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高三三角函数小题分类汇编
题型一：解三角形
1．（2022·浙江嘉兴·二模）在锐角中，，，点D在线段上，且，，则___________，___________.
【答案】 3
【详解】在中由正弦定理，即，解得，
所以，
由余弦定理，即，解得或，
当时，，此时且，即为等边三角形，则，
当时，，由余弦定理，即，
解得，此时，即为直角三角形，不符合题意，故舍去；
2．（2022·浙江台州·二模）在中，，则___________；___________.
【答案】 ，
【解析】
在中，，由余弦定理得：，
，而，则.
3．（2022·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.
【答案】
【解析】在中，因为，可得，
由，且，
在中，由正弦定理，
可得，
因为，所以为锐角，所以，
又由
，
所以，所以，
设，
因为且点是线段的三等分点，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，所以，
所以，所以的面积为.
4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，；则角___________，a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由，，得，所以，
因为，所以，
5．（2022·浙江浙江·二模）在中，为的中点，若，，，则________，________．
【答案】 5
【解析】由，则
则，所以
所以
在中，
所以在中，
所以
所以 由,即
6．（2022·北京门头沟·一模）在中，，，，则_________；为的中点，则的长为_________．
【答案】
【解析】由正弦定理得：；，；
由余弦定理知：，
解得：或，又为最大内角，，；
为中点，，
，解得：.
7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）在中，，，，则___________；的面积为___________.
【答案】
【解析】设对应的边为，，由余弦定理可得，即，
8．（2022·浙江温州·二模）已知AD是的角平分线，，，，则_________，________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为AD是的角平分线，所以，
则，
则，
所以，
所以，
又，即，
解得.
9．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）在中，角所对的边分别为，为的外接圆半径，则______，_______.
【答案】
【解析】因为，
所以，即，所以，
又因，所以，所以，所以.
10．（2022·浙江·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为b，c．若，，则＝___，tan C＝___．
【答案】
【解析】在△ABC中，由可得，
由，所以，
又由，，
所以.
11．（2022·河南河南·模拟预测（文））如图，△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，则___________.若线段的垂直平分线交于点D，交AB于点E，且.则△的面积为___________.
【答案】
【解析】由余弦定理知：，而，
∴，又，则，
在△中，设，则，可得，
又的垂直平分线交于点D，交AB于点E，则，
∴，可得，而，故.
∴，故△的面积为.
12．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）如图，在中，是边上一点，满足，，则 __________； __________.
【答案】
【解析】由题满足，，所以
中，由余弦定理
中，由余弦定理可得，
中，由正弦定理可得：，
所以.
13．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）在中，为的平分线，，则___________，若，则___________.
【答案】 7或
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，即，
所以或；若，则，
由余弦定理可得，
所以，因为为的平分线，所以，
所以，
14．（2021·浙江·模拟预测）已知的内角的对边分别为，为的中点，且，，则________，的面积为_________．
【答案】 60
【解析】因为，所以．
过点C作CE⊥AB于点E，因为，由三线合一得：E为BD中点
设，.则，，由勾股定理得：，因为，所以，解得：，所以，，
15．（2021·浙江·镇海中学模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，若，则___________，三角形的形状为___________.
【答案】 等腰三角形
【解析】中，由正弦定理及给定等式得：，
因为，所以，所以，
因为，所以，
又，所以；
因，，于是为等腰三角形.
16．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且满足，则______，角的最大值是______.
【答案】 2
【解析】因为，
由正弦定理得，
又，，时等号成立，
，，所以的最大值为．
17．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则______，若的外接圆的周长为，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，整理可得，
由余弦定理可得，，故.
设的外接圆半径为，则，故，故，
由基本不等式可得，所以，，
当且仅当时，等号成立，所以，，
故面积的最大值为.
18．（2021·全国·模拟预测）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则b＝___，C＝___.
【答案】 ；
【解析】【详解】由正弦定理得：，
所以，根据余弦定理得：，
又因，所以.
19．（2021·浙江·宁波中学模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，已知的面积等于10，，则___________，a的值为___________.
【答案】
【解析】因为，由正弦定理得，
在中，，所以即，
又根据，所以，又的面积等于10，，
所以,所以；
20．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．则角________，若点D是AB的中点，且，则ab的最大值是________．
【答案】 4
【解析】在中， ，
由正弦定理得：,
因为，所以，所以,
又,所以；
因为点D是AB的中点，所以,所以，
即，所以，
因为，所以.由基本不等式得，即ab的最大值是4.
题型二：三角恒等变换
1．（2022·浙江·模拟预测）已知，则___，___．
【答案】 ##0.8
【解析】
2．（2022·浙江台州·高三期末）若，则________；________．
【答案】
【解析】由题得.
.
3．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）已知，则____________；___________.
【答案】
【解析】，
，
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则_________________，若在第三象限，则的值是____________.
【答案】 或
【解析】由，
得，解得，或；
，
若在第三象限则，∴，
5．（2021·全国·高三模拟）已知角的终边经过点，且为第二象限角，则：
（1）________；
（2）若，则的值为________．
【答案】
【详解】（1）由三角函数定义可知，解得.
因为为第二象限角，所以 ；
（2）由(1)知，又，
所以
＝.
6．（2021·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的终边在直线上，则=________，________．
【答案】 1 0
【解析】可设角的终边上的点为，
则，
.
