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2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合
真题特点分析：
【2021中科大5】求函数的取值范围．
答案：
2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ）
A. B.
C. D. ，，成等差数列
解析：根据对称性可选ABC
3.【2020年武大15】设函数，则下列错误的是（ ）
A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数
C. 的图像有对称轴D. 的图像有对称中心
二、知识要点拓展
一． 两角和、差的三角公式：
1.正弦：
2.余弦：
3.正切：
二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
，
三．二倍角公式：
1.余弦：
2.正弦：、 （3）正切：
四．辅助角公式：
注意：有实数解
五．半角公式（万能公式）：
六．正弦定理： （为三角形外接圆的半径）
七．余弦定理：
八．三角形面积公式：
三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：
三倍角公式：
，
，
。
注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，
，。显然，（舍去负根）。
常见三角不等式：
1.若，则；
2.若，则.
3..
三．和差化积与积化和差公式：
和差化积 积化和差
四．三角形中的一些三角恒等式：在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的，⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。
注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
五．三角恒等式：
三、典例精讲
例1．（清华）函数的值域是 。
分析与解答：本题的方法很多，现提供如下几种解法。
解法一：。
由故，。
解法二：令，则，再用判别式法，求得
解法三：数形结合法。
，可看成是圆上的点到的斜率，由解析几何有关知识，可得。如图。
解法四：导数法。
。
令。从而有。
解法五：，令，则，
，故。
例2．（复旦）在中，，求。
分析与解答：
中，。设，则（舍去），或，即。故。
例3．（北京）求使得在有唯一解的。
分析与解答：原方程可化为，
。
令，则
，。
即关于对称，故在有唯一的解只可能在或取到。
时，，但此时时均有，即解不唯一；
时，，此时解唯一，符合要求。
综上，。
例4．（北京）的三边满足，为的内角。求证：。
分析与解答：
解法一，由正弦定理，
。而，所以。注意到，所以，所以。
解法二：由余弦定理，（因为），所以。
例5．（清华）、、为的内角，且不为直角三角形。
求证：；
当，且的倒数成等差数列时，求的值。
分析与解答：
（1）证明：，，两边取正切，，
。
解：。
由（1）知，所以。又，所以。即。将代入，，
。（此时为等边三角形）或。由于
，所以或。
例6．的三个内角成等差数列，求证：．
分析与解答：
证明：要证原式，只要证
即只要证而
例7．在中，猜想的最大值，并证明之。
分析与解答：
证明：
当且仅当时等号成立，即
所以当且仅当时，的最大值为
所以
例8．（清华）求的值。
分析与解答：
解法一：遇到高次的，一般采取降次的策略。
。（*）
。 ①
，
而
，
故 。 ②
将①②代入（*）式，
。
解法二：
原式
。
注：解答本题除了对三角公式必须熟练掌握之外，还需要一定的恒心和代数功夫。有意思的是：本题还可进一步推广：是一个定值。另外，
也是一个定值0；也是一个定值。
更进一步，是大于1的奇数，则
。
例9．（上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：
最大角是最小角的两倍；
最大角是最小角的三倍；
若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。
分析与解答：此问题可用两种方法去解，一种是三角法，另一种是纯几何法。
解法一：（1）如图12-4（a），不妨设。
在中，由正弦定理，。
又由余弦定理，。
于是，，解得，即三边长为4、5、6.
（a） （b）
图12-4
假设这样的存在。
如图12-4（b），在中，由正弦定理，
。
又由余弦定理，。
于是，，
化简得 ，
整理得。因n为整数，故，则边长为1、2、3，不构成三角形。
故这样的三角形不存在。
解法二：（1）如图12-5（a），设，延长BC至D，使
。
易知。令，则
，
即这样的三角形存在，且三边长即为4、5、6。
（a） （b）
图12-5
若这样的三角形存在，设，，如图12-5（b），在AB上取一点D，使，则，故，而
。
在中，由知，故。
若，三角形三边长1、2、3，舍去；
若，三边长为2、3、4.但此时为，进而推出矛盾！故这样的三角形不存在。
四、真题训练
1.（复旦）已知，则（ ）。
（B） （C） （D）
2.（复旦）已知函数，其中x为实数且k为整数，在的最小正周期是（ ）
（B） （C） （D）
3.（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能达到的最小值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4.（复旦）已知是关于x的方程的两个根，这里，则（ ）
（B） （C） （D）
5.（武大）如果，那么的取值范围是（ ）。
（B） （C） （D）
6.（复旦）设。且满足，则的取值范围是（ ）
（B） （C） （D）
7.（上海交大）若，则 。
8.（南大） 。
9.（复旦）设，设，若存在，使恒成立，在的范围为 。
10.（南开）实数A、B、C满足，，求证：。
11.（复旦）在中，，AD是A的角平分线，且。
求k的取值范围；
若，问k为何值时，BC最短？
12.（五校联考）中，，求。
真题训练答案
1.【答案】D
【分析与解答】：，。所以
。
2.【答案】C
【分析与解答】：。
3.【答案】B
【分析与解答】：由柯西不等式，
，显然，当
时，取到最小值2。
4.【答案】C
【分析与解答】：由题意，，而
，
所以，解得。
。
5.【答案】A
【分析与解答】：一方面，；
另一方面，。
6.【答案】D
【分析与解答】：，，故
。
7.【答案】
【分析与解答】：由条件平方得，
。
8.【答案】
【分析与解答】：
，
同理，，。。。
原式。
9.【答案】
【分析与解答】：当时，；。欲使恒成立，则只有或-1，但，所以。
故。
或，。前一个式子，对不恒成立；由后一个式子有，又，所以。
10.【分析与解答】：因为，，所以
。，。
所以或或。若，则
；若，则；若，则
，，，所以。。故
。
11.【分析与解答】：设，。
由，所以
。，所以，因为，所以。
，，令
，
，其中。所以，等号成立，此时
。，所以
，即时，BC最短为。
12.【分析与解答】：
（注意到）
。
．
1. 三个数a,b,c，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．
解　运用单调性结合分类讨论求解．
（1）若，则，但由，故有矛盾，即a≠b．
（2）若，则由单调性可知，又由及题意可得，而，因此又可得，从而产生矛盾．
因此．
类似地，若，则由题意可得，从而可得与矛盾；若，则，即，，即矛盾．
综上可得：．
2. 已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数．若不等式对任意恒成立．求实数的取值范围．
解　先证明函数在上是增函数，运用单调性去掉后转化为不等式恒成立求解．
设，且，则，且．
∵在上是增函数，∴
又为奇函数∴．∴在上也是增函数．
即函数在和上是增函数，且在R上是奇函数，所以在上是增函数．
∵，
∴，，
，，
。
∵当时，的最大值为，
∴当时，不等式恒成立．
3. 在非直角中，边长满足．
证明：；
是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
分析　（１）化边为角进行三角式的变形；（２）运用结构特征构造函数．
证明　（１）由得，和差化积得
因为，所以有，
展开整理得，
故．
（２）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求与
之间的关系．
由及半角公式得，
对其展开整理得
即　　，
即，即
与原三角式作比较可知存在且．
4. 设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证：
（１）；
（２）；
（３）．
分析　利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证．
证明（１）由定比分点的向量形式得
，
由共线得，
即，又，
所以　　　　　　　　　　　　图１
即，由正弦定理可得
．
（２）由，得，由定比分点公式的向量形式有．
又．下面求，，，
所以．
由得
．所以代入即得证．
（３）由（２）知，
所以，
由是三角形的重心有得代入并利用：整理即得．
5. 在非钝角中，，分别是的外心和内心，且，求．
分析　化边为角，利用三角形中的几何关系求值．
解　由已知条件及欧拉公式得，其中分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得
结合正弦定理消去边和得
，
又，
代入并分解因式得　
即或，即或，
经验证这两个值都满足条件．2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合
真题特点分析：
【2021中科大5】求函数的取值范围．
2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ）
A. B.
C. D. ，，成等差数列
3.【2020年武大15】设函数，则下列错误的是（ ）
A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数
C. 的图像有对称轴D. 的图像有对称中心
二、知识要点拓展
一． 两角和、差的三角公式：
1.正弦：
2.余弦：
3.正切：
二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
，
三．二倍角公式：
1.余弦：
2.正弦：、 （3）正切：
四．辅助角公式：
注意：有实数解
五．半角公式（万能公式）：
六．正弦定理： （为三角形外接圆的半径）
七．余弦定理：
八．三角形面积公式：
三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：
三倍角公式：
，
，
。
注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，
，。显然，（舍去负根）。
常见三角不等式：
1.若，则；
2.若，则.
3..
