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《平面向量基本定理及坐标表示》学历案
专二： 平面向量基本定理及坐标表示
【学习目标】 班级： 姓名： 使用时间：
学习目标 核心素养
1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量． 直观想象
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 逻辑推理
3．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则． 数学运算
4 理解用坐标表示两向量共线的条件． 数学抽象
掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 数学运算
【知识梳理】1、向量平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个_________的向量
结论 对于这一平面内的任意向量a，_______一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若向量e1，e2不共线,则_______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2、　平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：
(2)平面向量的坐标表示：
3、　平面向量的坐标运算及中点公式
（1）平面向量的坐标运算： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，
则有：a＋b＝ a－b＝ λa =
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝
（2）中点公式 设线段AB两端点的坐标分别为A，B，
则其中点M（ｘ，ｙ）的坐标计算公式为： .
4、　平面向量共线的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
其中b≠0，a，b共线的充要条件是________________.
(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)( b≠0)共线的充要条件是_______________．
5、 平面向量数量积的坐标表示 1．平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝__________; a⊥b ______
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝____________ .
3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝_____________________.
4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，
则cos θ＝＝
【典例探究】
【例1】(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，
＝b，给出下列结论：①＝－a－b；②＝a＋b；
③＝－a＋b；④＝a.
其中正确的结论的序号为________．
(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，
AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
【例2】(1)已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，
求M，N及的坐标．
【例3】(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
【例4】(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数
k的取值范围是(　　)A．(－2，＋∞) B．（-2，）∪
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，
求||与点D的坐标.
【课堂达标】 班级： 姓名：
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
2．已知点A(1,2)，B(2,4)，C(－3,5)．若＝＋m，且点P在y轴上，
则m＝(　　)
A．－2 B． C．－ D．2
3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(－2,2) D．(2，－2)
4.已知向量a=(3,-2), b=(x, y-1),且a∥b, 若x,y为正数,则的最小值是(　　)
A. B. C.16 D.8
5.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，
P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为(　　)
A．3　　　 　B．5 C．7　　　 　D．8
6．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.
7．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有
最小值，则点P的坐标是________.
8．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求向量a的坐标． (2)求向量a与b的夹角．
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式.
【学后反思】
今日之事今日毕 ，日积月累成大器！

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