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5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
素养目标 学科素养
1.能根据导数的定义推导常用函数的导数．2．掌握基本初等函数的导数公式．(重点)3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．(难点) 1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算
情境导学
高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，即f(t)的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？
1．几个常用函数的导数
函数 用定义法求导数
y＝f(x)＝c y′＝ ＝ ＝ ＝0
y＝f(x)＝x y′＝ ＝＝ ＝1
y＝f(x)＝x2 y′＝ ＝＝＝ (2x＋Δx)＝2x
y＝f(x)＝x3 y′＝ ＝＝＝ [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2
y＝f(x)＝ y′＝ ＝ ＝ ＝ ＝－
y＝f(x)＝ y′＝ ＝ ＝＝＝
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若f(x)＝2，则f′(x)＝2.(　　)
×　提示：f′(x)＝0.
(2)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x2.(　　)
×　提示：f′(x)＝2x.
(3)若f(x)＝x－1，则f′(x)＝－.(√)
2．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(c是常数)，则f′(x)＝0；
(2)若f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1；
(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；
(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；
(5)若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；
特别地，f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
(6)若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；
特别地，f(x)＝ln x，则f′(x)＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)′＝cos.(　　)
×　提示：∵sin＝(常数)，∴′＝0.
(2)(2x)′＝x2x－1.(　　)
×　提示：(2x)′＝2xln 2.
(3)(ln x)′＝.(√)
1．函数f(x)＝0的导数是(A)
A．0 B．1
C．不存在 D．不确定
2．若函数f(x)＝x，则f′(2)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．不存在
B　解析：f′(x)＝1，∴f′(2)＝1.
3．若函数f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率为(　　)
A．0 B．1
C． D．不存在
B　解析：∵f′(x)＝2x，∴k＝f′＝2×＝1.
4．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于(　　)
A． B．10
C．10ln 10 D．
C　解析：∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.
5．给出下列命题：
①若y＝ln 2，则y′＝；
②若y＝，则y′|x＝3＝－；
③若y＝2x，则y′＝2xln 2；
④若y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　解析：对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，
∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③④正确，故选C．
【例1】求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝7x；(5)y＝log5x.
解：(1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝(7x)′＝7xln 7.
(5)y′＝(log5x)′＝.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解，公式法最简捷．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．比如对带根号的函数，一般先将其转化为分数指数幂，再利用公式(xα)′＝αxα－1进行求导．
3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．
若g(x)＝log3x, 则g′(x)＝.
【例2】已知质点的运动方程是s＝sint.
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
解：(1)∵v(t)＝s′(t)＝cost，
∴v＝cos＝，
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cost，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
1．求函数f(x)＝在(1,1)处的导数．
解：∵f′(x)＝′＝(x－)′
＝－x－＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
2．求函数f(x)＝cosx在处的导数．
解：∵f′(x)＝－sinx，
∴f′＝－sin＝－.
探究题1　求过曲线f(x)＝cosx上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
解：因为f(x)＝cosx，
所以f′(x)＝－sinx.
则曲线f(x)＝cosx在点P的切线斜率为
f′＝－sin＝－，
所以所求直线的斜率为，
所求直线方程为y－＝，
即y＝x－π＋.
探究题2　分别求双曲线y＝与抛物线y＝x2的交点处的切线方程．
解：易求得双曲线y＝与抛物线y＝x2的交点为(1,1)．
双曲线y＝在交点处的切线的斜率为y′|x＝1＝－1，故切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
抛物线y＝x2在交点处的切线的斜率为y′|x＝1＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
求曲线方程或切线方程时，应注意：
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)曲线在切点处的切线的斜率，即对应函数在该点处的导数．
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.
　解析：设切点为(x0，y0)，
∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x.又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，
∴y0＝ln x0，
∴ln x0＝，∴x0＝e，∴k＝.