三．和差化积与积化和差公式：
和差化积 积化和差
四．三角形中的一些三角恒等式：在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的，⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。
注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
五．三角恒等式：
三、典例讲解
例1．（清华）函数的值域是 。
例2．（复旦）在中，，求。
例3．（北京）求使得在有唯一解的。
例4．（北京）的三边满足，为的内角。求证：。
例5．（清华）、、为的内角，且不为直角三角形。
求证：；
当，且的倒数成等差数列时，求的值。
例6．的三个内角成等差数列，求证：．
例7．在中，猜想的最大值，并证明之。
例8．（清华）求的值。
例9．（上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：
最大角是最小角的两倍；
最大角是最小角的三倍；
若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。
四、真题训练
1.（复旦）已知，则（ ）。
（B） （C） （D）
2.（复旦）已知函数，其中x为实数且k为整数，在的最小正周期是（ ）
（B） （C） （D）
3.（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能达到的最小值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4.（复旦）已知是关于x的方程的两个根，这里，则（ ）
（B） （C） （D）
5.（武大）如果，那么的取值范围是（ ）。
（B） （C） （D）
6.（复旦）设。且满足，则的取值范围是（ ）
（B） （C） （D）
7.（上海交大）若，则 。
8.（南大） 。
9.（复旦）设，设，若存在，使恒成立，在的范围为 。
10.（南开）实数A、B、C满足，，求证：。
11.（复旦）在中，，AD是A的角平分线，且。
求k的取值范围；
若，问k为何值时，BC最短？
12.（五校联考）中，，求。
训练
1. 三个数a,b,c，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．
2. 已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数．若不等式对任意恒成立．求实数的取值范围．
3. 在非直角中，边长满足．
证明：；
是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
4. 设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证：
（１）；
（２）；
（３）．
5. 在非钝角中，，分别是的外心和内心，且，求．2022年高考数学尖子生强基计划专题12立体几何
真题特点分析：
1.【2020武大6】 两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 【2020武大7】空间图形的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.【2020武大17】在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_______________对．
【2020武大19】若空间三条直线，，两两异面，则与三条直线都相交的直线有_______________条．
答案：无数条
5.【2021清华8】已知四面体中，，则体积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
二、知识要点拓展
一．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
二．证明直线与平面垂直的思考途径：
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
三．空间的线线平行或垂直：设，，则：
1.平行：；
2.垂直：.
四．夹角公式：
设＝，＝，则.
推论 ，此即三维柯西不等式.
五．异面直线所成角：
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
六．直线与平面所成角：(为平面的法向量).
七．二面角的平面角：或（，为平面，的法向量）
八．空间两点间的距离公式 ：
若，，则 =.
九．点到平面的距离 ：
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
十．柱体、锥体的体积：
1.柱体：（是柱体的底面积、是柱体的高）
2.椎体：（是锥体的底面积、是锥体的高）
十一．长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
十二．球的表面积和体积公式：
1.球的表面积公式：（为球的半径）
2.球的体积公式：（为球的半径）
一．空间余弦定理
如图，平面、相交于直线l。为l上两点，射线在平面内，射线在平面内。已知，且都是锐角，是二面角的平面角，则
。
证明：在平面中，过作的垂线，交射线于点。
在平面中，过作的垂线，交射线于点。
设，则，
，并且就是二面角的平面角。
在与中，利用余弦定理，可得等式
，
所以，
故
二．射影面积公式：
在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为，此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为，又二面角的平面角度数为，则。
三．欧拉公式：
欧拉公式：设、和分别表示凸多边形体面、棱（或边）、顶点的个数，则。
利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。
事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是（面数）与的积的一半，即。①
同时，应是（顶点数）与的积的一半，即。②
由①、②，，代入欧拉公式中，有。
由于故。
显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3.
当时，易得；同理，时，。
综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体；时，即正十二面体；时，即正二十面体。
四．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
典例精讲
例1．（2011“华约”）两条异面直线互成，过空间中任一点A可以作出（ ）平面与两异面直线都成角。
一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
答案 B
分析与解答：如图，将异面直线平移到A点，记此时两条直线为，成，所确定的平面为，令分别为的两条角平分线。则与所成角相等的平面必经过或。而过与所成角的最大值为。这种情况不合要求。过的平面与所成角的范围为，绕l适当转动平面，并由对称性知，符合要求的平面有且仅有两个。
例2．（2011“卓越联盟”）在正方体中，E为棱的中点，F是棱上的点，且
，则异面直线EF与所成角的正弦值为（ ）。
（B） （C） （D）
答案B
分析与解答：如图，取中点G，连结FG，则EF与所成角即为。不妨设正方体棱长为1，则，。。
例3．（2010复旦）设是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面的中心点，则P到侧面的对角线的距离是（ ）。
（B） （C） （D）
答案C
分析与解答：在中，过作，垂足H。，则由余弦定理知，从而，所以。
例4．（2012“卓越联盟”）直角梯形中，，，面垂直于底面。
求证：面垂直于面；
若，求二面角的正切值。
分析与解答：
（1）由于平面平面，且面，而
，。
由，。由（1）知，且
。
过作于延长线交于，连结，则
。易见。
设二面角的平面角大小为，则由空间余弦定理（见知识拓展）知
。
显然，
。。
故，即所求二面角的正切值为。
注：本题的第（2）问比较难，这里我们用的是空间余弦定理，其优点是不用添加辅助线找出二面角，直接通过面角的三角关系求出二面角。
例5．（2010同济）如图5-1，四面体中，和为对棱。设，且异面直线与间的距离为，夹角为。
若，且棱垂直于平面，求四面体的体积；
当时，证明：四面体的体积为一定值；
求四面体的体积。
分析与解答：
（1）如图5-2，由于棱，过作边上的
高BE，则，故BE即为异面直线与间的距离，所以。所以
。
图5-2 图5-3
如图5-3，过作底面的垂线，垂足为，连结与相交于。连结，再过作的垂线，垂足为。因为，所以（三垂线定理的逆定理），所以，
又。所以EF即为异面直线的公垂线。所以。注意到。所以为定值。
如图5-4：将四面体补成一个平行六面体。由于所成角为，所以 又异面直线与间的距离即上、下两底面的距离，所以
。显然。
图5-4
例6．（2008复旦）在如图14-9所示的三棱锥中，点、的中点以及的中点所决定的平面把三棱柱切割成不相同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为（ ）
（B） （C） （D）
分析与解答：
连结与的延长线交于，连。连结与延长线交于，依题意知点也在
所确定的平面内。设平面交于F。令原三棱柱底面积为S，高为。平面将原三棱柱分成上、下两部分体积分别记为。由于是中点，，故，从而
，同理，。
，
。
故，应选D。
注：本题的难点是添加辅助线。
例7．（2009清华）四面体中，。
求证：这个四面体的四个角都是锐角三角形；
设底面为，另外三个面与面所形成的二面角为。求证：。
分析与解答：
（1）由对棱相等想到长方体。可构造一个如图7-1所示的长方体。设，，长方体长、宽、高分别为，则有
。
由，可得。于是，四面体的四个面都是锐角三角形。
如图7-2，设是在底面上的射影，由（1）知在内。由射影面积公式知
等。显然三个侧面及底面面积均相等，且
，故。
注：对于对棱相等的四面体经常考虑构造一个长方体。
图7-1 图7-2
例8．（2010五校联考）如图8-1，正四棱锥中，为PB中点，为PD中点，求两个棱锥的体积之比。
分析与解答：
对于三棱锥，无论将哪个三角形作为底面都不方便计算体积，故考虑间接法，即考虑其余四个小三棱锥与原四棱锥的体积比。
，
同理，
，同理，。
所以，。
注：本题用到了这样一个结论，如图8-2，是（或延长线上）的点，则
。
图8-1 图8-2
例9．（2001复旦）已知棱柱的底面是等腰三角形，，上底面的顶点在下底面的射影是的外接圆圆心，设，，棱柱的侧面积为。
证明：侧面和都是菱形，是矩形；
求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小；
求棱锥的体积。
分析与解答：
（1）如图，设在底面上的射影为，则是的外心。又由
，知时等边三角形侧面是菱形。由对称性知，侧面也是菱形。由于中，，是其外心，故有，即的射影垂直。由三垂线定理，，故侧面是矩形。
设，则。过作的垂线，垂足为，则即是侧面与侧面的二面角的平面角。而，故，即侧面与侧面的二面角大小为。
又，故是侧面与侧面的二面角的平面角，大小为。
同理，是侧面与侧面的二面角的平面角，大小为。
，，故。所以
，
真题训练
1（2010复旦）设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形为：
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
则该多面体的体积为（ ）
（B） （C） （D）
2.（2007复旦）已知四棱锥，底面是菱形，，，线段
，点E是AB的中点，点F是PD的中点，则二面角的平面角的余弦值为（ ）。
（B） （C） （D）
3.（2008复旦）棱长为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（ ）
（B） （C） （D）2
4.（2008复旦）若空间三条直线两两成异面直线，则与都相交的直线有（ ）。
（A）0条 （B）1条 （C）多于1的有限条 （D）无穷多条
5.（2010复旦）在一个底面半径为，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后。在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球。最多可以放入这样的小球的个数是（ ）
（A）32个 （B）30个 （C）28个 （D）26个
6.（2007复旦）棱长为的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球的半径之和为（ ）
无法确定 （B） （C） （D）
（2010同济）已知平面，点，点，AB与平面所成角分别为，点A、B在平面的交线上的垂足分别为，则线段与的比值为 。
8.（2004同济）设四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且。
求证：直线；
过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥的体积取到最大值，求此时四棱锥的高。
（2010五校联考）平面//平面，直线，点与面夹角为，，与的夹角为，求与的夹角。
10.（2007武大）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点。
求证：；
求四面体的体积。
（2004复旦）已知E为棱长为的正方体的棱AB的中点，求点B到平面的距离。
12.（2005复旦）在棱长为1的正方体中，分别为中点，求：
到面的距离；
二面角的平面角。
真题训练答案
1.【答案】D
【分析与解答】：此为一个立方体削去一个角所得。
2.【答案】C
【分析与解答】：四边形是菱形，且，故是等边三角形。E是AB的中点，故。由三垂线定理知，所以即是二面角的平面角。
设，则，，，。在中，由余弦定理知
。
3.【答案】：A
【分析与解答】：易知。在中，由中线长公式，知。
4.【答案】D
【分析与解答】：在直线上任取一点A，考虑A与直线b所成的平面与直线c有无交点。若存在交点C，则直线AC与直线b有交点B，则直线ABC与a,b,c均相交。若在直线a上的两点，与直线b组成的平面，均与直线c不相交，则，又与的交线为，这与为异面直线矛盾。所以由点A的任意性，知与均相交的直线有无穷多条。
5.【答案】B
【分析与解答】：设小球半径是。考虑其轴截面，如图①所示，利用大球与小球的球心距以及勾股定理，可得。考虑大球及小球在底面上的投影，如图②所示，则现在只要计算在一个半径为的圆内能放入多少个与之内切的半径为r的圆。考虑一个小圆对于大圆圆心的张角，其中。
① ②
6.【答案】C
【分析与解答】：设两球的半径为和，圆心为和，则在对角线上，。设主对角线为AB，，故，。
7.【答案】2
【分析与解答】：设，依题意知，且，所以。同理，，而是一个，，所以。所以。
8.【分析与解答】：（1）面，故AC是PC在底面ABCD上的射影。而，故由三垂线定理，知。
设高，由面，知。又，故，，即是直角三角形。
在中，，。
所以。（当时等号成立）
9.【分析与解答】：设n在平面上的投影为，点B在平面上的投影为C，C在上，与直线M交于D。由知，又，故，，所以面面。
现考虑四面体ABCD，其中，。设，由三面角公式，
，故m、n的夹角为。
10.【分析与解答】：（1）考虑PF在面上的射影，再用三角形全等易得其射影垂直于BE，故。
如图，在延长线上取点，使，则，，。
。
11.【分析与解答】：。在中，，，故。
又，故，即B到面的距离为。
12.【分析与解答】：（1）
。
在中，，故，
。
在面上的射影是，故。2022年高考数学尖子生强基计划专题12立体几何
真题特点分析：
1.【2020武大6】 两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 【2020武大7】空间图形的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.【2020武大17】在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_______________对．
【2020武大19】若空间三条直线，，两两异面，则与三条直线都相交的直线有_______________条．
答案：无数条
5.【2021清华8】已知四面体中，，则体积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
二、知识要点拓展
一．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
二．证明直线与平面垂直的思考途径：
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
三．空间的线线平行或垂直：设，，则：
1.平行：；
2.垂直：.
