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5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
素养目标 学科素养
1.理解导数与函数单调性的关系．(重点)2．掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法．(重点)3．掌握利用导数求函数单调区间的方法．(难点)4．理解函数图象与其导函数图象之间的关系．(重点、难点) 1.数学抽象；2．逻辑推理；3．直观想象；4．数学运算
情境导学
研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性，能否用导数研究函数的单调性呢？
1．函数的单调性与其导数的关系
(1)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．
(2)判断函数y＝f(x)的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
2．导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
对于函数y＝f(x)，
(1)在区间I上，若f′(x)<0，则f(x)在I上单调递减．(√)
(2)在区间I上，若f(x)是单调递增的，则f′(x)>0.(　　)
×　提示：f′(x)＝0也有可能，如y＝x3.
(3)函数f(x)在(a，b)内变化得越快，其导数就越大．(　　)
×　提示：f(x)在(a，b)内变化得越快，说明其导数的绝对值越大．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则在区间(1,3)内，
有(　　)
A．f′(x)>0 B．f′(x)<0
C．f′(x)＝0 D．f′(x)的符号不确定
B　解析：在区间(1,3)内，函数y＝f(x)的图象是下降的，函数单调递减，所以f′(x)<0.
2．已知函数f(x)＝xln x的定义域是(0,1)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是增函数
B．函数f(x)在内是减函数，在内是增函数
C．函数f(x)是减函数
D．函数f(x)在内是增函数，在内是减函数
B　解析：f′(x)＝ln x＋1，当x∈(0,1)时，令f′(x)>0，解得x>.故x∈时，f(x)是减函数；x∈时，f(x)是增函数．
3．函数y＝3x－x3的单调增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
C　解析：y′＝3－3x2，令y′>0，得－14．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间为(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1)和(2，＋∞)
A　解析：f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)<0，得1【例1】(1)函数y＝x＋ln x的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)，(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(－1,1)
(2)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．
(1)A　解析：函数y＝x＋ln x的定义域为(0，＋∞)，
∵y′＝(x＋ln x)′＝1＋，
又x>0，∴y′>0恒成立．
∴y＝x＋ln x的单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝.　
①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a>0，由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
1．判断函数的单调性或求函数单调区间时，应先确定函数的定义域，忽视定义域研究单调性与单调区间是无意义的．
2．如果函数单调区间不唯一，中间应用“，”或“和”隔开，不可用“∪”连接．
3．在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f′(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，不是充要条件．即利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．
1．下列函数中，在区间(－1,1)内是减函数的是(　　)
A．y＝2－3x2 B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝sinx
C　解析：对于A，y′＝－6x，在(－1,0)上，y′>0，在(0,1)上，y′<0；
对于B，函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，在(－1,0]上无意义，故不符合题意；
对于D，y′＝cosx，x∈(－1,1)时，y′>0，故A，B，D均不符合题意；
对于C，当x∈(－1,1)时，y′＝－<0，故选C．
2．求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
解：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝.由f′(x)>0得>0.又x>0，解得x>.由f′(x)<0得<0，解得0【例2】设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，错误的是(　　)
D　解析：对于A，若曲线C1为函数f(x)的图象，由于函数在(－∞，0)内是单调递减的，所以f′(x)<0，因此f′(x)的图象在x轴的下方；又函数在(0，＋∞)内是单调递增的，因此f′(x)>0，故f′(x)的图象在x轴的上方，因此A符合题意．
同理，B，C中若C2为f(x)的图象，C1为f′(x)的图象也符合题意．
对于D，若曲线C1为函数f′(x)的图象，则函数f(x)在(－∞，＋∞)内是单调递增的，与曲线C2不相符；若曲线C2为函数f′(x)的图象，则函数f(x)在(－∞，＋∞)内是单调递减的，与曲线C1不相符．
解决函数与其导函数的图象关系问题时，要抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点观察其图象在哪个区间内上升或下降，而对于导函数，则应观察其函数值在哪个区间内大于零、小于零，并且这些区间与原函数的单调区间是否一致．
若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
A　解析：A，B，C，D图象均为增函数，故导函数是大于0的，但由题中叙述知导函数在[a，b]上是增函数，说明原函数y＝f(x)的图象越来越“陡峭”，A选项符合．
探究题1　若函数f(x)＝x3－ax－1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围．
解：由已知得f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，
∴只要a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增．
故a的取值范围为(－∞，0]．
探究题2　若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上单调递减，求实数a的取值范围．
解：f′(x)＝3ax2＋6x－1，
依题意知3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立．
显然当a＝0时不满足题意．
因此解得a≤－3.
