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5.2.3　简单复合函数的导数
素养目标 学科素养
1.熟练运用导数公式及运算法则求较复杂函数的导数．(重点、难点)2．了解复合函数的概念．(难点)3．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点) 1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算
情境导学
空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能看见几条小鱼儿自由自在地游来游去，微风过处池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪．只要留心，生活中处处风景怡人，基本的是朴素之美，复合的是深沉之美．上节课我们学习了简单函数的导数，对于复杂函数的导数又该如何求呢？
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数y＝sin2x是由y＝u2与u＝sinx复合而成的．(√)
(2)函数y＝2ln x中，中间变量为u＝ln x．(√)
(3)若函数y＝ln(2x)，则y′＝.(　　)
×　提示：y′＝＝.
(4)对复合函数求导时，一般从内层开始，由里及外，层层求导．(　　)
×　提示：一般是从外层开始，由外及里，层层求导.
1．函数y＝cosnx可由(　　)
A．y＝un和u＝cosxn复合而成
B．y＝u和u＝cosnx复合而成
C．y＝un和u＝cosx复合而成
D．y＝cosu和u＝xn复合而成
C　解析：y＝cosnx，中间变量为u＝cosx.
2．设y＝f(sinx)是可导函数，则y′x等于(　　)
A．f′(sinx)
B．f′(sinx)·cosx
C．f′(sinx)·sinx
D．f′(cosx)·cosx
B　解析：y′x＝f′(sinx)·(sinx)′＝f′(sinx)·cosx.
3．函数y＝(2－x3)2的导数为(　　)
A．2(2－x3) B．(2－x3)2
C．6x2(2－x3) D．－6x2(2－x3)
D　解析：y′＝2(2－x3)2－1·(2－x3)′＝2(2－x3)·(0－3x2)＝－6x2(2－x3)．
4．下列式子正确的是(　　)
A．′＝－sin B．(e2x)′＝e2x
C．(sin3x)′＝3cosx D．[ln(－x＋1)]′＝
D　解析：′＝0，(e2x)′＝2e2x，(sin3x)′＝3cos3x，[ln(－x＋1)]′＝＝.
5．y＝ex2－1的导数是(　　)
A．y′＝(x2－1)ex2－1
B．y′＝2xex2－1
C．y′＝(x2－1)ex
D．y′＝ex2－1
B　解析：y′＝ex2－1·(x2－1)′＝2xex2－1.
【例1】求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；(2)y＝.
解：(1)∵y＝(1－)
＝1－＋－1＝x－－x，
∴y′＝(x－－x)′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)∵y＝＝＝－sinx－cosx，∴y′＝(－sinx－cosx)′＝sinx－cosx.
1．在求较复杂的函数的导数时首先应考虑是否可变形，能变形的要先变形，判断解析式结构特点，再选择正确的公式，可以减少运算量．
2．当解析式是多项式乘多项式时，要先展开合并；当解析式中含三角函数时，要先用相关的三角恒等式变形，然后求导，这样可以提高运算速度，减少差错．
求下列函数的导数．
(1)y＝sin4＋cos4；
(2)y＝＋.
解：(1)因为y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－×
＝＋cosx，
所以y′＝′＝－sinx.
(2)因为y＝＋＝，
所以y′＝.
【例2】求下列函数的导数．
(1)y＝4； (2)y＝；
(3)y＝sin2； (4)y＝x.
解：(1)y′＝′
＝43′
＝43.
(2)y′＝′
＝[(1－2x2)－]′
＝－(1－2x2)－·(1－2x2)′
＝2x(1－2x2)－
＝.
(3)y′＝′
＝2sin·′
＝2sin·cos·′
＝2sin.
(4)y′＝(x)′
＝x′＋x()′
＝＋
＝.
对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，中间变量的选择应是基本函数的结构，切不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．注意：一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．不要忘记中间变量对自变量的求导．
求下列函数的导数．
(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝cos；
(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝ex2.
解：(1)y′＝[(4－3x)2]′＝2(4－3x)·(4－3x)′
＝2(4－3x)·(－3)＝18x－24.
(2)y′＝′＝－sin·′＝－2sin.
(3)y′＝[ln(4x－1)]′＝·(4x－1)′＝.
