资源简介

第2课时　函数的最大(小)值
素养目标 学科素养
1.了解函数最大值、最小值的定义．(重点)2．理解导数与函数最值的关系．(难点)3．掌握利用导数求函数最值的方法．(重点、难点)4．掌握利用导数解决实际问题中的求最大(小)值的方法．(难点) 1.数学抽象；2．直观想象；3．数学运算；4．数学建模
情境导学
蓝鲸是一种海洋哺乳动物，是地球上现存的体积最大的动物，长可达33米，重达181吨．有一种代号为H39的原生动物，其最大直径长0.3微米，估计将1 000万亿个这种原生动物放在一起，才不过1克重，是目前地球上最小的动物．动物有大小，函数也有最大值与最小值，函数的最大(小)值与导数有什么关系呢？
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．函数在区间[a，b]上最值的求法
一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数的极大值一定是函数的最大值．(×)
(2)开区间上的单调连续函数无最值．(√)
(3)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(×)
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．在闭区间上图象连续的函数一定存在最值
D　解析：根据最值的概念与求法可知，连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最值，最值可能是极值或端点值f(a)，f(b)，具体要根据大小来判断其是最大值，还是最小值．
2．函数f(x)＝x3－3x＋3在[－3,3]上的最小值为(　　)
A．1 B．5
C．12 D．－15
D　解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝±1，且f(1)＝1，f(－1)＝5，f(－3)＝－15，f(3)＝21.故选D．
3．函数f(x)＝2x－cosx在R上(　　)
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
A　解析：f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，故f(x)在R上单调递增，无极值，也无最值．
4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在[－1,1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．4
C　解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)．比较f(0)，f(－1)，f(1)的大小可知f(x)max＝f(0)＝2.
5．已知f(x)＝－x3＋3x2＋m在[－2,2]上的最小值为1，则实数m＝________.
1　解析：f′(x)＝－3x2＋6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x∈(－2,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,2)时，f′(x)>0.∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值，f(0)＝m＝1.
【例1】求下列函数的最值．
(1)f(x)＝2sinx－x，x∈；(2)f(x)＝(x2－3)ex.
解：(1)f′(x)＝2cosx－1，x∈，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表知，x＝为极大值点，x＝－为极小值点，
f＝－，f＝－＋，
f＝2－，f＝－2＋.
通过比较知，
f(x)max＝－，f(x)min＝－＋.
(2)函数的定义域是R，且f′(x)＝2x·ex＋(x2－3)ex＝ex(x2＋2x－3)．令f′(x)>0，得x>1或x<－3；令f′(x)<0，得－3又由f(x)>0，得x>或x<－；由f(x)<0，得－从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)＝－2e，而函数无最大值．
1．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法：
(1)求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)计算函数f(x)在区间(a，b)内使得f′(x)＝0的所有点以及端点的函数值f(a)与f(b)；
(3)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．
2．求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
求下列函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2－10，x∈[－1,1]；
(2)f(x)＝.
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,1) 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －14 ? 极大值－10 ? －12
所以当x＝－1时，函数取最小值f(－1)＝－14；当x＝0时，函数取最大值f(0)＝－10.
(2)f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.容易验证函数在x＝－1处取得极小值，在x＝3处取得极大值．又因为当x＝1时，y＝0；当x<1时，y<0；当x>1时，y>0.据此可以画出函数的大致图象，如图所示．
由图象可知，函数的最大值等于f(3)＝＝，最小值为f(－1)＝＝－.
【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x [－1,0] 0 (0,2]
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 最大值 ?
∴当x＝0时，f(x)取得最大值，∴b＝3.
又∵f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
f(－1)>f(2)，
∴当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x [－1,0) 0 (0,2]
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 最小值 ?
　∴当x＝0时，f(x)取得最小值，∴b＝－29.
又∵f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)，∴当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
(1)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值．结合已知求出参数，进而使问题得以解决．要注意极值点是否在区间内．
(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解．
设解：f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a.根据x1，x2列表，分析f′(x)的符号和函数f(x)的单调性.
x －1 (－1,0) 0 (0，a) a (a,1) 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) b－1－a ? b ? b－ ? 1－a＋b
由表可知，f(x)的极大值为f(0)＝b，极小值为f(a)＝b－.
∵f(0)>f(a)，f(－1)f(0)－f(1)＝a－1>0，
∴f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
∵f(－1)－f(a)＝(a3－3a－2)＝(a＋1)2·(a－2)<0，
∴f(x)的最小值为f(－1)＝b－1－a＝－a＝－，∴a＝.
综上可知，a＝，b＝1.
【例3】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (0,1) 1 (1,2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) ? 极大值1－m ?
∴g(t)在(0,2)上有最大值，g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)上恒成立，等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0，所以m的取值范围为(1，＋∞)．
有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题，确定这个函数，要看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．
设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求l的方程．
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．
(1)解：设f(x)＝，则f′(x)＝，
所以f′(1)＝1，所以l的方程为y＝x－1.