四．夹角公式：
设＝，＝，则.
推论 ，此即三维柯西不等式.
五．异面直线所成角：
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
六．直线与平面所成角：(为平面的法向量).
七．二面角的平面角：或（，为平面，的法向量）
八．空间两点间的距离公式 ：
若，，则 =.
九．点到平面的距离 ：
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
十．柱体、锥体的体积：
1.柱体：（是柱体的底面积、是柱体的高）
2.椎体：（是锥体的底面积、是锥体的高）
十一．长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
十二．球的表面积和体积公式：
1.球的表面积公式：（为球的半径）
2.球的体积公式：（为球的半径）
一．空间余弦定理
如图，平面、相交于直线l。为l上两点，射线在平面内，射线在平面内。已知，且都是锐角，是二面角的平面角，则
。
证明：在平面中，过作的垂线，交射线于点。
在平面中，过作的垂线，交射线于点。
设，则，
，并且就是二面角的平面角。
在与中，利用余弦定理，可得等式
，
所以，
故
二．射影面积公式：
在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为，此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为，又二面角的平面角度数为，则。
三．欧拉公式：
欧拉公式：设、和分别表示凸多边形体面、棱（或边）、顶点的个数，则。
利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。
事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是（面数）与的积的一半，即。①
同时，应是（顶点数）与的积的一半，即。②
由①、②，，代入欧拉公式中，有。
由于故。
显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3.
当时，易得；同理，时，。
综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体；时，即正十二面体；时，即正二十面体。
四．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
典例精讲
例1．（2011“华约”）两条异面直线互成，过空间中任一点A可以作出（ ）平面与两异面直线都成角。
一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
例2．（2011“卓越联盟”）在正方体中，E为棱的中点，F是棱上的点，且
，则异面直线EF与所成角的正弦值为（ ）。
（B） （C） （D）
例3．（2010复旦）设是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面的中心点，则P到侧面的对角线的距离是（ ）。
（B） （C） （D）
例4．（2012“卓越联盟”）直角梯形中，，，面垂直于底面。
求证：面垂直于面；
若，求二面角的正切值。
例5．（2010同济）如图5-1，四面体中，和为对棱。设，且异面直线与间的距离为，夹角为。
若，且棱垂直于平面，求四面体的体积；
当时，证明：四面体的体积为一定值；
求四面体的体积。
例6．（2008复旦）在如图14-9所示的三棱锥中，点、的中点以及的中点所决定的平面把三棱柱切割成不相同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为（ ）
（B） （C） （D）
例7．（2009清华）四面体中，。
求证：这个四面体的四个角都是锐角三角形；
设底面为，另外三个面与面所形成的二面角为。求证：。
图7-1 图7-2
例8．（2010五校联考）如图8-1，正四棱锥中，为PB中点，为PD中点，求两个棱锥的体积之比。
例9．（2001复旦）已知棱柱的底面是等腰三角形，，上底面的顶点在下底面的射影是的外接圆圆心，设，，棱柱的侧面积为。
证明：侧面和都是菱形，是矩形；
求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小；
求棱锥的体积。
真题训练
1（2010复旦）设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形为：
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
则该多面体的体积为（ ）
（B） （C） （D）
2.（2007复旦）已知四棱锥，底面是菱形，，，线段
，点E是AB的中点，点F是PD的中点，则二面角的平面角的余弦值为（ ）。
（B） （C） （D）
3.（2008复旦）棱长为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（ ）
（B） （C） （D）2
4.（2008复旦）若空间三条直线两两成异面直线，则与都相交的直线有（ ）。
（A）0条 （B）1条 （C）多于1的有限条 （D）无穷多条
5.（2010复旦）在一个底面半径为，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后。在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球。最多可以放入这样的小球的个数是（ ）
（A）32个 （B）30个 （C）28个 （D）26个
6.（2007复旦）棱长为的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球的半径之和为（ ）
无法确定 （B） （C） （D）
（2010同济）已知平面，点，点，AB与平面所成角分别为，点A、B在平面的交线上的垂足分别为，则线段与的比值为 。
8.（2004同济）设四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且。
求证：直线；
过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥的体积取到最大值，求此时四棱锥的高。
（2010五校联考）平面//平面，直线，点与面夹角为，，与的夹角为，求与的夹角。
10.（2007武大）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点。
求证：；
求四面体的体积。
（2004复旦）已知E为棱长为的正方体的棱AB的中点，求点B到平面的距离。
12.（2005复旦）在棱长为1的正方体中，分别为中点，求：
到面的距离；
二面角的平面角。2022年高考数学尖子生强基计划专题13排列组合二项式定理
一、真题特点分析：
1.【2020上海交大6】从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有_______________种不同的取法．
2.【2021中科大】设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球彺甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为________．
答案：
3.【2020年清华11】从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数（可以等于0），则的概率为（ ）．
A． B． C． D．
二、知识要点拓展
1.分类加法原理（加法原理）:.
2.分步计数原理（乘法原理）:.
3.排列数公式:==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.排列恒等式 ：
（1）； （2）； （3）；
(4) .
5.组合数公式：
===(，，且).
6.组合数的两个性质：
(1)= ； (2) +=；注:规定.
7.组合恒等式
（1）； （2）=； （3）；
(4)；
(5)；
(6)；
8.排列数与组合数的关系： .
9.二项式定理： ;
二项展开式的通项公式：.
几个基本组合恒等式：①；②；③；④；
⑤；⑥（范德蒙公式）。
不尽相异的个元素的全排列：在个元素中，有个元素相同，又另有个元素相同，。。。。，一直到另有个元素相同，且，这个元素的全排列叫做不尽相异的个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：。
从个元素里取个元素的环排列：从个不同元素中任取个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从个元素里取个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个个元素的环在个不同的位置拆开，即得个不同的线排列。由于个不同元素中任务个元素的排列方法种，所以个不同元素中任取个元素的环排列方法有种。特别地，个不同元素的环排列方法有（种）。
注：排列数，有些地方也记为。
一次不定方程的非负整数解的个数等于（或）；正整数解的个数等于（或）。
错位排列问题：设集合，所有元素的一种全排列，满足，则称这样的排列为错位全排列。用表示错位全排列总数，则。
排列、组合应用题常用的解法有：
①运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；②特殊元素（位置）优先考虑；③捆绑法；④插入法；⑤排除法；⑥机会均等法；⑦转化法。
证明组合恒等式的常用方法有：①赋值法；②母函数法；③构造组合模型法。
三、典例精讲
例1．（华南理工）在的展开式中，的系数为（ ）。
（B） （C） （D）
答案A
分析与解答：
的系数
。
例2．（2011“卓越联盟”）数列共有11项，，且。满足这种条件的不同数列的个数为（ ）
（A）100 （B）120 （C）140 （D）160
分析与解答：
依题意，或，设有个1，则有个-1，依题意知：，所以。从而所有这样的数列个数为。故选B。
例3．（复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？
分析与解答：
显然，四位数全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：
第一步，先考虑千位数字，有9种可能取法：1,2,3，。。。9
第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从中选出1个数码。
第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有种选法。
综上，共有四位数个。
例4．（复旦）三边均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）个。
（A）20 （B）26 （C）30 （D）36
答案：D
分析与解答：
不妨设三边长为，且，则。
若，，共1个；
若，共2个；
若，共3个；
若，共4个；
若，共5个；
若，共6个；
若，共5个；
若，共4个；
若，共3个；
若，共2个；
若，共1个。
故共有个。
例5．（同济）若多项式，则 。
答案：-10
分析与解答：
考虑两边的系数，易知。再考虑两边的系数，右边。
左边的系数为0，所以。
例6．（上海交大）中的系数为 。
答案：
分析与解答：
原式
，故的系数为。
例7．（上海交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或1（）。设，表示和中相对应的元素不同的个数。
问存在多少个5元数组，使得；
问存在多少个5元数组，使得；
令，求证：。
分析与解答：
（1）满足条件的数组共有个。
满足条件的数组共有个。
设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1、一项为0的共有个，这里，从而。
而，得证。
例8．8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.