(4)y′＝(ex2)′＝ex2·(x2)′＝2xex2.
探究题1　函数y＝sin2x的图象在点A处的切线的斜率是(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵y′＝2sinx·(sinx)′＝
2sinxcosx＝sin2x，
∴k＝y′|x＝＝sin＝.
探究题2　若曲线y＝x3＋ax在坐标原点处的切线方程是2x－y＝0，则实数a＝________.
解析：曲线y＝x3＋ax的切线斜率k＝y′＝3x2＋a.又曲线在坐标原点处的切线方程为2x－y＝0，∴3×02＋a＝2，故a＝2.
1．利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．求过点P与曲线相切的直线方程时，一般设出切点坐标为(x0，y0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)再代入点P的坐标，求出(x0，y0)．
2．利用导数求参数问题，能较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用．
1．若曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
A　解析：因为y′＝(xln x)′＝ln x＋1，所以曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线的斜率k＝y′|x＝e＝ln e＋1＝2，而切线与直线x＋ay＝1垂直，所以2·＝－1，解得a＝2.
2．已知函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，若f′(2)＝5，则a＝________.
1　解析：因为f(x)＝x(1－ax)2＝a2x3－2ax2＋x，所以f′(x)＝3a2x2－4ax＋1.又f′(2)＝5，所以12a2－8a＋1＝5，即3a2－2a－1＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)．
1．已知f(x)＝cos2x＋e2x，则f′(x)＝(　　)
A．－2sin2x＋2e2x
B．sin2x＋e2x
C．2sin2x＋2e2x
D．－sin2x＋e2x
A　解析：已知f(x)＝cos2x＋e2x，
所以f′(x)＝－2sin2x＋2e2x.故选A．
2．已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(0)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．
C　解析：∵f(x)＝ln(2x＋1)，∴f′(x)＝，
∴f′(0)＝2.故选C．
3．曲线y＝e－x在x＝0处的切线斜率为(　　)
A．－1 B．－e
C．1 D．e
A　解析：已知曲线y＝e－x，可得y′＝－e－x，
当x＝0时，则y′|x＝0＝－1＝k，
曲线y＝e－x在x＝0处的切线斜率为－1.故选A．
4．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
A　解析：因为f(x)＝ln(2x＋1)－ax，所以f′(x)＝－a，所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝.故选A．
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，且导函数f′(x)有最小值－2，则导函数f′(x)＝________，f的值是________．
2cos　　解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，故可得f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，根据图象可得ω＝2，且2×＋φ＝，解得φ＝，
故f′(x)＝2cos，f(x)＝sin，
则f＝sin＝.
6．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝e－0.05x＋1；
(2)f(x)＝(sin2x＋1)2.
解：(1)令u(x)＝－0.05x＋1，φ(u)＝eu，
则f(x)＝φ[u(x)]，
而u′(x)＝－0.05，φ′(u)＝eu，
故f′(x)＝e－0.05x＋1×(－0.05)＝－0.05e－0.05x＋1.
(2)令u(x)＝sin2x＋1，φ(u)＝u2，
则f(x)＝φ[u(x)]，
而u′(x)＝2cos2x，φ′(u)＝2u，
故f′(x)＝2cos2x×2u＝4cos2x(sin2x＋1)，
化简得到f′(x)＝2sin4x＋4cos2x.
1．求较复杂函数的导数时应尽可能地将函数化简，选择正确的公式，然后再求导．
2．复合函数求导时，首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量对自变量的求导．
课时分层作业(十六)
简单复合函数的导数
(60分钟　110分)
知识点1　求较复杂函数的导数
1．(5分)函数f(x)＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(　　)
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
D　解析：∵f(x)＝x2－(a＋b)x＋ab，
∴f′(x)＝2x－(a＋b)．
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b.
2．(5分)函数f(x)＝的导数是(　　)
A． B．－
C． D．－
C　解析：∵f(x)＝＝x，∴f′(x)＝x－＝.
3．(5分)函数y＝x－(2x－1)2的导数y′＝(　　)
A．3－4x B．3＋4x
C．5＋8x D．5－8x
D　解析：∵y＝x－(2x－1)2＝－4x2＋5x－1，
∴y′＝－8x＋5.