(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0( x>0，x≠1)，g(x)满足g(1)＝0.
且g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0故g(x)单调递减；
当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，
故g(x)单调递增．
所以，g(x)>g(1)＝0( x>0，x≠1)，
所以除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．
探究题1　请设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图)．试问：当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为x m，则1由题设可得正六棱锥底面边长为＝，
故底面正六边形的面积为
6××()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3)，　
求导得V′(x)＝(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)或x＝2.
当10，V(x)为增函数；
当2故当x＝2时，V(x)最大，且最大值V(2)＝16.
所以当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16m3.
探究题2　某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的利益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(单位：百万元)时，每投入x(单位：百万元)广告费，增加的销售额可近似地用函数y3＝－2x2＋14x(单位：百万元)来计算；每投入x(单位：百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似地用函数y1 ＝－x3＋2x2＋5x(单位：百万元)来计算．现该公司准备共投入3(单位：百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司的销售额最大．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告投入为(3－x)百万元，则广告投入带来的销售额增加值为[－2(3－x)2＋14(3－x)]百万元，技术改造投入带来的销售额增加值为百万元，∴投入带来的销售额增加值F(x)＝－2(3－x)2＋14(3－x)－x3＋2x2＋5x.整理上式，得F(x)＝－x3＋3x＋24.
F′(x)＝－x2＋3，令F′(x)＝0，
解得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈[0，)时，F′(x)>0；
当x∈(，3]时，F′(x)<0.
∴当x＝≈1.73时，F(x)取得最大值．
∴当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，该公司的销售额最大．
1．求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题．解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式，能够依据题意确定出自变量的取值范围，建立准确的函数关系式，然后利用导数的方法加以解决．必要时，可选择建立坐标系，通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程，以便于问题的解决．
2．利用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)．常见的基本等量关系如下：
(1)利润(收益)＝收入－成本；
(2)利润(收益)＝每件产品的利润(收益)×销售量．
某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注．有关统计数据显示，从上午6时到12时，车辆通过该市某一路段的用时y(单位：min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示：y＝
求在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻．
解：当6≤t<9时，y′＝－t2－t＋36＝－(t2＋4t－96)＝－(t＋12)(t－8)．
令y′＝0，得t1＝－12(舍去)，t2＝8.
当6≤t<8时，y′>0；当8所以当t＝8时，y有最大值，ymax＝18.75.
当9≤t≤10时，y＝＋是增函数，
所以当t＝10时，y有最大值，ymax＝15.
当10所以当t＝11时，y有最大值，ymax＝18.
综上所述，通过该路段用时最多的时刻为上午8时．
1．函数f(x)＝(1＋x)ex有(　　)
A．最大值为e－2 B．最大值为e－1
C．最小值为－e2 D．最小值为－e－2
D　解析：f′(x)＝(1＋x)ex＋ex＝(x＋2)ex.
当x<－2时，f′(x)<0；当x>－2时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增．
所以f(x)有最小值，为f(－2)＝－e－2.故选D．
2．(多选)函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的(　　)
A．最大值为5
B．极大值为5
C．最小值为－15
D．极小值为－15
ACD　解析：f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2，所以当x∈[0,2]时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x∈(2,3]时，f′(x)>0，即f(x)为增函数．所以f(x)min＝f(2)＝－15.又f(0)＝5，f(3)＝－4，所以f(x)max＝f(0)＝5.故选ACD．
3．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是(　　)
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值，又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的奇函数
D　解析：因为f′(x)＝x＋sinx，依题意可知该函数的定义域为[－1,1]，关于原点对称，且f′(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sinx＝－f′(x)，所以函数f′(x)为奇函数．另一方面f″(x)＝1＋cosx，因为－1≤x≤1，所以01，故f′(x)在[－1,1]上单调递增，最大值为f′(1)＝1＋sin1，最小值为f′(－1)＝－1－sin1.故选D．
4．函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是(　　)
A．1＋ B．1
C．e＋1 D．e－1
D　解析：因为当x∈[0,1]时，f′(x)＝ex－1≥0恒成立，所以f(x)＝ex－x在[0,1]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(1)＝e－1.故选D．
5．已知函数f(x)＝x3－3ax－1在x＝－1处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)当x∈[－2,1]时，求函数f(x)的最小值．
解：(1)因为f(x)＝x3－3ax－1，所以f′(x)＝3x2－3a.又函数f(x)＝x3－3ax－1在x＝－1处取得极值，所以有f′(－1)＝0，即3(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
(2)由(1)可知：f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，又f(－2)＝(－2)3－3×(－2)－1＝－3，f(1)＝13－3×1－1＝－3，故函数f(x)的最小值为－3.