分析：以1个女孩和2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素，显然这17个元素任意的圆排列是满足题意的．
分析： 先从25个男孩中选出9个男孩共有种可能。其次，上述17个元素的圆排列数为种. 再次，分在8个组内的16个男孩在16个位置上的排列是，所以总的排列方法数为：
．
例9．（北大）求证:对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。
分析与解答：
由二项式定理，
。
而，所以
，
，
当时，令，则，显然，且；
当时，令即可。
四、真题训练
1.（复旦）设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有（ ）种。
（B） （C） （D）
2.（复旦）在二项式的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3.（复旦）二项式的展开式中系数之比为的相邻两项是（ ）。
（A）第29、30项 （B）第33、34项
（C）第55、56项 （D）第81、82项
4.（复旦）5个不同元素排成一列，规定不许排第一，不许排第二，不同的排法共有（ ）
（A）64种 （B）72种 （C）78种 （D）84种
5.（复旦）设是由三个不同元素组成的集合，且是的子集族，满足性质：空集和属于，并且中任何两个元的交集和并集还属于。问所有可能的的个数为（ ）。
（A）29 （B）33 （C7）43 （D）59
6.（复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）
（A）120 （B）260 （C）340 （D）420
7.（复旦）在的展开式中有（ ）项为有理数。
（A）10 （B）11 （C）12 （D）13
8.（复旦）在集合中任选两个数作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数是（ ）
（A）70 （B）72 （C）80 （D）88
9.（武大）某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排，现在四辆车需要停放，若两车停放的车位必须相邻，则停放方式种数为（ ）。
（A）120 （B）48 （C）24 （D）12
10.（复旦）在的展开式中系数最大的项是（ ）。
第4,6项 （B）第5,6,项 （C）第5,7项 （D）第6,7项
11.（复旦）对所有满足的，极坐标方程表示的不同双曲线条数为（ ）。
（A）6 （B）9 （C）12 （D）15
12.（武大）a,b,c,d,e五人站成一排准备合影，如果a要求既不与b相邻，也不与c相邻，那么不同的排法有（ ）
（A）12种 （B）24种 （C）36种 （D）72种
13.（武大）设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这三个数仍能成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）。
（A）90个 （B）120个 （C）180个 （D）200个
14.（武大）如果9名同学分别到三个不同的工厂进行社会实践调查活动，每个工厂3人，那么不同的分配方案共有（ ）
种 （B）种 （C）种 （D）种
15.（武大）一个口袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中每次至少取一个球，共4次取完，那么不同的取球方式共有（ ）
（A）40种 （B）28种 （C）16种 （D）10种
16.（武大）在的展开式中，各项系数之和是（ ）。
（A）1 （B） （C）-1 （D）
真题训练答案
1.【答案】D
【分析与解答】：由条件，个盒子所放球只能为1个盒子放2个，其余个盒子放1个；其中放2个球盒子共有种选法放在一起的2个球共有种选法，其余个球放在个盒子中，共有种选法。
故不同放法共有种。
2.【答案】B
【分析与解答】：由条件，前3项系数分别为1、、，故解得。
从而，其中。要使为有理项，则，从而，故共有3项有理项。
3.【答案】B
【分析与解答】：，则
，故相邻两项为第33、34项。
4.【答案】C
【分析与解答】：若排第一，共有种排法；若排第二，共有种排法；若排第一且排第二，有种排法。由容斥原理，共有种不同排法。
5.【答案】A
【分析与解答】：按照集合所含元素个数分类。
若为二元集，即，共1个；
若为三元集，有、、、、、，共6个；
若为四元集，有、、、、、、、、，共9个；
若为五元集，有、、、、、，共6个；
若为六元集，有、、、、
、，共6个；
若为七元集，不存在集合满足要求；
若为八元集，即，共1个。
故共有个。
6.【答案】D
【分析与解答】：若用五种颜色，则共有种方法；若用四种颜色，共有种方法；若用三种颜色，由于四个侧面中任一个面确定下来，其余也随之确定，故共有种方法。从而不同染色方法共有种。
7.【答案】D
【分析与解答】：，要使其为有理数，则
。又，故，从而共有13项为有理数。
8.【答案】B
【分析与解答】：对椭圆，有，故落在矩形区域内的椭圆满足且，故共有个。
9.【答案】B
【分析与解答】：可停在共有4种可能，且可互换位置；可停在余下3个位置，共有种可能。故停放方式共有种。
10.【答案】C
【分析与解答】：，为偶数时，为奇数时，又，故或6时，最大，即为第5、7项。
11.【答案】A
【分析与解答】：离心率，故，从而，共有6条。
12.【答案】C
【分析与解答】：若相邻，将看成整体，共有种排法；若相邻，同理也有48种排法；若相邻且相邻，则将看成整体，有种，又可换，故此时共有种排法。从而所求排法数为种。
13.【答案】C
【分析与解答】：易知成等差数列当且仅当成等差数列，即，即只要与同奇偶就对应1个等差数列。
令，则、同属于A或同属于B，从而不同等差数列共有个。
14.【答案】A
【分析与解答】：9个人中先选3个人到第一个工厂，再在余下6个人中选3个人到第二个工厂，那么剩下的3个人去第三个工厂，共有种方案。
15.【答案】B
【分析与解答】：4次中有1次取2个球，则这一次共有4种可能。所取2个球若为2个白球，则剩下3个红球，只有1种可能；
若所取为2个红球则剩下1个红球和2个白球，可能为红、白、白或白、红、白或白、白、红，有3种可能；
若所取为1个红球1个白球，则剩下2个红球和1个白球，同理有3种可能。
故不同的取球方式有种。
16.【答案】D
【分析与解答】：设，令，得。
五、强化训练
A组
1、（华南理工）在的展开式，的系数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】易知的系数为
故选A。
2、（复旦）在二项式的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【详解】易知或1（舍），则，若是有理项，只需是的倍数即可，故可取，共3项，故选B。
3、（复旦）5个不同元素排成一列，规定不许排第一，不许排第二，不同的排法共有（ ）
（A）64种 （B）72种 （C）78种 （D）84种
【详解】当排第一时，有种方法；当不排第一时，，共种，故选C。
4、（复旦）设是由三个不同元素所组成的集合，且是的子集族，满足性质：空集和属于，并且中任何两个元的交集和并集还属于。问所有可能的的个数为（ ）
（A）29 （B）33 （C）43 （D）59
【详解】可以T的元素个数来讨论，若T为二元集，则只有1个；若T为三元集，有共6个；若T为四元集，有等共9个；若T为五元集，有等共6个；若T为六元集，有等共6个；若T为七元集，有0个；若T为八元集，即包含所有子集，即1个，共计29个，故选A。
5、（复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）
（A）120 （B）260 （C）340 （D）420
【详解】共有5个顶点，若用五种颜色，则种；若用4种颜色，共有种；若用3种颜色，则必有一个侧面确定下来，剩下两点也能够确定，故共有种，故共有420种方法，选D。
6、（复旦）求在十进制中最后4位 。
【详解】，易得末尾4位为，即。
7、10人围圆桌而坐，如果甲、乙两个中间相隔4个，有多少种坐法？
【详解】甲固定座好，则乙有两种坐法，其他8人全排列，共有种坐法。
8、（交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或。设，表示和中相对应的元素不同的个数。
（1），问存在多少个5元数组，使得；
（2），问存在多少个5元数组，使得；
（3）令，，求证：。
【详解】（1）；（2）；（3）设中对应项同时为0的有个，同时为1的有个，则不同的项共有项，而，即，而，得证。
9、（复旦）设，计算：
（1）的不同取值个数；
（2）的所有不同取值的积与和。
【详解】（1）易知由组成，故有个不同取值；
（2）易知中出现1个2和2个2的可能性是相同的，均为次，同理可得，出现1个、2个、3个3的可能性也相同，均为18次，出现1、2、3、4、5个5均为12次，所以的所有不同取值的积为；和为。
B组
1、（北大）求证：对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。
【详解】
，
，
则，
，
则，即当时，；
当时，，则得证。
2、（北大）在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
【详解】此题是组合与数论的综合题，将1~2012分成三组数，分别被3除余0、1、2，
，
，
，
后面两组元素最多，如，任意两数之差都是3的倍数，而两数之和被3除的余数为2，显然不能被3整除，显然符合；若取672个数，则必有两个数之差小于3，若为1，则显然可整数两数之和，若为2，则两数同奇同偶，2能够整除两数之和，综上，至多能选取671个数。
3、（交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛。规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。比赛结束后前两名可以晋级。
（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。于是
甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；
乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
（2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？13分
【详解】（1）乙专家说的对，若中国队得10分，可能会出现其余三队12分、10分、3分的情况，因此中国队无法确保晋级；
而中国队若得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一、二名不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛在无平局情况下只有36分，前三名11分、最后一名3分，而11分则意味着出现平局，则出现矛盾，故乙专家说的对。
（2）若12分，可能出现如下情况：
澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分
澳 3 0 3 0 3 3 12
中 0 3 0 3 3 3 12
卡 0 3 3 0 3 3 12
伊 0 0 0 0 0 0 0
仍然无法晋级。而13分则必能出线，因为若13分为第三名，则前三名则已达39分，超过最大了36分，矛盾，即13分确保出线。
4、（北大）某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶。问：不及格者与优秀者哪个多？
【详解】设不及格有人，优秀有人，其余有人，假设，
若，则每个人都至少做对了4题，即至少做对了，矛盾；
若，则至少做对了，矛盾；
若，则由于333是奇数，得，至少共做对了，当且仅当所有不及格者都对了0道，所有优秀者都恰对了6道，其他人都恰对了4道（且），此时同时为偶，矛盾，故假设不成立，则，故不及格。
5、（清华特色）长为的木棒（为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最小者严格小于最短者长度的2倍。例如长为4的木棒可以锯成两段，而长为7的木棒第一次可以锯成，第二次可以再将长为4的木棒锯成，这时三段不能再锯。问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？
【详解】最小长度最多2段，否则若有3段，则任两段之和都不小于两倍最小长度，矛盾。
至多可为6段：3012、188、10、126、6、8、105、5、6、6、84、4、5、5、6、6。
若可为7段，则最大的一段若超过6，则最短的至少为4，那么总长度不小于31了，矛盾。故最大的一段不超过6.显然，最大的一段不小于5.
