三角形，∠BAC＝60°，
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可得O为△A′BC′的重心，如图，
设S△AOB＝x，S△BOC＝y，S△AOC＝z，
则S△A′OB＝2x，S△BOC′＝3y，S△A′OC′＝6z，
由2x＝3y＝6z，
可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.

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