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空间点、直线、平面之间的位置关系
【第一学时】
【学习目标】
1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面
2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实理解三个基本事实的地位与作用
【学习重难点】
1．平面的概念
2．点、线、面的位置关系
3．三个基本事实及推论
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．教材中是如何定义平面的？
2．平面的表示方法有哪些？
3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
二、合作探究
图形、文字、符号语言的相互转化
例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β.
点、线共面问题
例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
三点共线、三线共点问题
例3：如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．
【学习小结】
1．平面
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．
（2）平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
（3）平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈α
A在α外 A α
l在α内 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
3．平面的性质
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
4．平面性质的三个推论
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图（1）．
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图（2）．
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图（3）．
【精炼反馈】
1．能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
2．经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
3．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（ ）
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
5．说明语句“l α，m∩α＝A，A l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．
【第二学时】
【学习目标】
1．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义
2．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示
3．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示
【学习重难点】
1．空间两直线的位置关系
2．直线与平面的位置关系
3．平面与平面的位置关系
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．空间两直线有哪几种位置关系？
2．直线与平面的位置关系有哪几种？
3．平面与平面的位置关系有哪几种？
4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？
5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？
二、合作探究
空间两直线位置关系的判定
例1：如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
直线与平面的位置关系
例2：下列命题：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b α，则a∥α；
④若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
平面与平面的位置关系
例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a α，b β，a，b异面，则两平面平行或相交．
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．
由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．
点、线、面位置关系图形的画法
例4：如图所示，G是正方体ABCD A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
（1）过点G及AC.
（2）过三点E，F，D1.
【学习小结】
1．空间中直线与直线的位置关系
（1）异面直线
①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
②画法：（通常用平面衬托）
（2）空间两条直线的位置关系
2．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外
直线a与平 面α相交 直线a与 平面α平行
公共点 无数个公共点 有且只有 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
3．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点（在一条直线上）
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
【精炼反馈】
1．不平行的两条直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
2．若M∈l，N∈l，N α，M∈α，则有（ ）
A．l∥α B．l α
C．l与α相交 D．以上都有可能
3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内
5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．
6．下列命题正确的是________．（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．
【参考答案】
【第一学时】
二、合作探究
例1：【答案】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．
（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．
例2：【答案】证明：法一：（纳入平面法）
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：（辅助平面法）
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，
所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
例3：【证明】连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，
F为AA1的中点，所以EFA1B.
又因为A1BD1C，
所以EFD1C，
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
【精炼反馈】
1．【答案】D
【解析】选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
2．【答案】C
【解析】选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．
3．【答案】A
【解析】选A.因为M∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l α.
4．【答案】D
【解析】选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
5．【答案】解：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．
【第二学时】
例1：【答案】①平行②异面③相交④异面
【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
例2：【答案】A
【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．
因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．
因为直线a∥b，b α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．
因为a∥b，b α，所以a α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．
综上，真命题的个数为1.
例3：【答案】C
【解析】如图，可能会出现以下两种情况：
例4：【答案】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．
【精炼反馈】
1．【答案】D
【解析】选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
2．【答案】C
【解析】选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C.
3．【答案】D
【解析】选D.如图：
4．【答案】D
【解析】选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．
5．【答案】异面
6．【答案】①
【解析】①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．
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