4.(5分)若函数y＝tan x，则y′＝________.
　解析：∵y＝tan x＝，∴y′＝.
知识点2　求复合函数的导数
5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是(　　)
A．y＝xcosx B．y＝
C．y＝(2x＋3)4 D．y＝sin
A　解析：A是两函数积的形式，不是复合函数，B，C，D均为复合函数．
6．(5分)函数y＝sin2x－cos2x的导数y′＝(　　)
A．2cos B．cos2x＋sinx
C．cos2x－sin2x D．2cos
A　解析：y′＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.
7．(5分)函数y＝的导数是(　　)
A． B．
C．－ D．－
C　解析：∵y＝＝(3x－1)－2，
∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝.故选C．
8．(5分)函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D．
B　解析：y′＝x′·ln(2x＋5)＋x·[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
知识点3　导数运算的应用
9．(5分)设f(x)＝xex，若f′(x0)＝0，则x0等于(　　)
A．e2 B．－1
C． D．ln 2
B　解析：∵f′(x)＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，
∴f′(x0)＝ex0(x0＋1)＝0.
∴x0＋1＝0.∴x0＝－1.
10．(5分)曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3
D．y＝－2x－2
A　解析：∵f′(x)＝＝，
∴k＝f′(－1)＝＝2.
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
11．(5分)已知函数f(x)＝sin，则其导函数f′(x)是　(　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
D　解析：f′(x)＝2cos＝2sin2x，其最小正周期T＝＝π，且为奇函数.
12.(5分)若f(x)＝且f′(1)＝2，则a＝________.
2　解析：∵f′(x)＝·(ax2－1)′＝，
∴f′(1)＝＝2.∴a＝2.
13.(5分)函数f(x)＝5的导数为(　　)
　　　　　　　　　
A．f′(x)＝54
B．f′(x)＝54
C．f′(x)＝54
D．f′(x)＝54
C　解析：f′(x)＝54·′＝54·.　
14．(5分)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．2 B．
C．－ D．－2
D　解析：∵y＝＝＝1＋，
∴y′＝－.
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率k＝－.
由题意知直线ax＋y＋1＝0的斜率k′＝－a＝2，
∴a＝－2.
15．(5分)点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(　　)
A． B．∪
C． D．
B　解析：∵y′＝3x2－1≥－1，∴tan α≥－1.
∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
16.(5分)y＝sin2x·cos3x的导数是________________________．
2cos2xcos3x－3sin2xsin3x　解析：y′＝(sin2x)′·cos3x＋sin2x·(cos3x)′
＝2cos2x·cos3x－3sin2x·sin3x.
17.(5分)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
2　解析：因为y′＝α·xα－1，
所以在点(1,2)处的切线斜率k＝α，
则切线方程为y－2＝α(x－1)．
又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.
18.(5分)直线y＝x＋b能作为下列函数y＝f(x)的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)
①f(x)＝；
②f(x)＝ln x；
③f(x)＝sinx；
④f(x)＝－ex.
②③　解析：①f′(x)＝－<0，②f′(x)＝，
③f′(x)＝cosx，④f′(x)＝－ex<0.
由此可知，y＝x＋b可作为函数②③的切线.
19.(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝x－sin·cos；
(2)y＝·cosx.
解：(1)∵y＝x－sin·cos＝x－sinx，
∴y′＝1－cosx.
(2)y′＝′＝′cosx＋(cosx)′
＝(x－)′cosx－sinx＝－x－cosx－sinx
＝－－sinx
＝－.
20.(10分)求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点处切线的倾斜角．
解：令y＝ln u，u＝2x＋3，
则y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝.
当x＝－时，y′x＝＝1，即在处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为.
重难强化训练(三)
导数的概念及运算
(60分钟　120分)
练易错
易错点1| 混淆直线是曲线“在某点”与“过某点”的切线
[防范要诀]
曲线“在某点”处的切线是以该点为切点的直线，它只有一条；“过某点”的切线，该点一定在直线上，但不一定在曲线上，作出的切线也不止一条．
[对点集训]
1．(5分)曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为(　　)
A．y＝－3x＋3
B．y＝－3x＋1
C．y＝－3
D．x＝2
C　解析：因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y－(－3)＝0×(x－2)，即y＝－3.