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
4．生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法去分析问题．求实际问题的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系．
(2)列模型：列出实际问题的数学模型．
(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
(4)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(5)比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(6)结论：根据比较值写出答案．
课时分层作业(十九)
函数的最大(小)值
(60分钟　100分)
知识点1　求函数的最值
1．(5分)函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．f(1)，f(2) B．f(2)，f(5)
C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)
D　解析：f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2是极小值点，f(2)＝－3.又f(1)＝－2，f(5)＝6，
∴最大值是f(5)，最小值是f(2)．
2．(5分)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5在区间[－4,4]上的最大值是(　　)
A．10 B．－71
C．－15 D．－22
A　解析：f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x＝－1时，函数有极大值f(－1)＝10；x＝3时函数有极小值f(3)＝－22.而f(4)＝－15，f(－4)＝－71.所以最大值是f(－1)＝10.
知识点2　与最值有关的参数问题
3．(5分)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)
A．0≤a<1 B．0C．－1B　解析：∵f′(x)＝3x2－3a，f′(x)＝0有解，
∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴04.(5分)若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1　解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－0，f(x)单调递增．当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
5.(5分)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．
－37　解析：令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.
∵f(x)在(－2,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，
∴最大值为f(0)＝m＝3，∴f(x)＝2x3－6x2＋3.
又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，
∴此函数在[－2,2]上的最小值为－37.
知识点3　生活中的优化问题
6．(5分)某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时的年产量是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．100 B．150
C．200 D．300
D　解析：由题意，得总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．
7．(5分)某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　)
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
A　解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设堆料场的宽为x米，则长为米，因此新砌墙壁总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短.
8.(10分)如图，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
解：设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(8－2x)cm，宽为(5－2x)cm，
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大值＝V(1)＝18.
因为在定义域内仅有一个极大值，所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大．
9.(5分)如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1,3]上的最小值是－14，那么c＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
B　解析：令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，由f(－1)＝c－7，f(0)＝c，f(2)＝c－16，f(3)＝c＋9，得最小值为f(2)＝c－16＝－14.∴c＝2.
10．(5分)内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)
A．R B．2R
C．R D．R
C　解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，
∴r2＝2Rh－h2.
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3.
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；
当R故当h＝R时，圆锥体积最大．
11．(5分)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于M，N.则当|MN|最小时t的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
D　解析：由题意，设F(t)＝t2－ln t(t>0)．
令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－(舍去)．F(t)在上单调递减，在上单调递增，则t＝时，F(t)取最小值，即|MN|最小．
12．(5分)内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为(　　)
A．和R B．R和R
C．R和R D．以上都不对
B　解析：设矩形的宽为x，则长为2，则l＝2x＋4(0令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当00；
当R所以当x＝R时，l取得最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
13.(5分)函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为________．
　解析：y′＝1－2sinx．由y′≥0得0≤x≤；由y′<0得所以原函数在上递增，在上递减．故当x＝时，函数取得极大值，同时也是上的最大值.
14.(5分)当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是________．
[0，e]　解析：∵f′(x)＝′＝＝，x∈[－1,1]，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．
∵f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝，
∴函数f(x)＝，x∈[－1,1]的值域为[0，e].
15.(5分)已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
[e，＋∞)　解析：由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
16.(5分)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
4　解析：商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)．
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．
函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，
∴当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.
17.(15分)设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝2ax＋(a∈R)．
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)若a>－1，试判断f(x)在(0,1)上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a，使得当x∈(0,1)时，f(x)有最大值－6
解：(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)，f(－x)＝－2ax＋.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．
(2)a>－1时，f(x)在(0,1)上是增函数．证明如下：
f′(x)＝2a＋＝2.
∵a>－1，x∈(0,1)，>1，
∴a＋>0，即f′(x)>0.
∴a>－1时，f(x)在(0,1)上是增函数．
(3)由(2)知当a≥－1时，f(x)在(0,1]上单调递增．
由f(x)max＝f(1)＝－6得a＝－(不合题意，舍去)，
当a<－1时，令f′(x)＝0，得x＝.
列表如下：
x
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
可知f(x)max＝f＝－6，解得a＝－2.
此时x＝∈(0,1)．
∴存在a＝－2，使得f(x)在(0,1)上有最大值－6.
重难强化训练(四)
导数的应用(60分钟　100分)
练易错
易错点1| 忽视导数为零的情况致误
[防范要诀]
f′(x)>0 函数y＝f(x)为增函数，但反之，当函数y＝f(x)是增函数时，f′(x)≥0，此处常会因漏掉导数等于零的情况致误．
[对点集训]
1．(5分)函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
B　解析：y＝x＋xln x的定义域为(0，＋∞)，令y′＝2＋ln x<0，得02．(5分)若函数f(x)＝ax3－x是R上的减函数，则(　　)
A．a<0 B．a≤0
C．a< D．a≤
B　解析：f′(x)＝3ax2－1，
∵f(x)＝ax3－x在R上递减，
∴f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，故a≤0.
3．(5分)若f(x)＝x2＋ax＋在上递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
D　解析：f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x恒成立．
因为y＝－2x在内递减，所以y<3.故a≥3.