最大一段为5，则最小一段不小于3，而总和为30的情况只有：
3、3、4、5、5、5、5；3、4、4、4、5、5、5；4、4、4、4、4、5、5（与最小长度至多2段矛盾）
1）第一种情况，，剩4、5、5、5、5、5、6，第二步只能，剩5、5、5、5、6、9，与最小长度至多2段矛盾；
2）第二种情况，，剩4、4、5、5、5、7，第二步只能，剩5、5、5、7、8，与最小长度至多2段矛盾。
最大一段为6，则最小一段不小于4，情况有4、4、4、4、4、4、6，与最小长度至多2段矛盾。
所以，无法锯成7段。
而若要锯成超过7段，必经历7段，无法实现，故至多6段。2022年高考数学尖子生强基计划专题13排列组合二项式定理
一、真题特点分析：
1.【2020上海交大6】从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有_______________种不同的取法．
2.【2021中科大】设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球彺甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为________．
答案：
3.【2020年清华11】从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数（可以等于0），则的概率为（ ）．
A． B． C． D．
二、知识要点拓展
1.分类加法原理（加法原理）:.
2.分步计数原理（乘法原理）:.
3.排列数公式:==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.排列恒等式 ：
（1）； （2）； （3）；
(4) .
5.组合数公式：
===(，，且).
6.组合数的两个性质：
(1)= ； (2) +=；注:规定.
7.组合恒等式
（1）； （2）=； （3）；
(4)；
(5)；
(6)；
8.排列数与组合数的关系： .
9.二项式定理： ;
二项展开式的通项公式：.
几个基本组合恒等式：①；②；③；④；
⑤；⑥（范德蒙公式）。
不尽相异的个元素的全排列：在个元素中，有个元素相同，又另有个元素相同，。。。。，一直到另有个元素相同，且，这个元素的全排列叫做不尽相异的个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：。
从个元素里取个元素的环排列：从个不同元素中任取个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从个元素里取个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个个元素的环在个不同的位置拆开，即得个不同的线排列。由于个不同元素中任务个元素的排列方法种，所以个不同元素中任取个元素的环排列方法有种。特别地，个不同元素的环排列方法有（种）。
注：排列数，有些地方也记为。
一次不定方程的非负整数解的个数等于（或）；正整数解的个数等于（或）。
错位排列问题：设集合，所有元素的一种全排列，满足，则称这样的排列为错位全排列。用表示错位全排列总数，则。
排列、组合应用题常用的解法有：
①运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；②特殊元素（位置）优先考虑；③捆绑法；④插入法；⑤排除法；⑥机会均等法；⑦转化法。
证明组合恒等式的常用方法有：①赋值法；②母函数法；③构造组合模型法。
三、典例精讲
例1．（华南理工）在的展开式中，的系数为（ ）。
（B） （C） （D）
答案A
分析与解答：
的系数
。
例2．（2011“卓越联盟”）数列共有11项，，且。满足这种条件的不同数列的个数为（ ）
（A）100 （B）120 （C）140 （D）160
分析与解答：
依题意，或，设有个1，则有个-1，依题意知：，所以。从而所有这样的数列个数为。故选B。
例3．（复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？
分析与解答：
显然，四位数全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：
第一步，先考虑千位数字，有9种可能取法：1,2,3，。。。9
第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从中选出1个数码。
第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有种选法。
综上，共有四位数个。
例4．（复旦）三边均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）个。
（A）20 （B）26 （C）30 （D）36
答案：D
分析与解答：
不妨设三边长为，且，则。
若，，共1个；
若，共2个；
若，共3个；
若，共4个；
若，共5个；
若，共6个；
若，共5个；
若，共4个；
若，共3个；
若，共2个；
若，共1个。
故共有个。
例5．（同济）若多项式，则 。
答案：-10
分析与解答：
考虑两边的系数，易知。再考虑两边的系数，右边。
左边的系数为0，所以。
例6．（上海交大）中的系数为 。
答案：
分析与解答：
原式
，故的系数为。
例7．（上海交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或1（）。设，表示和中相对应的元素不同的个数。
问存在多少个5元数组，使得；
问存在多少个5元数组，使得；
令，求证：。
分析与解答：
（1）满足条件的数组共有个。
满足条件的数组共有个。
设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1、一项为0的共有个，这里，从而。
而，得证。
例8．8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.
分析：以1个女孩和2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素，显然这17个元素任意的圆排列是满足题意的．
分析： 先从25个男孩中选出9个男孩共有种可能。其次，上述17个元素的圆排列数为种. 再次，分在8个组内的16个男孩在16个位置上的排列是，所以总的排列方法数为：
．
例9．（北大）求证:对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。
分析与解答：
由二项式定理，
。
而，所以
，
，
当时，令，则，显然，且；
当时，令即可。
三、真题训练
1.（复旦）设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有（ ）种。
（B） （C） （D）
2.（复旦）在二项式的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3.（复旦）二项式的展开式中系数之比为的相邻两项是（ ）。
（A）第29、30项 （B）第33、34项
（C）第55、56项 （D）第81、82项
4.（复旦）5个不同元素排成一列，规定不许排第一，不许排第二，不同的排法共有（ ）
（A）64种 （B）72种 （C）78种 （D）84种
5.（复旦）设是由三个不同元素组成的集合，且是的子集族，满足性质：空集和属于，并且中任何两个元的交集和并集还属于。问所有可能的的个数为（ ）。
（A）29 （B）33 （C7）43 （D）59
6.（复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）
（A）120 （B）260 （C）340 （D）420
7.（复旦）在的展开式中有（ ）项为有理数。
（A）10 （B）11 （C）12 （D）13
8.（复旦）在集合中任选两个数作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数是（ ）
（A）70 （B）72 （C）80 （D）88
9.（武大）某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排，现在四辆车需要停放，若两车停放的车位必须相邻，则停放方式种数为（ ）。
（A）120 （B）48 （C）24 （D）12
10.（复旦）在的展开式中系数最大的项是（ ）。
第4,6项 （B）第5,6,项 （C）第5,7项 （D）第6,7项
11.（复旦）对所有满足的，极坐标方程表示的不同双曲线条数为（ ）。
（A）6 （B）9 （C）12 （D）15
12.（武大）a,b,c,d,e五人站成一排准备合影，如果a要求既不与b相邻，也不与c相邻，那么不同的排法有（ ）
（A）12种 （B）24种 （C）36种 （D）72种
13.（武大）设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这三个数仍能成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）。
（A）90个 （B）120个 （C）180个 （D）200个
14.（武大）如果9名同学分别到三个不同的工厂进行社会实践调查活动，每个工厂3人，那么不同的分配方案共有（ ）
种 （B）种 （C）种 （D）种
15.（武大）一个口袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中每次至少取一个球，共4次取完，那么不同的取球方式共有（ ）
（A）40种 （B）28种 （C）16种 （D）10种
16.（武大）在的展开式中，各项系数之和是（ ）。
（A）1 （B） （C）-1 （D）
五、强化训练
A组
1、（华南理工）在的展开式，的系数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、（复旦）在二项式的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3、（复旦）5个不同元素排成一列，规定不许排第一，不许排第二，不同的排法共有（ ）
（A）64种 （B）72种 （C）78种 （D）84种
4、（复旦）设是由三个不同元素所组成的集合，且是的子集族，满足性质：空集和属于，并且中任何两个元的交集和并集还属于。问所有可能的的个数为（ ）
（A）29 （B）33 （C）43 （D）59
5、（复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）
（A）120 （B）260 （C）340 （D）420
6、（复旦）求在十进制中最后4位 。
7、10人围圆桌而坐，如果甲、乙两个中间相隔4个，有多少种坐法？
8、（交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或。设，表示和中相对应的元素不同的个数。
（1），问存在多少个5元数组，使得；
（2），问存在多少个5元数组，使得；
（3）令，，求证：。
9、（复旦）设，计算：
（1）的不同取值个数；
（2）的所有不同取值的积与和。
B组
1、（北大）求证：对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。
2、（北大）在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
3、（交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛。规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。比赛结束后前两名可以晋级。
（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。于是
甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；
乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
（2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？13分
4、（北大）某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶。问：不及格者与优秀者哪个多？
5、（清华特色）长为的木棒（为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最小者严格小于最短者长度的2倍。例如长为4的木棒可以锯成两段，而长为7的木棒第一次可以锯成，第二次可以再将长为4的木棒锯成，这时三段不能再锯。问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？2022年高考数学尖子生强基计划专题14概率统计
真题特点分析：
【2020中科大】已知为的排列，若且，则为顺序对，设为的顺序对的个数，则_______________．
2.【2021中科大】抛掷一个均匀的骰子次，记该过程中出现的最大数字为，则________．
答案：
二、知识要点拓展
一．随机事件的概率
1.随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用大写英文字母等来表示；
2.确定事件
（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。
3.事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=。
说明：使用公式P（A）=计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。
二．互斥事件的概率
1.相关概念
（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；
（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。
2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。
从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
2.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1。
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）。
对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
说明：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。
三．独立事件的概率
1.相关概念
（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。
（2）独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k。
2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
（1）相互独立也是研究两个事件的关系；
（2）所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。
注意互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。
3.事件A与B的积记作A·B，A·B表示A与B同时发生。
当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别。·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=。
离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（）的概率，则称下表为随机变量的概率分布，简称为的分布列。
...... ......
