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5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
素养目标 学科素养
1.了解极值、极值点的概念．(重点)2．理解函数在某点取得极值的条件．(难点)3．掌握求函数极值的方法步骤．(重点) 1.数学抽象；2．直观想象；3．数学运算
情境导学
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点．在数学上，如何刻画这种现象呢？
1．极值点与极值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；
而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　)
×　提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行．(　　)
×　提示：切线不一定与x轴平行．
(3)函数f(x)＝无极值．(√)
1．关于函数的极值，下列说法正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数
D　解析：对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错误；极小值也可能大于极大值，故B错误；C显然错误．
2．函数f(x)＝－x3＋3x＋1有(　　)
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值1
D．极小值－1，极大值3
D　解析：f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0可得x1＝1，x2＝－1，极大值f(1)＝3，极小值f(－1)＝－1.
3．函数y＝2x3－x2的极大值为(　　)
A．0 B．－9
C．0， D．
A　解析：y′＝6x2－2x，令y′＝0，得x＝0或x＝.因为当x∈(－∞，0)时，y′>0；当x∈时，y′<0，故x＝0是极大值点，则极大值为y＝0.
4．函数y＝＋ln x(　　)
A．有极小值y＝0，无极大值
B．有极小值y＝1，无极大值
C．仅有极大值y＝1
D．无极值
B　解析：由y′＝－＋＝0，得x＝1，易判断x＝1为极小值点，此时极小值y＝1.
5．若函数y＝x3＋x2＋ax在R上无极值点，则实数a的取值范围是________．
[1，＋∞)　解析：y′＝x2＋2x＋a，
由题意Δ＝4－4a≤0，
∴a≥1.经验证，当a＝1时，符合．故a≥1.
【例1】求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝ln x－x2.
解：(1)∵f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
　∴当x＝－1时，函数f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
(2)f′(x)＝－x，解方程f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1.又函数的定义域是(0，＋∞)，故x2＝－1舍去．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
由表可知，x＝1为函数f(x)＝ln x－x2的极大值点，函数在该点的极大值为f(1)＝－.
函数f(x)＝ln x－x2不存在极小值．
1．讨论函数的性质时，要把握定义域优先的原则，如本例(2)中若忽略了定义域，则极值容易求错．
2．利用导数求函数的极值时，常列表判断导数值为0的点x0的左、右两侧的导数值是否异号．若异号，则f(x0)是极值；否则，f(x0)不是极值．利用表格可使极值两边的增减性一目了然．
求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－x2－x＋1；
(2)y＝2x＋.
解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1，解方程f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
由上表可知，x1＝－为函数f(x)＝x3－x2－x＋1的极大值点，函数在该点的极大值为f＝；x2＝1为函数f(x)＝x3－x2－x＋1的极小值点，函数在该点的极小值为f(1)＝0.
(2)函数的定义域为x∈R且x≠0，
又y′＝2－.令y′＝0，得x＝±2.
当x变化时，y′，y的变化情况如表：
x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
y′ ＋ 0 － － 0 ＋
y ? 极大值 ? ? 极小值 ?
因此当x＝－2时，y极大＝－8，
当x＝2时，y极小＝8.
【例2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4在x＝1处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的另一个极值．
解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
依题意可得f′(1)＝0，f(1)＝，
即解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋4，
f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
令f′(x)＝0得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
　所以函数的另一个极值在x＝－处取得，是极大值，极大值为f＝.
根据函数极值的定义可知，如果一个函数是可导函数，那么在极值点处的导数必然为零，即对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件．其充分条件是这点两侧的导数异号，当可导函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解．但导数值为0的点不一定是极值点．
已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．
解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意可知x＝±1是f′(x)＝0的两个根，故5a＝3b.
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)．
(1)当a>0时，列表如下：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 无极值 ? 极小值 ?
由表可知
又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2.
(2)当a<0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
探究题1　已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(x)＝3x2－3a，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
要使直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3，1)．
探究题2　已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
(1)解：由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则x＝1是f(x)的极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝.
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝
＝，
当x>1时，F′(x)<0，
故F(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．
又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．
极值问题的综合运用主要涉及极值的正用和逆用，根据函数的极值画函数图象，以及函数的单调性问题．注意已知与未知的转化以及函数与方程、分类讨论思想在解题中的应用，解题的关键是掌握求单调区间和极值的基本解题策略．
设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小植 ?
所以f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知x取足够大的正数时有f(x)>0，x取足够小的负数时有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
因此若y＝f(x)与x轴仅有一个交点，应有＋a<0或a－1>0.