而当a＝－3时，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1＝－33＋在R上单调递减．
故a的取值范围为(－∞，－3]．
探究题3　若函数f(x)＝在区间(m，4m－1)内单调递增，求实数m的取值范围．
解：函数定义域为R，
f′(x)＝，
令f′(x)>0，得－2即f(x)的增区间为(－2，2)．
又f(x)在区间(m,4m－1)内单调递增，
∴解得故实数m的取值范围是.
1．已知函数单调性求参数取值范围，若参数在函数解析式中，则可转化为不等式恒成立问题求解．一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(递减)，那么等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围．在利用这种方法求解时，还应注意，得到参数的取值范围后，要验证等号是否成立．
2．已知函数单调性求参数取值范围，如果参数出现在区间的端点中，那么可以先求出函数的单调区间，再令给定区间是函数相应单调区间的子区间，建立关于参数的不等式，从而求出参数取值范围．
1．若函数f(x)＝2－在(0，＋∞)内单调递增，求实数a的取值范围．
解：∵f′(x)＝，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，
∴f′(x)＝≥0在(0，＋∞)内恒成立，即2a≥0，
∴a≥0.
但当a＝0时，f(x)＝2是常数函数，在(0，＋∞)内不是单调递增的，不符合题意，故实数a的取值范围是(0，＋∞)．
2．若函数f(x) ＝x3－ax－1在(1,2)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：∵f′(x)＝3x2－a，f(x)在(1,2)上是增函数，
∴3x2－a≥0在(1,2)上恒成立，即a≤3x2在(1,2)上恒成立．
∵3x2≥3，∴a≤3，
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3在(1,2)上不恒等于0，
∴a＝3符合题意．
故a的取值范围为(－∞，3]．
1．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
B　解析：对函数y＝x2－ln x求导，得y′＝x－＝(x>0)．
令解得x∈(0,1]．
因此函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(0,1]．故选B．
2．函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(－2,2)
C　解析：∵y＝x2(x－3)＝x3－3x2，∴y′＝3x2－6x.
令3x2－6x＜0，得0＜x＜2，故函数的单调递减区间是(0,2)．故选C．
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sinx
B．y＝ex－x
C．y＝x3－x
D．y＝ln x－x
B　解析：选项A，y＝sinx显然在(0，＋∞)内不是增函数；选项B，y＝ex－x，则y′＝ex－1>0在x∈(0，＋∞)时恒成立，所以y＝ex－x在(0，＋∞)内是增函数；选项C，y＝x3－x，y′＝3x2－1＝3，当x∈时，y′<0，此时函数单调递减，所以错误；选项D，y＝ln x－x，y′＝－1＝，当x∈(1，＋∞)时，y′<0，此时函数单调递减．故选B．
4．若函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数y＝f′(x)的图象有可能是(　　)
A　解析：由f(x)的图象可知：在(－∞，0)上，f(x)单调递减，所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故选A．
5．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数f′(x)>0，若f(a2－5a)≤f(－6)，则实数a的取值范围为________．
[2,3]　解析：由f′(x)>0，得f(x)在R上为增函数，由f(a2－5a)≤f(－6)，得a2－5a≤－6，即a2－5a＋6≤0，解得2≤a≤3.
6．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，求：
(1)函数y＝f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)f(x)的单调递减区间．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，f′(0)＝9，f(0)＝－2，所以切点为(0，－2)，
∴切线方程为y＝9x－2，即9x－y－2＝0.