1．函数y＝x2在x＝1处的导数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　解析：易得y′＝2x，故函数y＝x2在x＝1处的导数是2×1＝2.故选C．
2．已知f(x)＝ln x，则f′的值为(　　)
A．1 B．－1
C．e D．
C　解析：由f(x)＝ln x，则f′(x)＝.所以f′＝＝e.故选C．
3．函数f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则x0＝(　　)
A． B．－
C．±1 D．±
D　解析：∵f′(x)＝3x2，∴3x＝6，∴x0＝±.故选D．
4．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．若f(x)＝0，则f′(x)＝0
B．若f(x)＝cosx，则f′(x)＝sinx
C．若f(x)＝，则f′(x)＝－
D．若f(x)＝ln x，则f′(x)＝
ACD　解析：对A，f(x)为常数，显然成立；对B，f′(x)＝－sinx，故B错误；对C，D，显然都成立．故选ACD．
5．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝cos；
(3)y＝()x.
解：(1)y′＝(x)′＝x.
(2)∵y＝cos＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
(3)y′＝[()x]′＝()xln ＝()xln 3.
1．由定义求出的常用函数的导数可作为公式直接使用．
2．熟记基本初等函数的导数公式．
3．注意区别f(x)＝ax(a>0，且a≠1)及f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的导数：(ax)′＝axln a，(logax)′＝.
课时分层作业(十四)
基本初等函数的导数
(60分钟　100分)
知识点1　几个常用函数的导数公式的应用
1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1，
∴f′(1)＝α＝.
2．(5分)给出下列结论：
①若f(x)＝，则f′(x)＝－；
②若f(x)＝，则f′(x)＝；
③若f(x)＝3，则f′(1)＝0.
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
3．(5分)(多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C． D．
AB　解析：切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB．
4.(5分)已知抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点的坐标为________．
(0，－a2)　解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
知识点2　基本初等函数的导数
5．(5分)若函数f(x)＝cosx，则f′＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．
C　解析：∵f′(x)＝－sinx，
∴f′＝－sin＝－1.
6．(5分)已知函数f(x)＝2－x，则f′(x)＝(　　)
A．－xln 2
B．xln 2
C．xlog2e
D．x
A　解析：∵f(x)＝2－x＝x，
∴f′(x)＝xln＝－xln 2.
7．(5分)给出下列结论：
①(cosx)′＝sinx；
②′＝cos；
③若y＝，则y′＝－；
④′＝.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝(x－2)′＝，所以③错误.′＝＝，所以④正确.
8.(5分)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
eln 3　解析：设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3，①
所以k＝3x0ln 3，
所以y＝3x0ln 3·x.
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln 3·x0＝3x0，②
所以x0＝＝log3e.
所以k＝eln 3.
9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1　解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
10.(5分)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
ln 2－1　解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
∵y′＝(ln x)′＝，
∴＝，
∴x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
11．(5分)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
C　解析：f0(x)＝sinx，
f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝f′3(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2 020(x)＝f4(x)＝cosx.
A．64 B．32
C．16 D．8
13.(5分)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．
　解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
14.(5分)下列结论正确的有________．
①若f(x)＝x4，则f′(2)＝32；
②若f(x)＝，则f′(2)＝－；
③若f(x)＝，则f′(1)＝－；
④若f(x)＝x－5，则f′(－1)＝－5.
①③④　解析：对于①，f′(x)＝4x3，f′(2)＝4×23＝32，正确；
15.(5分)曲线f(x)＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．
　x－ey＝0　解析：∵f′(x)＝(ln x)′＝，
∴f′(e)＝.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
16.(5分)已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
1　解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝(x>0)，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，
解得x＝1或x＝－.
因为x＞0，所以x＝1.
17.(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝2sincos.
解：(1)∵y＝＝x－4，∴y′＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝2sincos＝sinx，
∴y′＝cosx.
18.(10分)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0，
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
设切点坐标为M(x0，y0)，则切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.

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