2．(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(　　)
A．9 B．6
C．－9 D．－6
D　解析：y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
易错点2| 用错导数公式或运算法则
[防范要诀]
1．幂函数y＝xα与指数函数y＝ax的形式相近，导数公式却有很大区别，解题时易混淆导致计算错误．
2．导数乘法与除法法则形式较特别，使用时一定记清形式与符号，以免出错．
[对点集训]
3．(5分)若f′(x)＝，则函数f(x)可以是(　　)
A． B．
C．x－3 D．ln x
A　解析：′＝＝；
′＝－；′＝－x－4；(ln x)′＝.
4．(5分)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)
A．2e B．e
C．2 D．1
C　解析：由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C．
5.(5分)曲线y＝2x在(0,1)处的切线方程为________．
y＝xln 2＋1　解析：∵y′＝2xln 2，∴y′|x＝0＝20ln 2＝ln 2＝k，
∴切线方程为y－1＝ln 2(x－0)，即y＝xln 2＋1.
易错点3| 对复合函数求导时因层次不清致误
[防范要诀]
1．对较复杂函数求导时，先判断该函数是否为复合函数．
2．若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清内层函数和外层函数，合理换元．
[对点集训]
6．(5分)设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于(　　)
A．0 B．60
C．－1 D．－60
B　解析：∵f′(x)＝10(1－2x3)9·(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，
∴f′(1)＝－60·12·(1－2×13)9＝60.
7．(5分)函数y＝cos2x＋sin的导数为(　　)
A．－2sin2x＋
B．2sin2x＋
C．－2sin2x＋
D．2sin2x－
A　解析：y′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′
＝－2sin2x＋cos·.
练疑难
8．(5分)函数f(x)＝2x2＋3在下列区间上的平均变化率最大的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．[1,1.5] B．[1,2]
C．[1,3] D．[1,1.05]
C　解析：平均变化率为＝，把数据代入可知选C．
9．(5分)运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为(　　)
A．281 B．58
C．85 D．10
B　解析：∵s′＝6t－2，当t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
10．(5分)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
A　解析：∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝1.
∴切线方程为y＝x－1.
11．(5分)若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
A　解析：∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，∴k1＝4.
∵y′＝4x3，令4x3＝4得x＝1，∴切点为(1,1)，
∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
12．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
D　解析：∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.
令x＝2得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，
∴f′(2)＝－.
13．(5分)函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 020)－f′(－2 020)＝(　　)
A．0 B．2 014
C．2 015 D．8
D　解析：∵f′(x)＝acosx＋3bx2，
∴f′(－x)＝acos(－x)＋3b(－x)2＝f′(x)，
∴f′(x)是偶函数，
∴f′(2 020)－f′(－2 020)＝0，f(2 019)＋f(－2 019)＝asin2 019＋b·2 0193＋4＋asin(－2 019)＋b·(－2 019)3＋4＝8.
∴f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 020)－f′(－2 020)＝8.
14．(5分)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵y′＝＝≥－1.
即－1≤tan α<0，∴≤α<π.
15.(5分)若函数f(x)＝－2exsinx，则f′(x)＝________.
－2ex(sinx＋cosx)　解析：f′(x)＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx).
16.(5分)已知f(x)＝eπxsinπx，则f′＝________.
πe　解析：∵f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx)，
∴f′＝πe＝πe.
17.(5分)曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
　解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，f′(x)＝2x－3，令f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，代入曲线方程得y0＝－，
∴P.
18.(10分)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，求a的值．
解：∵y′＝1＋，y′|x＝1＝2，
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
又∵直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时，曲线变为直线y＝2x＋1，与已知直线平行)，由消去y得ax2＋ax＋2＝0，由Δ＝a2－8a＝0得a＝8.
19.(12分)求过曲线y＝cosx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.
曲线在点P处的切线斜率是
y′|x＝＝－sin＝－.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为.
∴所求直线方程为y－＝.
即2x－y－＋＝0.
20.(13分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得
故f(x)＝x－.
(2)证明：设点P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线上点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为··|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

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