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一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
素养目标 学科素养
1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度．(重点)2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程．(重点、难点) 1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算
情境导学
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？
1．平均速度与瞬时速度
在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)．
(1)平均速度：一般地，在t1≤t≤t2这段时间里，＝称为平均速度．
(2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度．
(3)为了求运动员在t＝1时的瞬时速度，任意取一个时刻1＋Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt>0时，把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1＋Δt]内的平均速度，用近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)Δx与Δy的值均可取0.(　　)
×　提示：Δy可为0，但Δx不能为0.
(2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．(　　)
×　提示：瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度．
(3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(√)
2．抛物线的切线的斜率
当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0.
1．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．7
B　解析：＝＝4.
2．已知抛物线f(x)＝x2＋1，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
B　解析：k＝ ＝4.
3．抛物线f(x)＝2x2－1在点(1,1)处的切线方程为________．
y＝4x－3　解析：f(x)在点(1,1)处的斜率为
＝4，
所以切线方程为y＝4x－3.
【例1】子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，其运动方程为s＝at2，如果它的加速度a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解： ＝at0.
由题意知a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，
故at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆．
质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在[2,2＋Δt]这段时间内的平均速度是________，在t＝2时的瞬时速度是________．
7＋2Δt　7　解析：＝＝＝7＋2Δt，v＝ (7＋2Δt)＝7.
【例2】　求抛物线f(x)＝－x2＋x在点(－1，－2)处切线的斜率．
解：设抛物线f(x)在点(－1，－2)处切线的斜率为k，则k＝ ＝3.
【例3】　求曲线f(x)＝x－在点(1,0)处的切线方程．
解：函数f(x)＝x－在点(1,0)处的切线斜率k＝ ＝ ＝2.
故所求切线方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
求曲线f(x)上一点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：
(1)求曲线f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝ ；
(2)利用点斜式求出切线方程y－f(x0)＝k(x－x0)．
求抛物线f(x)＝x2＋3在点P(1,4)处的切线斜率.
解：＝
＝＝2＋Δx.
∴所求切线的斜率
k＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
1．函数f(x)＝x2在区间[－1,2]上的平均速度为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
B　解析：因为f(x)＝x2，
所以f(x)在区间[－1,2]上的平均速度为＝＝1.故选B．
2．函数f(x)＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均速度为(　　)
A．Δx＋2 B．Δx＋3
C．2Δx＋(Δx)2 D．3Δx＋(Δx)2
B　解析：＝＝Δx＋3.故选B．
3．直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么 为(　　)
A．从时刻t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．从时刻t到t＋Δt时，位移的平均变化率
C．当时刻为Δt时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
D　解析：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，时间间隔为Δt，而物体的位移为Δs，那么 为该物体在t时刻的瞬时速度．故选D．
4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　)
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
C　解析：∵函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，
∴ ＝3.1，∴在t＝0.5秒的瞬时速度为3.1米/秒．故选C．
5．求函数f(x)＝在x＝x0到x＝x0＋Δx之间的平均速度．
解：＝
＝
＝
＝.
1．平均速度只能粗略地反映物体在一段时间内里的运动状态，并不代表物体在每时每刻的运动情况，但是它是求瞬时速度的基础，瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝li .
课时分层作业(十二)
变化率问题
(30分钟　60分)
知识点1　求瞬时速度
1．(5分)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为(B)
A．1 B．3
C．－1 D．0
2.(5分)第1题中的物体在t0 s时的瞬时速度为________．
3t m/s　解析：物体在t0时的平均速度为
＝
＝
＝
＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2.
因为li[3t＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t，故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t m/s.
3.(5分)若第1题中的物体在t0 s时的瞬时速度为27 m/s，则t0＝________.
3　解析：由3t＝27，解得t0＝±3.
因为t0>0，故t0＝3.
知识点2　求曲线在某点处的斜率
4．(5分)曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋4
B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4
D．y＝2x＋4
C　解析：k＝li
＝li ＝，
所以k＝2，所以直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.故选C．
5．(5分)曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(　　)
A．1 B．
C． D．－
B　解析：∵ ＝ ＝x2，
∴切线的斜率k＝1.
∴切线的倾斜角为，故选B．
6．(5分) 曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B．
C．－ D．－1
A　解析：∵
＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴k＝2a，
∴2a＝2，
∴a＝1.
7.(5分)设f(x)＝，则li 等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
C　解析：li ＝li
＝li ＝－li ＝－.
8．(5分)已知点P(x0，y0)是抛物线f(x)＝3x2＋6x＋1上一点，且在点P处的切线斜率为0，则点P的坐标为(　　)
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
B　解析：∵k＝li ＝
li (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6，令6x0＋6＝0，
∴x0＝－1，y0＝3x＋6x0＋1＝－2.
9.(5分)已知一物体的运动方程是s＝则此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度分别为________．
6,6　解析：t＝1时，
＝6＋3Δt，
li (6＋3Δt)＝6；
t＝4时，
＝6＋3Δt，
li (6＋3Δt)＝6.
10.(5分)曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
(2，－2)　解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，
斜率k＝li
＝li
＝2x0－3＝1，
故x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2).
11.(10分)求函数f(x)＝－x2在(1,0)处的切线方程．
解：＝，
li ＝－3，∴k＝－3，∴切线方程为y＝－3(x－1)，即3x＋y－3＝0.

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