...... ......
数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为
...... ......
...... ......
则称为的数学期望（平均数，均值），简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若（二项分布），则。
二项分布：
（1）定义：如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是：（其中）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中
为参数，并记.
（2）二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：“”表示在第次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把次试验时事件发生记为，事不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.
1 2 3 … …
… …
我们称服从几何分布，并记，其中
5.几何概型
（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
（2）在几何概型中，事件的概率的计算公式为：
．
（3）古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个．
（4）几何概型的两个特征：
①试验结果有无限多； ②每个结果的出现是等可能的．
事件可以理解为区域的某一子区域，事件的概率只与区域的度量（长度、面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关．
（5）解决几何概型的求概率问题
关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
三、典例精讲
例1．（复旦）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为。现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ）。
（B） （C） （D）
分析与解答：
先考虑一个母细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率。
这个概率应是。
故两个这样的细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率为，选A。
例2．（复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）。
（B） （C） （D）
答案：D
分析与解答：
首先，一个正整数的三次方的个位数是1的正整数个位数字也必须是1.其次可试得1-100中只有71符合要求。而且末两位是71的均符合要求。故选D。
例3．体育彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
分析与解答：
体育彩票应本36个号码的36个球大小、重量等应该是一致的，严格说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形，和没有用过的球一样．
　　因此，当你把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．
例4．（复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）
（B） （C） （D）
答案：C
分析与解答：
如图一，若为锐角三角形，当且仅当的长度均小于。不妨设，则为锐角三角形的充要条件是
由于，即为一个三角形MNP平面（如图二），且对应的点是是三条中位线围成的小三角形。故由几何概率模型知，所求构成锐角三角形的概率为。故选C。
图一： 图二：
例5．（清华）系统内有个元件，每个元件正常工作的概率为，，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率，并讨论的单调性。
分析与解答：
个元件中，恰有个正常工作，求系统正常工作的概率；恰有个元件正常工作的概率为恰有个元件正常工作的概率为。故。
当有个元件时，考虑前个元件，为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作。
①前个元件中恰有个正常工作，它的概率为。此时后两个元件必须同时正常工作。所以这种情况下系统正常工作的概率为；
②前个元件中恰有个正常工作，它的概率为，此时后两个至少有一个正常工作即可。所以这种情况下系统正常工作的概率为。
③前个元件中至少有个元件正常工作，它的概率为。此时系统一定正常工作。
故。
（这里用到）
。
故，当时，；
当时，；
当时，。
例6．（清华）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次正面向上的概率为，
求；
写出的递推公式，并指出单调性；
是否存在？有何统计意义。
分析与解答：
（1）显然，；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故。
共分三种情况：①如果第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；②如果第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；③如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是。
综上，，。
由上知，，④所以⑤，④-⑤，有
所以时，单调递减，又易见。
由（2）知时，单调递减，且显然有下界0，所以的极限存在，对两边同时取极限可得。
其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者鼻子和趋近于零。
注：本题第三问用到了下面定理：单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必有极限。
例7．（复旦）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
求的数学期望；
设，求；
证明：的数学期望。
分析与解答：
（1）时，袋中白球的个数可能是个（即取出的是白球），概率为；也可能为个（即取出的是黑球），概率为，故。
首先；时，第次取出来有个白球的可能性有两种：
第次袋中有个白球，显然 每次取球后，球的总数保持不变，即个，（故此时黑球有个。）第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为。
第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次球的总数为个，故此时黑球的个数是。这种情况发生的概率为。
故。
第次白球的个数的数学期望分为两类：
①若第次取出来的是白球，由于每次白球和黑球的总个数是，这种情况发生的概率是，此时白球的个数的数学期望为；
②若第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是，此时白球的个数变为。
故
。
例8．（北大）已知基因型为AA、Aa、aa的比例为，且。
求子一代AA、Aa、aa的比例；
子二代与子一代比例是否相同？
分析与解答：
（1）父亲的基因有AA、Aa、aa三种情况，母亲的基因也有AA、Aa、aa三种情况，故搭配起来有9种情况，我们把它列表如下：
父母 AA,AA AA,Aa AA,aa Aa,AA Aa,Aa Aa,aa aa,AA aa,Aa aa,aa
AA u2 uv 0 uv v2 0 0 0 0
Aa 0 uv uw uv 2v2 vw wu wv 0
aa 0 0 0 0 v2 vw 0 wv w2
我们把每行数据相加可得
这就是子一代三种基因型的比例。
设，上式即，且。由于，将分别看成，则由（1）的结论可知，子二代的AA、Aa、aa的比例为
故子二代与子一代比例相同。
注：这是一道源自生物学的概率问题，凸现了自主招生考试中注重数学知识和其他科目的整合，考查学生应用数学知识解决问题的能力。
真题训练
1.（复旦）一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0.1.将这批衬衣逐渐检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为（ ）。
（A）0.271 （B）0.243 （C）0.1 （D）0.081
2.（复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1:3.已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
（B） （C） （D）
3.（复旦）复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连。问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（ ）
（B） （C） （D）
4.（武大）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：
组距 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在上的频率为（ ）。
（B） （C） （D）
5.（武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分到同一车间的概率是（ ）
（B） （C） （D）
6.（华南理工）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲：平均能赢两盘，某日，甲、乙进行五打三制胜赛，那么甲胜出的概率为 。
7.（同济）从1-100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是 。
8.（上海交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生打完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。
9.（同济）从0,1,2，。。。9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概率是 （用分数给出答案）。
10.（南大）设是随机事件，且。则 。
11.（浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：（1）任意一局甲胜的概率；（2）第局甲胜的概率。
12.（武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中。
求箱子中两球都是红球的概率；
记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。
13.（复旦），求：（1）有交点的概率；（2）求交点个数的数学期望。
真题训练答案
1.【答案】A
【分析与解答】：考虑三次检验中，没有一件是二等品的概率是，故所求概率为。
2.【答案】A
【分析与解答】：设甲袋共有个球，则乙袋中有个球，且甲袋中红球有个，而甲、乙两袋共有红球个，故乙袋中有红球个，从而所求概率为。
3.【答案】A
【分析与解答】：先排一班和其它班，将一班3人看成整体共有种排法，又3人内部有种可能，再将二班两位同学插在7个空隙中，有种可能，从而所求概率为。
4.【答案】D
【分析与解答】：所求频率为
5.【答案】C
【分析与解答】：不妨设甲车间有2名钳工，则甲车间有1名车工、2名钳工，还有1名其他工人，这时共有种方法；同理，若乙车间有2名钳工，也有种方法。故所求概率为
6.【答案】
【分析与解答】：分三种情况讨论：打满五盘甲胜出有6种情况。记“√”表示甲胜，“×”表示乙胜，即有√√××√；√×√×√；√××√√；×√√×√；×√×√√；××√√√。概率为：
；
打四盘甲胜出有3种情况，即√×√√；√√×√；×√√√。概率为；
打三盘甲胜出只有1种情况，即√√√，概率为。
所以甲胜出的概率为：。
7.【答案】
【分析与解答】：设取2个数为，且设，由。
若，共48种；若，共46种；…若，共2种。
故所求概率为。
8.【答案】
【分析与解答】：要不打扰考生则必须每次在两旁的人离开，即每次有2种选择，故共有种可能，故所求概率为。
9.【答案】
【分析与解答】：末两位只能是25、50或75.