易错点2| 由极值求参数时因未检验致误
[防范要诀]
可导函数在x0处的导数为0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件，故已知极值求函数时，由f′(x)＝0求出的参数的值要进行检验，否则易出错．
[对点集训]
4．(5分)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，那么(　　)
A．a＝－3，b＝3
B．a＝4，b＝－11
C．a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11
D．以上均不正确
B　解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，
∴
∴或
经检验，当a＝－3，b＝3时，x＝1不是极值点，故a＝4，b＝－11.
5．(5分)函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．
C．(0，＋∞) D．(－∞，3)
B　解析：y′＝3x2－2a.要使函数在(0,1)内有极小值，必有a>0.令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±.当x<－时，y′>0；当－时，y′>0.故函数在x＝时取得极小值．令0<<1，得0练疑难
6．(5分)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是(　　)
A．f(x)在(－3,1)上单调递增
B．f(x)在(1,3)上单调递减
C．f(x)在(2,4)上单调递减
D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增
C　解析：由f(x)的增减性与f′(x)的正负之间的关系进行判断，当x∈(2,4)时，f′(x)<0，故f(x)在(2,4)上单调递减，其他判断均错．
7．(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x－9的两个极值点为x1，x2，则x1x2＝(　　)
A．9 B．－9
C．1 D．－1
D　解析：令f′(x)＝3x2＋2ax－3＝0，则x1，x2就是其两个根．由根与系数的关系知x1x2＝＝－1.
8．(5分)已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．－或－
C　解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不符合题意．当－19．(5分)函数f(x)＝x3－x2＋a，g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C． D．
A　解析：设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈(1,3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．当x＝3时，函数h(x)取得最小值．因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，则有 h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．
10．(5分)设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：设底面圆半径为r，高为h，则V＝πr2h.
∴h＝.
∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋.
∴S表′＝4πr－.令S表′＝0得，r＝.
又当r∈时，S表′<0；
当r∈时，S表′>0.
∴当r＝时，表面积最小．
11．(5分)设F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)
B．f(2)e2 016f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)C　解析：∵函数F(x)＝的导函数F′(x)＝
＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)故有f(2)同理可得f(2 016)12.(5分)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
(－∞，－1)和(0，＋∞)　(－1,0)　解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减.
13.(5分)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是________(填序号)．
①④　解析：从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，于是f′(x)<0，当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，故函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②③错误；由于f(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．故填①④.
14.(10分)判断函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数．
解：∵f(x)＝2x＋x3－2,0∴f′(x)＝2xln 2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，
∴f(x)在(0,1)上单调递增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，
f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内有且只有一个零点.
15.(10分)若f(x)＝－x2＋bln (x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，求b的取值范围．
解：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．
∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0.
∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.
16.(15分)设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.
∴f(x)的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．
由x(x＋2)<0，解得－2∴f(x)的减区间为(－2,0)．
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－2,0)．
(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)∈[0,2e2]．
又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
第五章质量评估
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为(　　)
A．－9 B．－3
C．9 D．15
C　解析：由已知得切线的斜率k＝f′(1)＝3，所以切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0.
令x＝0，得y＝9，所以切线与y轴交点的纵坐标为9.
2．下列结论正确的个数是(　　)
①若f(x)＝ln 2，则f′(x)＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln 2；④若f(x)＝log2x，则f′(x)＝.
A．0 B．1
C．2 D．3
D　解析：①y＝ln 2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用求导公式即可验证．
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D　解析：f′(x)＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为(　　)
A．－ B．2
C．4 D．－
C　解析：∵y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1.∴g′(1)＝k＝2，
又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为4.
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－6 D．－12
C　解析：令f′(x)＝6x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－，由题意，知f′(x)＝0的两根为0,2，所以2＝－，所以a＝－6.
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
D　解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．
7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是(　　)
A．f(sinA)>f(cosB)
B．f(sinA)C．f(sinA)>f(sinB)
D．f(cosA)A　解析：由导函数图象可知，x>0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
又△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin>0，即sinA>cosB>0.故f(sinA)>f(cosB)．
8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
A　解析：∵(ln x)′＝>0，(ex)′＝ex>0，(x3)′＝3x2≥0.
