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幂函数
【学习目标】
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式。
2．结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的图像，掌握它们的性质。
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小。
【教学重难点】
1．幂函数的概念。
2．幂函数的性质。
3．幂函数性质的应用。
【学习过程】
问题导学
预习教材P33－P36的内容，思考以下问题：
1．幂函数是如何定义的？
2．幂函数的解析式具有什么特点？
3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？
【新知初探】
1．一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数。
■名师点拨
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量。
2．幂函数的图像与性质
（1）五个常见幂函数的图像
（2）五个常见幂函数的性质：
函数 性质 y=x y=x y=x2 y=x3 y=x－1
定义域 R [0，＋∞） R R （－∞，0）∪（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） （0，＋∞） R （－∞，0）∪（0，＋∞）
奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇
单调性 R上增 [0，＋∞）上增 （－∞，0）上减 [0，＋∞）上增 R上增 （－∞，0）上减 （0，＋∞）上减
公共点 （1，1）
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y=x－是幂函数。（ ）
（2）函数y=2－x是幂函数。（ ）
（3）幂函数的图像都不过第二、四象限。（ ）
2．下列所给函数中，是幂函数的是（ ）
A．y=－x3
B．y=3x
C．y=x
D．y=x2－1
3．下列函数中，在（－∞，0）上是增函数的是（ ）
A．y=x3
B．y=x2
C．y=
D．y=x
4．已知幂函数f（x）的图像经过点（2，），则f（4）=________。
探究一、幂函数的概念
1．函数f（x）=（m2－m－1）xm2＋m－3是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，求f（x）的解析式。
（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1=1”这一等量关系，导致解题受阻。
（2）幂函数y=xα（α∈R）中，α为常数，系数为1，底数为单一的x。这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准。幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错。
2．已知幂函数f（x）=xα的图像经过点（9，3），则f（100）=________。
探究二、幂函数的图像
3．如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为（ ）
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2，2，
D．2，，－2，－
[规律方法]
幂函数图像的特征
（1）在第一象限内，直线x=1的右侧，y=xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x=1的左侧，y=xα的图像由上到下，指数α由小变大。
（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸。
4．如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像，则（ ）
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1，0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
探究三、比较幂的大小
5．比较下列各组数中两个数的大小：
（1）与；（2）与；
（3）0.25－与6．25；（4）0.20.6与0.30.4
[规律方法]
（1）比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数。
（2）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量。
6．比较下列各组数的大小：
（1）与；（2）－3．143与－π3；
（3）与。
【达标反馈】
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=5x
B．y=x5
C．y=5x
D．y=（x＋1）3
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y=x
B．y=x－
C．y=x
D．y=x
3．设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1，3
B．－1，1
C．－1，3
D．－1，1，3
4．若a=，b=，c=（－2）3，则a、b、c的大小关系为________。
5．已知幂函数f（x）=（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√（2）×（3）×
2．解析：选C．幂函数的形式为y=xα，只有C符合。
3．解析：选A．结合函数图像，易知y=x3在（－∞，0）上为增函数，故选A．
4．解析：设f（x）=xα，所以α=，所以f（4）=4=2．
答案：2
探究一、幂函数的概念
1．【解】根据幂函数定义得，
m2－m－1=1，解得m=2或m=－1，
当m=2时，f（x）=x3在（0，＋∞）上是增函数，
当m=－1时，f（x）=x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求。
所以f（x）的解析式为f（x）=x3．
2．解析：由题意可知f（9）=3，即9α=3，所以α=，
所以f（x）=x，所以f（100）=100=10.
答案：10
3．【解析】考虑幂函数在第一象限内的增减性。注意当n＞0时，对于y=xn，n越大，y=xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小。根据幂函数y=xn的性质，故c1的n=2，c2的n=，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n=－，曲线c4的n=－2，故选B．
【答案】B
4．解析：选B．在（0，1）内取同一值x0，作直线x=x0，与各图像有交点，如图所示。根据点低指数大，所以0＜m＜1，n＜－1．
5．【解】（1）因为y=x是[0，＋∞）上的增函数，且＞，
所以＞。
（2）因为y=x－1是（－∞，0）上的减函数，且－＜－，
所以＞。
（3）0.25－==2，6．25=2．5，
因为y=x是[0，＋∞）上的增函数，且2＜2．5，
所以2＜2．5，即0.25－＜6．25。
（4）由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y=0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4．
6．解：（1）因为y=x0.5在[0，＋∞）上是增函数且＞，
所以＞。
（2）因为y=x3是R上的增函数，且3．14＜π，
所以3．143＜π3，所以－3．143＞－π3．
（3）因为y=是减函数，所以＜。y=x是[0，＋∞）上的增函数，所以＞。
所以＞。
【达标反馈】
1．解析：选B．函数y=5x是指数函数，不是幂函数；函数y=5x是正比例函数，不是幂函数；函数y=（x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y=x5是幂函数。
2．解析：选D．y=x=，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同。
3．解析：选A．可知当α=－1，1，3时，y=xα为奇函数，又因为y=xα的定义域为R，则α=1.3．
4．解析：因为y=x在（0，＋∞）上为增函数。
所以＞，即a＞b＞0.
而c=（－2）3=－23＜0，
所以a＞b＞C．
答案：a＞b＞c
5．解析：由于f（x）为幂函数，
所以n2＋2n－2=1，
解得n=1或n=－3，
经检验只有n=1适合题意。
答案：1
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