对于末两位为25或75，若含有0，则有个，若不含0，则有个，从而共有个符合要求的五位数。
对于末两位为50，共有个符合要求。
从而所求概率是。
10.【答案】
【分析与解答】：，而
。
11.【分析与解答】：（1）
。
设第局甲胜的概率为，则
，其中，
，故
。
12.【分析与解答】：（1）。
（2）取出两球必须是一红一白，。
13.【分析与解答】：（1）设圆心到直线的距离为，若有交点，则。时，；时，；时，
；时，；时，。共种情况；所以。
交点个数为0时，直线与圆相离，有6种情况；
交点个数为1时，直线与圆相切，，只有；
交点个数为2时，由（1）知直线与圆相交，有18种情况。
所以。
五、强化训练
A组
1、（交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。
【详解】本题从反面考虑，如不打扰其余同学，则只有两边的同学先交卷，即。
2、（交大）甲乙两厂生产同一种商品，甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%，若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 。
【详解】。
3、（科大）已知正方体各个面的中心，甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个，则构成两个三角形全等的概率是 。
【详解】这6个点组成的等边三角形有8个，等腰直角三角形有12个，故构成两个三角形全等的概率是。
4、（武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分配到同一个车间的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】车工一边一个，而钳工则有一边是2个，故，故选C。
5、（复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1：3。已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】设甲袋中有个球，则乙中个球，甲中红球个，而总红球个数为，则乙中红球个数为，则乙袋中摸到红球的概率的概率为，故选A。
6、（复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】只有个位为1的数的3次方的个位才是1，而当个位为1时，只有十位为7时，3次方的十位是1，故所有的正整数中，只有最后两位是71时才满足题意，即概率为，故选D。
7、（复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】为使出现锐角三角形，三边对应的圆周角都小于90度，即，建立以为三轴的空间直角坐标系，则平面在第一卦限内满足三个不等条件（即一个边长为90的正方体内部）的部分为，故选C。
8、（武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中，
（1）求箱子中两球都是红球的概率；
（2）记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。
【详解】（1）；（2）取出的两球必须是一红一白，。
B组
1、（清华）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机、B影碟机、C线路、D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示。能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果。
求：（1）能听到立体声效果的概率；
（2）听不到声音的概率。
【详解】（1）；
（2）。
2、（浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：
第一局甲胜的概率；
第局甲胜的概率。
【详解】（1）；
（2）设第局甲胜的概率为，则，又，用待定系数法易知。
3、（清华）随机挑选一个三位数I。
（1）求I含有因子5的概率；
（2）求I中恰有两个数码相等的概率。
【详解】（1）含有因子5的三位数共有个，而三位数共900个，从而概率为；（2）若不含0，设两个数码为且不相等，则三位可能为共6种情况，此时共有个；若含有0，当0有2个时，显然只有9个符合题意；当0只有一个时，有个满足题意，故共有个三位数，概率为。
4、（卓越）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
求的数学期望；
设，求；
证明：的数学期望。
【详解】（1）可能的取值为或，分别对应的概率为和，即；
（2）若，则或，故；
（3），即。
5、（清华特色考试）在蒲丰投针试验中，平行线间距为，针长为，试求针与线相交概率与的关系，并求什么情况下概率是。
【详解】令M表示针的中点，表示针投在平面上时，M与最近一条平行线的距离，表示针与最近一条平行线的交角，显然。
则的图像为一个矩形，而是针与平行线相交的充分必要条件，故只需在矩形中满足上面不等式的面积即满足条件，故，即，即。2022年高考数学尖子生强基计划专题14概率统计
真题特点分析：
【2020中科大】已知为的排列，若且，则为顺序对，设为的顺序对的个数，则_______________．
2.【2021中科大】抛掷一个均匀的骰子次，记该过程中出现的最大数字为，则________．
二、知识要点拓展
一．随机事件的概率
1.随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用大写英文字母等来表示；
2.确定事件
（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。
3.事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=。
说明：使用公式P（A）=计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。
二．互斥事件的概率
1.相关概念
（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；
（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。
2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。
从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
2.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1。
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）。
对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
说明：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。
三．独立事件的概率
1.相关概念
（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。
（2）独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k。
2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
（1）相互独立也是研究两个事件的关系；
（2）所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。
注意互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。
3.事件A与B的积记作A·B，A·B表示A与B同时发生。
当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别。·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=。
离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（）的概率，则称下表为随机变量的概率分布，简称为的分布列。
...... ......
...... ......
数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为
...... ......
...... ......
则称为的数学期望（平均数，均值），简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若（二项分布），则。
二项分布：
（1）定义：如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是：（其中）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中
为参数，并记.
（2）二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：“”表示在第次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把次试验时事件发生记为，事不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.
1 2 3 … …
… …
我们称服从几何分布，并记，其中
5.几何概型
（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
（2）在几何概型中，事件的概率的计算公式为：
．
（3）古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个．
（4）几何概型的两个特征：
①试验结果有无限多； ②每个结果的出现是等可能的．
事件可以理解为区域的某一子区域，事件的概率只与区域的度量（长度、面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关．
（5）解决几何概型的求概率问题
关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
三、典例精讲
例1．（复旦）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为。现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ）。
（B） （C） （D）
例2．（复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）。
（B） （C） （D）
例3．体育彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
例4．（复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）
（B） （C） （D）
例5．（清华）系统内有个元件，每个元件正常工作的概率为，，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率，并讨论的单调性。
例6．（清华）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次正面向上的概率为，
求；
写出的递推公式，并指出单调性；
是否存在？有何统计意义。
例7．（复旦）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
求的数学期望；
设，求；
证明：的数学期望。
例8．（北大）已知基因型为AA、Aa、aa的比例为，且。
求子一代AA、Aa、aa的比例；
子二代与子一代比例是否相同？
四、真题训练
1.（复旦）一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0.1.将这批衬衣逐渐检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为（ ）。
（A）0.271 （B）0.243 （C）0.1 （D）0.081
2.（复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1:3.已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
（B） （C） （D）
3.（复旦）复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连。问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（ ）
（B） （C） （D）
4.（武大）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：
组距 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在上的频率为（ ）。
（B） （C） （D）
5.（武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分到同一车间的概率是（ ）
（B） （C） （D）
6.（华南理工）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲：平均能赢两盘，某日，甲、乙进行五打三制胜赛，那么甲胜出的概率为 。
7.（同济）从1-100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是 。
8.（上海交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生打完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。
9.（同济）从0,1,2，。。。9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概率是 （用分数给出答案）。
10.（南大）设是随机事件，且。则 。
11.（浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：（1）任意一局甲胜的概率；（2）第局甲胜的概率。
12.（武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中。
求箱子中两球都是红球的概率；
记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。
13.（复旦），求：（1）有交点的概率；（2）求交点个数的数学期望。
五、强化训练
A组
1、（交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。
2、（交大）甲乙两厂生产同一种商品，甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%，若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 。
3、（科大）已知正方体各个面的中心，甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个，则构成两个三角形全等的概率是 。
4、（武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分配到同一个车间的概率为（ ）
5、（复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1：3。已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、（复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、（复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、（武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中，
（1）求箱子中两球都是红球的概率；
（2）记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。
B组
1、（清华）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机、B影碟机、C线路、D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示。能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果。
求：（1）能听到立体声效果的概率；
（2）听不到声音的概率。
2、（浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：
第一局甲胜的概率；
第局甲胜的概率。
3、（清华）随机挑选一个三位数I。
（1）求I含有因子5的概率；
（2）求I中恰有两个数码相等的概率。
4、（卓越）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
求的数学期望；
设，求；
证明：的数学期望。
5、（清华特色考试）在蒲丰投针试验中，平行线间距为，针长为，试求针与线相交概率与的关系，并求什么情况下概率是。2022年高考数学尖子生强基计划专题15：解析几何一
真题特点分析：
1.【2020武汉大学1 】设圆半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
2.【2020年清华大学】在非等边中，，若和分别为的外心和内心，在线段上，且满足，则下列选项正确的是（ ）．
A．，，，四点共圆 B．
C． D．
3.【2021年清华大学】在中，为的中点，，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
答案：B
知识要点拓展
一、知识精讲
点到直线的距离 ：(点,直线：).
2.圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程
(圆的直径的端点是、).
3.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
4.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
①;
②;
③.
其中.
5.椭圆的参数方程是.
6.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上，，
焦点在轴上）.
7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或
（
三角形四心的坐标
设三边的长度分别为a,b,c，三个顶点A、B、C的坐标分别记为、、，则重心G、内心I、垂心H、外心O坐标分别为、、、。
直线系
若直线与直线相交于P，则它们的线性组合（，且不全为0）（*）表示过P点的直线系。当参数为一组确定的值时，（*）表示一条过P点的直线。特别的，当时，（*）式即；当时，（*）式即为。对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.
又若与平行，这时（*）式表示所有与平行的直线。
3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.
备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为，圆半径为，则这个定值为.
①当定点在圆内时，，等于过定点的最小弦的一半的平方；
②当定点在圆上时，；
③当定点在圆外时，，等于从定点向圆所引切线长的平方.
特别地，我们把称为定点对于圆的幂.
4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．
对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
5.各曲线的定义：
（1）椭圆：；
（2）双曲线：；
（3）抛物线：．
6.圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为一个常数的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）．
当时，曲线是椭圆；当时，曲线是双曲线；当时，曲线是抛物线．这个定点叫做曲线的焦点，定直线叫做曲线的准线，定点到定直线的距离叫做焦参数．
7.圆锥曲线的标准方程：
（1）椭圆：，；
（2）双曲线：，（）；
（3）抛物线：，，，（）．
备注：比值叫圆锥曲线的离心率，其中。
典例精讲
例1．（复旦）椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是（ ）。
（A）11 （B） （C） （D）
分析与解答：由平面几何知识，椭圆上的点到圆上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆圆心为，是椭圆上的点，则
（当时取等号）。故所求距离最大值为11.