∴选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为－1，只有A项符合．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，－3)
C．[6，＋∞)
D．(6，＋∞)
BD　解析：依题意f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，对应的判别式Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4a2－12a－72>0，即a2－3a－18>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a<－3或a>6.故选BD．
10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是(　　)
A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值
B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值
C．在x3处函数y＝f(x)有极大值
D．在x5处函数y＝f(x)有极小值
ABCD　解析：根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值．
根据导函数f′(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数y＝f(x)有极大值. x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数y＝f(x)有极小值．故选ABCD．
11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是(　　)
A．x＝3是函数f(x)的一个极值点
B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)
C．f(x)在区间(1,2)上单调递减
D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点
ACD　解析：由题得f′(x)＝＋2x－10＝，x>－1.令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1或3，则f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故AC正确，B错误．
因为f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln 2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln 4－21，又y＝16ln 3－16＝f(2)，根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)>f(2)>f(3)，得16ln 3－16<16ln 2－9，16ln 3－16>16ln 4－21，
所以直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点，故D正确．故选ACD．
12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2ln x，(　　)
A．m＝3时，f(x)有两个零点
B．m＝3时，f(x)的极小值点为2
C．m＝3时，f(x)≥0恒成立
D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln 2
ABD　解析：对于选项A，当m＝3时，f(x)＝x2－3x＋3－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3－＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝2，当02时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝1－2ln 2＝1－ln 4<0，且f(1)＝1>0，f(3)＝3－2ln 3>0，∴f(x)在定义域内有两个零点，故选项A正确．对于选项B，由上面的推导过程可知，当m＝3时，f(x)的极小值点为2，故选项B正确．对于选项C，由上面的推导过程可知，f(2)<0，故选项C错误．对于选项D，若f(x)只有一个零点，则方程x2－3x＋m－2ln x＝0只有一个根，即方程－m＝x2－3x－2ln x只有一个根．令g(x)＝x2－3x－2ln x，x>0，则函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点．g′(x)＝，
令g′(x)＝0, ∴x＝2，当02时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(2)＝－2－2ln 2，且当x→0时，
g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞.
∴函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点时，－m＝－2－2ln 2，∴m＝2＋2ln 2，故选项D正确．故选ABD．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝________.
1　解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，f′(－1)＝3a－2b＋c＝0，又f(－1)＝－a＋b－c＝－1，可解得a＝－，b＝0，c＝，所以a＋b＋c＝1.
14.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，则a的取值范围是________．
[1，＋∞)　解析：由题意知f′(x)＝3x2－6ax－b≤0对x∈[－1，2]恒成立，b＝9a，所以f′(x)＝3x2－6ax－9a≤0，即x2－2ax－3a≤0对x∈[－1,2]恒成立．因为2x＋3>0，所以a≥对x∈[－1,2]恒成立，容易求得a≥1.
15.已知曲线f(x)＝ax3＋ln x，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为4，则a＝________；若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
1　(－∞，0)　解析：f′(x)＝3ax2＋.
令f′(1)＝3a＋1＝4，得a＝1.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，
即3ax2＋＝0有解，
∴3a＝－，而x>0，
∴a∈(－∞，0).
16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
，　解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；
当∴当x＝时，S取得最大值为.
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0.
又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
f(x)在原点处的切线斜率是－3，
∴－a(a＋2)＝－3，解得a＝－3或a＝1.
(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－.
又f(x)在(－1,1)上不单调，
∴或
解得或
所以a的取值范围是∪.
18.(12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，
从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，
从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.
又因为f′(1)＝0，所以6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.
所以实数a，b的值分别为3，－12.
(2)由(1)知 ，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，－2)内为增函数；
当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在区间(－2,1)内为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数；
从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.
19.(12分)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 1 单调递增
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
因此b的取值范围是(1，＋∞).
20.(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)解：(1)对f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′＝－a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得a＝－，b＝－2.
∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴函数f(x)的递增区间是和(1，＋∞)，递减区间是.
(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]．当x＝－时，f＝＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.
∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
21.(12分)有A，B两家化工厂，相距48 km，现在要在两家化工厂连线上一点M处建造居民小区，考虑点M处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k1，k2(k1，k2>0)．若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设MA＝x km.　
(1)试将y表示为x的函数；
(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．
解：(1)点M处受A工厂的污染指数为8pk1·，受B工厂的污染指数为pk1·，
从而点M处的污染指数
y＝8pk1·＋pk1·，其中0(2)由(1)知y＝8pk1·＋pk1·
＝pk1k2，
所以y′＝pk1k2，
令y′＝0，
即pk1k2＝0，得x＝32，
且当00，
因此y在x＝32处取得极小值，即最小值．
故当点M处的污染指数y取得最小值时x的值等于32.
22.(12分)已知函数f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.
(1)求f(x)的解析式及单调区间；
(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．
解：(1)f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，
则f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x.
令x＝1，得f(0)＝1.
∴f(x)＝f′(1)ex－1－x＋x2.
令x＝0得f(0)＝f′(1)e－1＝1，
∴f′(1)＝e.
∴f(x)＝ex－x＋x2.
设g(x)＝f′(x)，
则g(x)＝f′(x)＝ex－1＋x.
∵g′(x)＝ex＋1>0，∴f′(x)＝g(x)在x∈R上单调递增．
∴f′(x)>0＝f′(0) x>0；f′(x)<0＝f′(0) x<0.
综上可知，f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
(2)f(x)≥x2＋ax＋b h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0.
易得h′(x)＝ex－(a＋1)．
①当a＋1≤0时，h′(x)>0，
∴y＝h(x)在x∈R上单调递增，
此时当x→－∞时，h(x)→－∞与h(x)≥0矛盾；
②当a＋1>0时，h′(x)>0 x>ln(a＋1)，h′(x)<0 x∴当x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－b≥0，
(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)(a＋1>0)．
令F(x)＝x2－x2ln x(x>0)，
则F′(x)＝x(1－2ln x)．
F′(x)>0 0.