所以当a∈∪(1，＋∞)时，
曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
1．(多选)对于函数y＝f(x)，下列说法正确的是(　　)
A．函数的极值不能在区间端点处取得
B．若f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)＝0是y＝f(x)在某一区间存在极值的充分条件
C．极小值不一定小于极大值
D．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在区间(a，b)内不单调
ACD　解析：A．函数的极值不能在区间端点处取得，故该选项是正确的；B．若f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)＝0是y＝f(x)在某一区间存在极值的非充分条件，如函数f(x)＝x3，此时f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但是函数f(x)＝x3是R上的增函数，所以x＝0并不是函数的极值点，故该选项是错误的；C．极小值不一定小于极大值，故该选项是正确的；D．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在区间(a，b)内不单调，故该选项是正确的．故选ACD．
2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2
C．f(x)＝xe－x D．f(x)＝x＋
D　解析：A．f(x)＝x3，由函数的图象得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误；B．f(x)＝x2，由函数的图象得函数是偶函数，故该选项错误；C．f(x)＝xe－x，f(－x)＝(－x)ex≠－f(x)，所以该函数不是奇函数，故该选项错误；D．f(x)＝x＋，f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，所以该函数是奇函数，由函数图象得函数在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(－，0)，(0，)上是减函数，所以函数存在极值．故该选项是正确的．故选D．
3．下列说法正确的是(　　)
A．当f′(x0)＝0时，则f(x0)为f(x)的极大值
B．当f′(x0)＝0时，则f(x0)为f(x)的极小值
C．当f′(x0)＝0时，则f(x0)为f(x)的极值
D．当f′(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，必有f′(x0)＝0
D　解析：令f(x)＝x3，f′(x0)＝0，但f(0)不是极值，所以选项A，B，C错误．若函数可导，极值点处的导数一定是0，故选D．
4．(多选)已知函数f(x)＝x2－1，则f(x)有(　　)
A．极小值－1 B．极大值－1
C．极小值点0 D．极大值点－1
AC　解析：函数f(x)＝x2－1，则f′(x)＝2x.
令f′(x)＝0，解得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0，则f(x)＝x2－1在x<0时单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，则f(x)＝x2－1在x>0时单调递增．所以f(x)＝x2－1在x＝0处取极小值，极小值为f(0)＝0－1＝－1.故选AC．
5．函数f(x)＝x＋2cosx在[0，π]上的极小值点为(　　)
A．0 B．
C． D．π
C　解析：令y′＝1－2sinx＝0，x∈[0，π]，得x＝或x＝，故y＝x＋2cosx在区间上是增函数，在区间上是减函数，在是增函数．所以是函数的极小值点．故选C．
6．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝1处取得极小值，求f(x)的极大值．
解：因为f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，所以f′(x)＝3x2－4cx＋c2＝3(x－c).由f′(x)＝0，解得x＝c或x＝.依题意，1是f′(x)的较大零点，所以c＝1，所以当x＝时，f(x)取得极大值f＝2＝.
1．利用导数求函数极值的主要步骤：
求y＝f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断f′(x)在各根左右两侧的符号，进一步确定函数的极值．如果在点x0两侧的单调性相反，则x0为极值点，否则x0不是极值点．
2．可导函数的极值点一定是导数为零的点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数异号．
3．一般地，列表分析x，y′，y的变化情况是求极值的有效方法，也可画出导函数图象判断极值情况．
课时分层作业(十八)
函数的极值
(60分钟　90分)
知识点1　函数极值的概念与求法
1．(5分)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是(　　)
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
D　解析：当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；
当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.
故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．
2．(5分)下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.
在x＝0处取得极小值的有(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
B　解析：作出各函数的图象，由极值的定义可知函数y＝x2＋1，y＝|x|在x＝0处取得极小值．
3．(5分)函数y＝x＋(－2A．－2 B．2
C．－ D．不存在
A　解析：y′＝1－＝.令y′＝0得x＝－1.
在(－2，－1)上，y′>0；在(－1,0)上，y′<0，故函数在x＝－1处取得极大值－2.
4．(5分)函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
B　解析：f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
当x＝时，f(x)有极小值f＝.故选B．
5．(5分)设函数f(x)＝x·ex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D　解析：f′(x)＝ex(x＋1)．令f′(x)＝0，则x＝－1，且当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点．
知识点2　与函数极值有关的参数问题
6．(5分)若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)
A．a＝－2，b＝4
B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3
D．a＝2，b＝－4
B　解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x＝－2与x＝4，则解得
7.(5分)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
3　解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意.
8.(5分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞)　解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为原函数既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不同的实根，即(6a)2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.
9.(5分)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
－19　解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，
易知当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
知识点3　函数极值的综合问题
10.(10分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并讨论方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根，何时有唯一的实根(其中a>0)．
解：函数的定义域为R，其导函数为y′＝3x2－3a.
由y′＝0可得x＝±，列表讨论如下：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由此可得，函数在x＝－处取得极大值2＋2a；在x＝处取得极小值2－2a.
根据列表讨论，可作函数的草图(如图)．
因为极大值f(－)＝2＋2a>0，故当极小值f()＝2－2a<0，即a>1时，方程x3－3ax＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f()＝2－2a>0，即011.(5分)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于(　　)
A． B．－
C．－ln 2 D．ln 2
B　解析：f′(x)＝2x＋x·2xln 2＝2x(1＋xln 2)，
由已知f′(x0)＝0得2x0(1＋x0ln 2)＝0，
即1＋x0ln 2＝0，∴x0＝－.
12．(5分)已知三次函数，当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
B　解析：由已知三次函数过原点可设y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
又由已知可得
解得
故函数为y＝x3－6x2＋9x.
13.(5分)若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．
32　解析：f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)·(3x－m)．
令f′(x)＝0，则x＝m或x＝，
由题设知m＝2或m＝6.
当m＝2时，极大值点为x＝，与题意不符；
当m＝6时，极大值为f(2)＝32.
14.(5分)函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有三个不同的交点，则a的取值范围是________．
(－2,2)　解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.
y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象得当－215.(5分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．
①当x＝时，函数取得极小值；
②函数有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
①　解析：从图象上可以看到：
当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时，函数取得极小值；当x＝1时，函数取得极大值．
只有①不正确.
16.(10分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
∵当x>或x<－时，f′(x)>0；
当－∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
∵x>1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴g(x)>g(1)＝－3.
∴k的取值范围是(－∞，－3]．

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