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5.1.2　导数的概念及其几何意义
素养目标 学科素养
1.理解导数的概念，会求函数在某一点处的导数．(重点)2．利用导数的几何意义，求曲线上某点处的切线的斜率和切线的方程．(重点、难点) 1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算
情境导学
2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛，中国选手谢震业以19秒88夺冠，这不仅刷新了全国纪录，还创造了新的亚洲纪录．赛后各国教练都在研究他的弯道技术，通过回放录像分析其弯道时的运动方向．这需要求运动曲线在任一点的切线．怎样求曲线的切线？
1．平均变化率与瞬时变化率
(1)对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
(2)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
2．导数的几何意义
(1)在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，
即k0＝ ＝f′(x0)．
3．导数的概念
当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线．(　　)
×　提示：f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
(2)一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是：物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒．(　　)
×　提示：由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．
(3)若函数f(x)＝c(c为常数)，则在任何x＝x0处的导数f′(x0)为0.(√)
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则 (　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
C　解析：因为f′(x0)＝ ＝
＝ (a＋bΔx)＝a，所以f′(x0)＝a.
2．已知函数y＝f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则f′(1)＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．不存在
B　解析：由切线方程y＝－x＋1知切线斜率k＝f′(1)＝－1.
3．如图所示是函数y＝f(x)的图象，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)与f′(xB)的大小不能确定
B　解析：分别过A，B两点作曲线的切线，可知切线的斜率kB>kA，∴f′(xB)>f′(xA)．
4．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则f′(2)的几何意义是函数f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg 3)处切线的斜率．
5．曲线y＝3x2－4x在点(1，－1)处的切线方程为________．
y＝2x－3　解析：k＝f′(1)＝ ＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3.
【例1】求函数f(x)＝－x2＋3x的导数，并求f′(1)．
解：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝[－(x＋Δx)2＋3(x＋Δx)]－(－x2＋3x)＝－(Δx)2－2x·Δx＋3Δx，所以＝－Δx－2x＋3.
故函数的导数f′(x)＝ ＝ (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3.
所以f′(1)＝－2×1＋3＝1.
求函数在某一点处的导数的方法：
(1)定义法：①求函数值的变化量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率，＝；③取极限，f′(x0)＝ .
(2)导函数的函数值法：先求出导函数f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)得f′(x0)．
1．设函数f(x)在x＝x0处可导，则 等于(　　)
A．f′(x0) B．f′(－x0)
C．－f′(x0) D．－f′(－x0)
C　解析： ＝－ ＝－f′(x0)．
2．求函数y＝x－在x＝2处的导数．
解：方法一(导数定义法)：
Δy＝(2＋Δx)－－
＝Δx＋，
＝＝1＋，
∴ ＝ ＝2，
从而y′|x＝2＝2.
方法二(导函数的函数值法)：
Δy＝(x＋Δx)－－x＋＝Δx＋，
＝＝1＋，
∴y′＝ ＝ ＝1＋，
∴y′|x＝2＝2.
【例2】求函数f(x)＝x2－7x图象上点(3，－12)处切线的斜率．
解：f′(3)＝
＝
＝ ＝ (Δx－1)＝－1.
所以切线的斜率为－1.
【例3】求曲线y＝x3＋2在点M(－1,1)处的切线方程．
解：因为点M(－1,1)恰好在曲线上，所以曲线在点M处的切线的斜率就等于函数y＝x3＋2在x＝－1处的导数．
又y′|x＝－1＝ ＝ ＝ [(Δx)2－3Δx＋3]＝3，
所以切线的斜率为3.
由点斜式可得切线方程为y－1＝3(x＋1)，即3x－y＋4＝0.
【例4】求经过点(2,0)，且与曲线y＝相切的直线方程．
解：经验证点(2,0)不在曲线y＝上，设切点为P(x0，y0)．
由y′|x＝x0＝ ＝ ＝ ＝－，
得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
因为点(2,0)在切线上，
所以xy0＝2－x0.
又点P(x0，y0)在曲线y＝上，所以x0y0＝1，
联立可解得x0＝1，y0＝1，
故所求直线方程为x＋y－2＝0.
1．利用导数的几何意义求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤如下：
(1)求函数f(x)在x0处的导数，即切线的斜率；
(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上．若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若点不在曲线上，应另设切点，再利用导数的几何意义求解．
1．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是________________．
4x＋y－2＝0　解析：由导数的定义知y′|x＝－1
＝
＝－4，
∴所求切线方程为y－6＝－4(x＋1)，
即4x＋y－2＝0.
2．求抛物线y＝x2过点的切线方程．
解：点不在抛物线上，故设切点为，切线方程的斜率为k.
∵y′|x＝x0＝ ＝x0，
切线方程的斜率k＝，
∴x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
故k＝x0＝或.
∴所求切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
探究题1　已知曲线f(x)＝，g(x)＝.过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________________．
x－2y＋1＝0　解析：联立解得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，
得f′(1)＝ ＝ ＝，
∴f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
即x－2y＋1＝0.
探究题2　抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求点P的坐标及切线方程．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，
y′＝
＝
＝
＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴y′|x＝x0＝2x0.
又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
∴2x0＝4，∴x0＝2.
∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，
∴y0＝4，
∴点P的坐标为(2,4)，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
1．解决与导数的几何意义有关的综合题，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线的斜率．
2．利用斜率与已知条件间的关系，构造关于切点的方程，根据方程思想求切点坐标，进而求切线方程．解题的同时要注意解析几何知识的应用．如直线的倾斜角与斜率的关系，如平行、垂直等．
已知曲线y＝x2在某点P处的切线满足下列条件，请分别求出点P的坐标．
(1)平行于直线y＝6x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴正方向成135°的倾斜角．
解：f′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝6x－5平行，
∴2x0＝6，x0＝3，y0＝9，即P(3,9)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴正方向成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
1．已知函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1) B．不存在
C．f′(1) D．以上都不对
A　解析：因为Δx→0，所以(－Δx)→0，所以
＝ ＝f′(1)．故选A．
2．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0B　解析：由f(x)的图象可知，f(x)在x＝2处的切线斜率大于在x＝3处的切线斜率，且斜率为正，
∴0∴f(3)－f(2)可看作(2，f(2))和(3，f(3))的割线的斜率，由图象可知f′(3)∴03．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为2，则 ＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
C　解析：根据题意， ＝ ＝f′(x0)，
又由函数f(x)在x＝x0处的导数为2，
即f′(x0)＝2，
故 ＝1.故选C．
4．函数y＝f(x)＝(x－1)2的导数是(　　)
A．－2 B．(x－1)2
C．2(x－1) D．2(1－x)
C　解析：y′＝
＝
＝
＝2x－2＝2(x－1)．
故选C．
5．函数y＝f(x)的图象在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于(　　)
A．10 B．8
C．3 D．2
D　解析：因为函数y＝f(x)的图象在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，所以f′(5)＝－1，f(5)＝3，所以f(5)＋f′(5)＝2，故选D．
6．在函数y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)．
求：(1)；(2)f′(1)．
解：(1)＝＝＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
1．求函数f(x)在点x＝x0处导数的步骤：
(1)求函数的变化量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率：＝；
(3)取极限，求得f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义是曲线的切线斜率；反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判断斜率的符号，即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况(或函数的增减情况)．同时可以根据切线倾斜程度的大小，判断此曲线升降的快慢情况．
3．函数y＝f(x)在点x＝x0处导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，据此可求曲线的切线方程．
课时分层作业(十三)
导数的概念及其几何意义
(60分钟　110分)
知识点1　导数的概念
1．(5分)已知f(x)＝，则f′(2)＝(　　)
A．－ B．2
C． D．－2
A　解析：f′(2)＝ ＝ ＝ ＝－.
2．(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
B　解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝
＝ ＝－1.
3．(5分)设函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1) B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
A　解析： ＝f′(1).
4.(5分)设函数f(x)＝ax＋3.若f′(1)＝3，则a＝________.　
3　解析：∵f′(x)＝ ＝ ＝a.
∴f′(1)＝a＝3.
知识点2　导数几何意义的直接应用
5．(5分)设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(B)
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
6．(5分)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，f′(x0)不一定存在
AD　解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，故A正确，B不正确；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为x＝x0，故C不正确；D选项正确．
知识点3　利用导数的几何意义求曲线的切线问题
7．(5分)如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
B　解析：由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，
∴f′(x0)＝－<0.
8．(5分)曲线y＝x3－2在点处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．60°
B　解析：∵ ＝ ＝1，
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
9．(5分)曲线y＝在点P(4,2)处的切线方程为(　　)
A．x＋4y＋4＝0
B．x－4y＋4＝0
C．x＋4y＋12＝0
D．x－4y＋12＝0
B　解析：∵ ＝ ＝ ＝，
∴曲线在点P处的切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.
10.(5分)过点(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为________________．
2x－y－1＝0和10x－y－25＝0　解析：y′＝ ＝ ＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x.
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0.
∵所求的切线过点(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率又为＝，
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
知识点4　导数几何意义的综合应用
11．(5分)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)
A． B．1
C．2 D．0
C　解析：由图象知f(5)＝－5＋8＝3.
由导数几何意义知f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
12．(5分)(多选)曲线y＝f(x)＝x3在点P处的切线斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－2，－8)
D．(2,8)
AB　解析：f′(x0)＝ ＝ ＝ [3Δx·x0＋3x＋(Δx)2]＝3x.
令3x＝3，则x0＝±1，∴y0＝±1.
13.(5分)过点P(－1,2)，且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________．
2x－y＋4＝0　解析：f′(1)＝ ＝2.
∴所求直线方程为y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
14.(5分)设f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 B．0
C．3 D．
D　解析：∵ ＝1，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴f′(x0)＝ ＝.
15．(5分)抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：抛物线过点(1,2)，∴b＋c＝1.
又∵f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，
∴b＝－1，c＝2.
∴所求的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0，
∴两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0间的距离d＝＝.
16.(5分)若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.
3　解析：设切点为(x0,1)．由y′＝f′(x0)＝ ＝ (4x0－4＋2Δx)＝4x0－4，根据导数的几何意义有4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点为(1,1)，∴1＝2－4＋p，∴p＝3.
17.(5分)函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．
0或2　解析：y＝f(x)＝x2在x＝x0处的导数值为f′(x0)＝ ＝ (Δx＋2x0)＝2x0.
由2x0＝x，
解得x0＝0或x0＝2.
18.(12分)已知直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值和切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
f′(x)＝ ＝
＝3x2－2x.
由题意知，直线l的斜率k＝1，即3x－2x0＝1，
解得x0＝－或x0＝1.
于是切点的坐标为或(1,1)．
当切点为时，＝－＋a，∴a＝.
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
所以a的值为，切点坐标为.
19.(13分)如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；
③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．
由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
当t＝2时，f(2)＝0.
当t＝2时，切线的斜率
k＝f′(2)＝
＝
＝
＝ (－2Δt－4)＝－4.
所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0.

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