∴当x＝时，F(x)max＝.
∴当a＝－1，b＝时，(a＋1)b的最大值为.
模块综合检测(一)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．数列{an}满足an＋1＝3an＋1，a1＝1，则此数列的第3项是(　　)
A．13 B．10
C．7 D．4
A　解析：因为an＋1＝3an＋1，a1＝1，
所以a2＝3a1＋1＝3×1＋1＝4，
所以a3＝3a2＋1＝3×4＋1＝13.故选A．
2．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
B　解析：∵a7－2a4＝－1，∴a3＋4d－2(a3＋d)＝－1，∴4d－2d＝－1，∴d＝－.
3．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝(　　)
A．15 B．30
C．32 D．77
B　解析：依题意f′(x)＝6x，所以f′(5)＝30.故选B．
4．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝(　　)
A．－63 B．－21
C．21 D．63
B　解析：设数列{an}的公比为q，
∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，
∴解得
∴S6＝＝＝－21.故选B．
5．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
B　解析：f(x)的定义域为R，且f′(x)＝＝＝，所以当－10，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(－1,1)．故选B．
6．数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
C　解析：数列{log2an}是以0为首项，公差为1的等差数列，log2an＝0＋(n－1)×1＝n－1，an＝2n－1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1＝＝2n－1>1 025，2n>1 026.因为210＝1 024,211＝2 048，所以，最小n值是11.选C．
7．函数f(x)＝的图象大致是(　　)
C　解析：由f(x)＝，
得f′(x)＝(x>0)．
令g(x)＝1＋－ln x，
则g′(x)＝－－＝－<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又g(e)＝>0，g(e2)＝1＋－ln e2＝－1<0，
所以存在x0∈(e，e2)，使得g(x0)＝0，
所以当x∈(0，x0)时，g(x)＞0，f′(x)＞0；
当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0.
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．故选C．
8．函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，－1)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B　解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝＋a＝0，得a≠0，x＝－.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－<1且a<0，所以a<－1.故选B．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是(　　)
A．3x＋y＝0 B．24x－y－54＝0
C．9x－y－24＝0 D．12x－y－24＝0
AB　解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x－3，y0＝x－3x0.∴切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　)
A．a4＝0
B．Sn的最大值为S3
C．S1＝S6
D．|a3|<|a5|
AC　解析：设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．
11．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N* ，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为(　　)
A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{a}是等方差数列
C．{(－1)n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列
ACD　解析：对于A，{an}是等方差数列，可得a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a}是首项为a，公差为 d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确； 对于D, 数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak…，a2k，…，数列{akn}中的项列举出来是： ak，a2k，a3k，….∵a－a＝a－a＝…＝a－a＝p，∴a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，∴a－a＝kp, 所以，数列{akn}是等方差数列，故D正确．故选ACD．
12．设f(x)＝xa·cosx，x∈的最大值为M，则(　　)
A．当a＝－1时，M<
B．当a＝2时，M<
C．当a＝1时，M>
D．当a＝3时，M<
AB　解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝在区间上递减，所以M＝＝<，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cosx，则f′(x)＝xcosx(2－xtan x)>0，∴f(x)在区间上递增，即M＝<，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，在上， x0，∴f(x)在区间上递增，∴M＝·3>，故选项D错误．故选AB．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则an＝________.
－2n＋11　解析：设公差为d，因为－＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.
14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.
－2　解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.
0　2　解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.
16.设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab等于________．
－1　解析：验证发现，
当x＝1时，将1代入不等式有0≤a＋b≤0，
所以a＋b＝0，
当x＝0时，可得0≤b≤1，
结合a＋b＝0可得－1≤a≤0.
令f(x)＝x4－x3＋ax＋b，即f(1)＝a＋b＝0.
又f′(x)＝4x3－3x2＋a，f′′(x)＝12x2－6x，
令f′′(x)＞0，可得x＞，
则f′(x)＝4x3－3x2＋a在上递减，在上递增．
又－1≤a≤0，所以f′(0)＝a＜0，f′(1)＝1＋a≥0.
又x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b，结合f(1)＝a＋b＝0知，1必为函数f(x)＝x4－x3＋ax＋b的极小值点，也是最小值点．
故有f′(1)＝1＋a＝0，由此得a＝－1，b＝1.所以ab＝－1.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.
(1)求该数列中a2的值；
(2)求该数列的通项公式an.
解：(1)由等差数列性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝21，
∴a2＝7.
(2)设等差数列公差为d，∴a1a2a3＝(a2－d)a2·(a2＋d)＝7(7－d)(7＋d)＝7(49－d2)＝231.
解得d＝±4，∴an＝a2＋(n－2)d，
即an＝4n－1或an＝－4n＋15.
18.(12分)(1)求曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程；
(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
解：∵y＝，∴y′＝－.
(1)当x＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.