7．（2021·浙江·模拟预测）已知，，则=________；=_______.
【答案】
【解析】【详解】
，
，
，
8．（2021·浙江·模拟预测）已知，且，则___________，____________.
【答案】
【解析】，
又，，
.
9．（2021·浙江·模拟预测）已知=，且，则__________；__________．
【答案】
【解析】因为，所以，由=，
所以，所以
；
.
10．（2021·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知，则，则________，________．
【答案】
【解析】，所以，
，
解得：，因为，
所以.
11．（2021·浙江·模拟预测）已知，则______，_______．
【答案】 -3
【解析】由题意得：，解得.
所以.
12．（2021·浙江·模拟预测）已知角的始边在轴非负半轴上，终边经过，则___________，___________.
【答案】
【解析】，又，所以.
13．（2021·浙江浙江·二模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则___________，___________.
【答案】
【解析】由三角函数定义知：；
，则，
.
14．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）在中，，则_________，_________.
【答案】
【解析】，，
故，故.
由，
所以由代入得，由，
解得.
15．（2021·浙江·模拟预测）已知，则______， ______.
【答案】
【解析】由得，
故；
.
16．（2021·浙江·模拟预测）已知，则______，______.
【答案】 3
【解析】.
由，得，
故.
17．（2021·浙江绍兴·三模）已知，若，则______，______.
【答案】
【解析】因为，，
又因为，所以
所以，
所以.
18．（2021·浙江绍兴·三模）已知角的终边过点，则_______，________．
【答案】 2
【解析】∵角的终边过点，
∴，，，
∴.
题型三：图像性质题
1．（2022·浙江温州·三模）已知函数的图象关于点对称，则___________，的图象至少向左平移___________个单位长度得到的图象.
【答案】
【解析由题有：，
∴，又，
取，则.
∴
设向左平移m个单位长度，则
∴，
即，取，则.
2．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数，则函数的最大值为________，若函数在上为增函数，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，
区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，
即.
令，则，k∈Z；
则，k∈Z；∵，∴时，；时，；时，∵，故不符题意；综上，ω∈.
3．（2022·北京房山·一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=_______；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为______________.
【答案】
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则.则在区间[0，m]上，，要使
g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），则，解出.
则m的最大值为.
4．（2021·浙江·模拟预测）如图为函数的部分图像，则______，______.
【答案】
【解析】由图像可得，即，
又，所以，
由五点作图法可得，
解得．
5．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数，则的最小正周期为___________，的图象向左平移m(m>0)个单位可得到的图象，则m的最小值为___________.
【答案】
【解析】【详解】
由，
∴，
又，
∴可由向左平移个单位得到，故m的最小值为.
6．（2021·浙江嘉兴·二模）若函数的部分图象如图所示，则______，______．
【答案】 1
【解由波谷处函数值为，所以，
，所以，
，由，，所以，
，
7．（2021·浙江浙江·三模）已知函数的最小正周期为，则___________，当时，的取值范围是___________.
【答案】 1
【解析】
因为的最小正周期为，所以，所以
所以
当时，，
所以
8．（2021·福建漳州·二模）已知，函数的图象向右平移个单位得到的图象，若函数与函数的极值点完全相同，则___________，的最小值为___________.
【答案】 3
【解析】由题意，，又与极值点完全相同，
∴与周期相同，有，且令，，则，得
∴最小.
9．（2021·广东湛江·二模）写出一个以为对称中心的偶函数______，该函数的最小正周期是______.
【答案】 4
【解析】只要写出符合条件的函数即可，如，
该函数的最小正周期是4.
10．（2021·四川·二模（理））函数的最大值为3，最小值为，图象的相邻两条对称轴之间的距离为.则___________，___________.
【答案】 1
【解析】由函数(，)，
因为函数的最大值为3，最小值为，所以，
解得，即，
又因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以函数的最小正周期为，所以.
11．（2021·北京大兴·一模）已知函数.若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是____，___.（只需写出一组）
【答案】
【解析】当时，，
即，
故当，时，对都成立，
12．（2020·山西·模拟预测（文））已知函数.若，则______.若该函数图象的对称轴与函数图象的对称轴完全相同，则______.
【答案】
【解析】⑴当时，
，
所以；
⑵因为两个函数图像的对称轴完全相同，故周期相同，
所以，
此时，
所以.
故答案为：；.
13．（2019·浙江·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值为______，此时函数的最大值为______.
【答案】 2
【解析】【详解】:，
其函数图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为
，因为其图象关于轴对称，所以，解得.又因为，所以的最小值为，此时函数，数的最大值为2.
14．（2016·浙江温州·二模（文））函数的图象如图所示，则 _________，_________.
【答案】 ； 【解析】由题设所提供的图形信息可知,即,所以；又,故,由于,所以,应填.
15．（2021·浙江·模拟预测）若函数的部分图象如图所示，则______，当时，函数的值域为______．
【答案】 【解析】设的最小正周期为，
由图象可得，，∴，∴，
，∴，，∴，．又，
∴，可得．当时，，，
16．（2021·浙江·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，且的图象的两条对称轴之间的最短距离为，则______；将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称轴方程为______.
【答案】 2 ，
【解析】由题中图可知，由函数的图象过点可得，，又，
∴，由函数的图象的两条对称轴之间的最短距离为，
得，∴，，∴，，令，，
解得，即图象的对称轴方程为，.
故答案为：①2；②，.
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