(2)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．
1．利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几个方面：
①f′(x)>0是f(x)递增的充分不必要条件(f′(x)<0亦是如此)；
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集；
③在证明不等式时，可以构造函数确定其定义域，再利用求导的方法求最值来证明．
2．已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求函数解析式中参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验端点处的参数值能否使f′(x)恒等于零．若恒等于零，则应舍去这个参数的值；若f′(x)不恒等于零，则其符合题意．
课时分层作业(十七)
函数的单调性
(60分钟　110分)
知识点1　利用导数判断函数的单调性或求单调区间
1．(5分)已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为(　　)
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
D．f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增
C　解析：因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故选C．
2．(5分)函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．
D．(1，＋∞)
C　解析：∵y′＝8x－(x≠0)，令y′>0，即8x3－1>0，∴x>.
∴原函数的单调递增区间是.
3．(5分)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
B　解析：该函数的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－≤0，得04．(5分)若在区间[a，b]内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
A　解析：由f′(x)>0，得f(x)在(a，b)上是增函数．
∴当x∈(a，b)时，f(x)>f(a)≥0.
知识点2　函数图象与其导函数图象之间的关系
5．(5分)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
A　解析：对于A，随着x的递增y＝f′(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零，反映在函数y＝f(x)的图象上，即得y＝f(x)的单调性变化情况为增、减、增、减，区间端点也大致吻合，故A正确．
6．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是(　　)
A　解析：由f′(x)的符号易判断选A．
7．(5分)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
D　解析：从f′(x)的图象可以看出，在大致区间内是单调递增的，在内是单调递减的，所以原函数f(x)的图象应在内越来越陡，在内越来越平缓，只有D选项吻合．
知识点3　由函数的单调性求参数的范围
8．(5分)函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)
A．a＝
B．a＝1
C．a＝2
D．a≤0
D　解析：∵y′＝3ax2－1，
又函数在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴y′≤0恒成立，∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1，满足题意．故a≤0.
9．(5分)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，则下列各式中成立的是(　　)
A．a>0，b2＋3ac≥0
B．a>0，b2－3ac≤0
C．a<0，b2＋3ac≥0
D．a<0，b2－3ac≤0
D　解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．
∵函数在(－∞，＋∞)上为递减的，
∴f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．
∴a<0且Δ＝4b2－12ac≤0，
即b2－3ac≤0.
10．(5分)若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．(－∞，2]
A　解析：根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞).
11.(5分)函数f(x)＝x3－ax＋1既有单调递增区间，又有单调递减区间，则a的取值范围是________．
(0，＋∞)　解析：∵f′(x)＝3x2－a，由条件知f′(x)＝0需有两个不等实根，∴a>0.
12.(5分)如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上(　　)
A．没有单调性 B．无法确定单调性
C．是增函数 D．是减函数
C　解析：∵y′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
又x>0，f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0.
∴函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数．
13．(5分)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)·(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2)
D．[2，＋∞)
B　解析：令k≤0得x0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单调递减区间为(－∞，2]．
14．(5分)已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)
A．f(2)C．f(3)A　解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝＋，
且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
又∵215．(5分)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是(　　)
C　解析：当0∵xf′(x)<0，∴f′(x)<0，
∴y＝f(x)在(0,1)上为减函数；
当x>1时，
∵xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，只有C项吻合.
16.(5分)若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．
－75　解析：∵f′(x)＝3x2＋a，且f′(x)<0的解为－5∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.
17.(10分)已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值范围．
解：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，
则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，
解得－1≤b≤2，
由题意知y′≥0不恒成立，
故b<－1或b>2，
所以b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
18.(10分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．
解：由已知得a>在(1，＋∞)内恒成立，
设g(x)＝，则g′(x)＝－<0(x>1)．
∴g(x)在(1，＋∞)内递减，∴g(x)∵g(1)＝1，∴<1在(1，＋∞)内恒成立．
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞).
19.(10分)讨论函数f(x)＝loga(3x2＋5x－2)(a>0，且a≠1)的单调性．
解：∵函数f(x)＝loga(3x2＋5x－2)的定义域为(－∞，－2)∪，
又f′(x)＝·(6x＋5)＝，
∴①若a>1，则当x>时，logae>0,6x＋5>0，
(3x－1)(x＋2)>0，
∴f′(x)>0，函数f(x)在上是增函数；
当x<－2时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，－2)上是减函数．
②若0时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在上是减函数；
当x<－2时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(－∞，－2)上是增函数．

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