(2)设切点为，则切线的斜率为－，
∴切线方程为y－＝－(x－x0)，
∵切线过点(4,0)，
∴－＝－(4－x0)，解得x0＝2，
∴所求切线方程为y－＝－(x－2)，
即x＋4y－4＝0.
19.(12分)设f(x)＝aln x＋－x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
解：(1)因为f(x)＝aln x＋－x＋1，
所以f′(x)＝－－.
由f′(1)＝0，可得a－2＝0，解得a＝2.
(2)由(1)可知，
f(x)＝2ln x＋－x＋1，
f′(x)＝－.
令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝1，
又因为函数f(x)定义域为(0，＋∞)，
所以f(x)在区间和(1，＋∞)单调递减，在区间单调递增．
故f(x)的极大值为f(1)＝0，f(x)的极小值为f＝2－2ln 3.
20.(12分)设数列{an}满足：a1＝1，且2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，a3＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：(1)由2an＝an＋1＋an－1(n≥2)可知数列{an}是等差数列，设公差为d，
因为a1＝1，所以a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝12，解得d＝2，
所以{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知＝＝，
所以数列的前n项和
Sn＝…＋
＝
＝－.
21.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝，＝2an＋1(n∈N*且n≥2)．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和Tn.
(1)证明：因为＝2an＋1，
所以an＝an＋1＋2anan＋1，
即an－an＋1＝2anan＋1，等式两边同时除以anan＋1，
得－＝2(n≥2)，且－＝2，
所以数列为首项为1，公差为2的等差数列．
(2)解：由(1)得＝2n－1，＝(2n－1)3n，
则Tn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－1)3n①，
3Tn＝1×32＋…＋(2n－3)3n＋(2n－1)3n＋1②，
①－②得－2Tn＝3＋2(32＋…＋3n)－(2n－1)3n＋1
＝3＋2×－(2n－1)3n＋1
＝2(1－n)3n＋1－6，故Tn＝(n－1)3n＋1＋3.
22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
解：(1)a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex的导数为f′(x)＝ex(2－x2)．
由f′(x)＞0，解得－由f′(x)＜0，解得x＜－或x>.
即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)，(，＋∞)，
单调递增区间为(－，)．
(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·ex的导数为
f′(x)＝ex[a－x2＋(a－2)x]．
由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，
即为a－x2＋(a－2)x≥0，
即有x2－(a－2)x－a≤0，
则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，
解得a≥，
则a的取值范围为.
模块综合检测(二)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝(　　)
A．0 B．e
C．2e D．
C　解析：∵f(x)＝e2x＋1，∴f′(x)＝2e2x＋1，∴f′(0)＝2e.故选C．
2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为(　　)
A．27 B．30
C．33 D．36
B　解析：因为a1＋a4＋a7＝3a4＝36，所以a4＝12.因为a2＋a5＋a8＝33，所以a5＝11.所以d＝a5－a4＝－1，所以a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝30.故选B．
3．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋＋b＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．4
C　解析：∵a＋＋b＋＝(a＋b)＋＝(a＋b)＝(a＋b)≥·2＝5，等号成立当且仅当a＝b＝2，原式的最小值为5.
4．函数y＝在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝(　　)
A．－3 B．3
C． D．－
A　解析：∵y′＝′＝，
∴y′|x＝1＝，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是，
所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a＝－3.故选A．
5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S37－S23＝a，则S60＝(　　)
A．4a B．a
C．5a D．a
B　解析：因为S37－S23＝a24＋a25＋…＋a37＝×14＝7(a24＋a37)＝a.所以S60＝×60＝30(a24＋a37)＝a.故选B．
6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是(　　)
A　解析：由于f′(x)＝2(x2＋3x＋1)·e2x，而y＝x2＋3x＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x2＋3x＋1开口向上且有两个根x1，x2.不妨设x10，所以B选项不正确．由此得出A选项正确．故选A．
7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为(　　)
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
B　解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{an}，Sn是其前n项和，则S9＝＝9a5＝85.5，所以a5＝9.5，由题知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，
所以a4＝10.5，所以公差d＝a5－a4＝－1.
所以a12＝a5＋7d＝2.5尺．故选B．
8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：因为f(1)＝13－1＝0，所以点P(1，－1)没有在函数的图象上．
设切点坐标为(x0，y0) ，则y0＝x－x0，则f′(x)＝3x2－1.
由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k＝3x－1，
过P(1，－1)和切点的斜率表示为k＝，
所以化简可得x(2x0－3)＝0，
所以x0＝0或x0＝.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则(　　)
A．数列{an}为等差数列
B．数列{an}为等比数列
C．a＋a＋…＋a＝
D．m＋n为定值
BD　解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，所以Sn－Sn－1＝an＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，所以＝2，数列{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，an＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a}是以a＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝＝，故选项C错误；aman＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．
10．若函数exf(x)(e＝2.718 2…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
AD　解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数．故选AD．
11．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是(　　)
A．01
C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6
AD　解析：易知q>0，若q>1，则a6>1，a7>1，与>0矛盾，故00，a8>0，所以Sn的最大值一定不为S7.因为01，所以Tn的最大值为T6，故选AD．
12．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增
B．xf(x)在(0,1)单调递减
C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值
D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
ABD　解析：由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x得x＞0，
则xf′(x)＋f(x)＝，由[xf(x)]′＝.
设g(x)＝xf(x)，即g′(x)＝>0得x＞1.
由g′(x)＜0得0＜x＜1，即xf(x)在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，
即当x＝1时，函数g(x)＝xf(x)取得极小值g(1)＝f(1)＝.故选ABD．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.
12－n　解析：∵等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，
∴解得a1＝11，d＝－1，
∴an＝11＋(n－1)×(－1)＝12－n.
14.已知正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a6a7＝a1a9，则an＝________，数列{log2an}的前n项和为________．
2－n＋1　－　解析：由a1＝1，a2a6a7＝a1a9得a5＝a1q4＝，q＝，an＝n－1＝2－n＋1.而log2an＝－n＋1，所以{log2an}的前n项和为－.
15.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是________．
(0,1]　解析：f(x)＝x2－ln x，则f′(x)＝x－＝＝≤0，故016.已知函数f(x)＝ln x＋，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．
　解析：由f(x)＝ln x＋得f′(x)＝－＝，定义域为(0，＋∞)．当m≤0时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增，函数无极值；
当m>0时，令f′(x)＝0 x＝m，
当x∈(0，m)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；
当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以当x＝m时，函数y＝f(x)取极小值，且为f(m)＝ln m＋1.
依题意有ln m＋1≥0 m≥，因此，实数m的取值范围是.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，所以an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b4＝8，b16＝32.
设{bn}的公差为d，则有
解得
从而bn＝2＋2(n－1)＝2n.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2＋n.
18.(12分)已知函数f(x)＝x2－3ln x.
(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．
解：(1)由已知得f′(x)＝x－，有f′(1)＝－2，f(1)＝，
∴在(1，f(1))处的切线方程为y－＝－2(x－1)，化简得4x＋2y－5＝0.
(2)由(1)知f′(x)＝，
因为x>0，令f′(x)＝0，得x＝.
所以当x∈(0，)时，有f′(x)<0，则(0，)是函数f(x)的单调递减区间；
当x∈(，＋∞)时，有f′(x)>0，则(，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；
当x∈(1，e)时，函数f(x)在(1，)上单调递减，在(，e)上单调递增．
又因为f(1)＝，f(e)＝e2－3>0，f()＝(1－ln 3)<0，
所以f(x)在区间(1，e)上有两个零点.
19.(12分)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝2，S9＝54.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋＋…＋>13.
(1)解：设数列{an}的公差为d，
∵S9＝9a5＝54，∴a5＝6，∴d＝＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－4.
(2)证明：∵＝>＝－，
∴＋＋＋…＋>(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1>14－1＝13，
∴＋＋＋…＋>13.
20.(12分)设函数 f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝ex－2x－1，取f′(x)＝ex－2＝0，即x＝ln 2，
函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，
且f(0)＝0，f(2)＝e2－5，f(ln 2)＝1－2ln 2，
故函数的最大值为f(2)＝e2－5，最小值为f(ln 2)＝1－2ln 2.
(2)f(x)＝ex－ax－1，f′(x)＝ex－a，f(0)＝0.
当a≤0时，f′(x)＝ex－a>0，函数单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，成立；
当a>0时，f′(x)＝ex－a＝0，即x＝ln a，
故函数在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(ln a)综上所述，a的取值范围为(－∞，0].
21.(12分)等差数列{an}中，S3＝21，S6＝24，
(1)求数列{an}的前n项和公式Sn；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：(1)设{an}首项为a1，公差为d，
由S3＝21，S6＝24，
得∴
∴Sn＝n×9＋×(－2)＝－n2＋10n.
(2)由(1)知，an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11，
由an≥0得－2n＋11≥0，即n≤.
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n；
当n≥6时，
Tn＝|a1|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝n2－10n＋50.
综上，Tn＝
22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝ex－ax－b.
(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋b的最大值．注：e＝2.718 28…为自然对数的底数．
解：(1)f(x)＝ex－ax，f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)＝ex－a≥0恒成立，函数单调递增；
当a>0时，f′(x)＝ex－a＝0，x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，函数单调递减；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，函数单调递增．
综上所述，a≤0时，f(x)在R上单调递增；a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)f(x)＝ex－ax－b≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，f＝－a－b≥0，故a＋b≤2，
现在证明存在a，b，a＋b＝2，使f(x)的最小值为0.
取a＝，b＝(此时可使f′＝0)，f′(x)＝ex－a－， f″(x)＝ex－，b＝<1，
故当x∈[0，＋∞)时，(x2＋1)≥1，ex≥1，故f″(x)≥0，f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，f′＝0，
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f＝0.
综上所述，a＋b的最大值为2.

展开更多......

收起↑