注：或者考虑与的相交情况，用判别式法解决。
例2．（复旦）抛物线，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。
证明：是的等差中项；
若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程。
分析与解答：
（1）设，由抛物线定义知。
又中垂线交轴于，故
，因为，所以，，故
，是的等差中项。
因为，所以。设，。圆心。设直线的方程为。由于弦长为定值，故为定值，这里R为圆的半径，d为圆心到的距离。
。
令，即时，为定值，故这样的直线的方程为。
例3．（复旦）已知抛物线，直线都过点且互相垂直。若抛物线与直线中至少有一条相交，求实数的取值范围。
分析与解答：
先看的情形，如图13-8，显然，无论在抛物线形内，还是在形外。与始终至少有一条相交，故符合题意。
若，过作抛物线的切线，设这两条切线的张角为。若，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与不相交，（如图13-9）；若，则过的两条直线中，必有一条与相交（如图13-10）。
图13-8 图13-9 图13-10
于是，原问题转化为如下一个问题：过作抛物线的切线，这两条切线对抛物线的张角。
设过的切线方程为，由，知。
令。设方程两根为，则。由韦达定理，，故。
综上，的取值范围是。
例4．设，常数，定义运算“”：，定义运算“”： ；对于两点、，定义.
(1)若，求动点的轨迹；
(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；
(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q , 试求的取值范围。
分析与解答：(1)设
则
又由≥0可得
P(,)的轨迹方程为，轨迹C为顶点在原点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分
(2) 由已知可得 , 整理得,
由 ,得．∵，∴
∴
,
解得或(舍) ；
(3)∵
∴
设直线,依题意,，则,分别过P、Q作PP1⊥y轴，QQ1⊥y轴，垂足分别为P1、Q1，则．
由消去y得
∴≥
．
∵、取不相等的正数，∴取等的条件不成立
∴的取值范围是（2，+）．
例5．（清华）抛物线的焦点为，弦过，原点为，抛物线准线与轴交于点，，求。
分析与解答：
解法一：设，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为，依抛物线定义知，所以，所以
。
同理，，所以。
解法二：AB：代入抛物线中，，，所以
。所以又
，所以。
例6．（北大）已知点，若点C是圆上的动点，求面积的最小值。
分析与解答：
圆的方程。设到AB：的距离为d，则
。
因为。所以，所以
。当C点的坐标取时，的面积有最小值。
例7.（交大）如图，在上，
关于抛物线对称轴对称。过点作切线，切线，
点到距离分别为，。
试问：是锐角、钝角还是直角三角形？
若的面积是240，求的坐标和的方程。
分析与解答：
（1）对求导，。设，由导数的几何意义知BC的斜率。由题意知，设，，则
。从而。
，
，
，再结合知，故是直角三角形。
由（1），不妨设C在AD上方，AB的方程为。由得到另一个交点。
AC方程为，由得到另一个交点。
，
，
所以，解得，故或。
时，，BC的方程为。
时，，BC的方程为。
注：此题的关键是证明。
四、真题训练
1.（复旦）抛物线的准线方程为（ ）
（B） （C） （D）
2.对于直角坐标平面内任意两点、，定义它们之间的一种“新距离”：
.给出下列三个命题：
①若点在线段上. 则 ；
②在中，若,则；
③在中，。
其中的真命题为 ( )
A. ①②③ B. ①② C. ① D. ②③
3.（复旦）极坐标方程为常数）所表示的曲线是（ ）。
圆或直线 （B）抛物线或双曲线 （C）双曲线或椭圆 （D）抛物线或椭圆
4.（复旦）参数方程所表示的函数是（ ）。
图像关于原点对称 （B）图像关于直线对称
（C）周期为的周期函数 （D）周期为的周期函数
在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为。
在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为直线上的动点， 则的最小值为 。
7.（“卓越联盟”）如图，是圆的直径，于，且，是圆的切线，交于。
求；
连结，判断与的关系。并加以证明。
8.（北大）求过两抛物线交点的直线方程。
9.（同济）如图，已知动直线经过点，交抛物线于两点，坐标原点是的中点，设直线的斜率分别为。
证明：；
当时，是否存在垂直于x轴的直线，被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由。
10.（上海交大）是圆与上的点，求的最小值。
真题训练答案
1.【答案】B
【分析与解答】：令则原抛物线方程为，其准线方程为，故原抛物线的准线方程为。
2.【答案】C
3.【答案】D
【分析与解答】：由知识拓展圆锥曲线的统一极坐标方程知：
，。故为椭圆或抛物线（当且仅当时取抛物线）。
4.【答案】C
【分析与解答】：，
，
即，故是以为周期的周期函数。
5.【答案】：
6.【答案】：4
7.【分析与解答】：（1）连结AF、OF，则A、F、G、H四点共圆。且由EF是切线知，。所以
，且（弦切角等于弦所对的圆周角）
所以。
。
所以。
FD与AB不平行（即相交），用反证法。
如图，以O为坐标原点，AB所在直线为y轴建立一个平面直角坐标系。
若，则D点的横坐标等于F点的横坐标，即4.从而。又，所以EF的斜率为。而。这与是圆的切线矛盾！
8.【分析与解答】：设交点为，则
①×5+②×2有，
同理：。所以都在直线上，而过两点的直线方程是唯一的。所以所求直线方程为。
9.【分析与解答】：（1）解法一：设。直线AQ交抛物线于，则直线AQ：
，直线AB：，先将代入中
。所以，同理。所以。所以B与C关于x轴对称即
与关于x轴对称。所以。
解法二：设AB：代入中，，
，。
因为，所以抛物线为：。那么可设，又，并可得A、P中点，
，（如图）则圆的半径。再设直线存在且为：。那么要使被以AP为直径的圆截得的弦长为定值C；则
即。所以直线存在，为。
10.【分析与解答】：设圆的圆心为，则。
再设Q点坐标为，则
，
从而，等号成立，且三点共线，即且三点共线。
故的最小值为。
五、强化训练：
A组
1、（华南）已知圆，点是圆内一点。过点的圆的最短的弦在直线上，直线的方程为，那么（ ）
（A），且与圆相交 （B），且与圆相切
（C），且与圆相离 （D），且与圆相离
【答案】
【解析】易知，当时，过点的弦长最短；若最短的弦在直线上，则是直线的一个法向量；故，即，；
另外：圆心到直线的距离，故与圆相离；
2、（复旦）抛物线的准线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】将抛物线图像向右平移个单位得到抛物线的图像；
抛物线的准线方程为，故抛物线的准线方程为；
3、（复旦）已知常数满足。设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
【答案】
【解析】由条件可设的方程式，的方程式。又、过原点，故
由知，故，从而前应带负号，前应带正号，且，所以，得
4、（复旦）将同时满足不等式，，的点组成的集合D称为可行域，将函数称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点使目标函数达到可行域上的最小值。如果这个规划问题有无穷多个解，则的取值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】题中的可行域为图中的阴影部分，表示点与阴影部分中的点的连线的斜率。要使问题有无穷多解，则点到直线上，即，故
5、（复旦）已知是以为圆心、为半径的圆周，两点、在以为起点的射线上，并且满足，则称、关于圆周C对称。那么，双曲线上的点关于单位圆周的对称点所满足的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】
【解析】任取点在双曲线上，设其关于圆周的对称点，则，即.
令，则，
故，即所满足的方程是
6、（武大）过点的动直线交圆于A、B两点，分别过A、B作圆C的切线，如果两切线相交于点Q，那么点Q的轨迹为（ ）
（A）直线 （B）直线的一部分 （C）圆的一部分 （D）双曲线的一支
【答案】
【解析】设点A、B、Q，因为直线AQ、BQ与圆相切，所以直线AQ的方程为：，直线BQ的方程为：。又因为点Q在这两条直线上，所以有，，则A、B都满足方程，
且经过A、B两点的直线唯一，故AB所在直线方程为，又因为点在直线AB上，所以，故点Q在直线上，而直线与圆相交，而点Q不在圆内，所以点Q的轨迹为直线的一部分。
7、（武大）以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相离，则此曲线是（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
【答案】
【解析】设AB是圆锥曲线的焦点弦，A、B到相应焦点的距离分别为，圆锥曲线的离心率为e，则它们到相应准线的距离分别为，圆心到准线的距离为，而圆的半径，因为圆和相应准线相离，故，即对应的圆锥曲线为椭圆。
8、（武大）如果直线平分圆的周长，那么的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由题意可知，直线经过圆的圆心，所以，即，所以，所以当且仅当时等号成立。所以。
9、（复旦）设有直线族和椭圆族分别为（为实数，为参数）和（是非零实数），若对于所有的，直线都与椭圆相交，则应满足（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】注意到直线恒过定点，对所有，直线与椭圆相交，则当且仅当在椭圆的内部，所以，即。
10、（同济）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是。
【答案】
【解析】圆的方程为：，
圆心： ，半径为，
若圆上至少有3个点到直线的距离为，则直线与圆必相交，否则满足条件的点最多只有两个。
因而只需满足圆心到直线的距离，即，
整理得： 。解出即可。
11、（武大）如果直线与圆相交，且两个交点关于直线对称，那么实数的取值范围为。
【答案】
【解析】因为两个交点关于直线对称，而这两个交点均在直线，
所以直线垂直于直线，即有。
设两个交点为A、B，由垂径定理，AB中垂线必过C（C为圆心），而A、B关于直线对称，故C在上，得，所以圆的方程为，即，则。只要圆与直线有两个交点即可，把代入方程，有。
由解得。
12、（复旦）已知曲线，曲线C关于直线对称的曲线为曲线，曲线与曲线关于直线对称，求曲线的方程。
【解析】任取上一点，则关于直线的对称点在C上，从而解得
代入曲线C方程，得，化简并由的任意性，知曲线的方程为
任取在是C上的点，是上的点，是上的点，由
，知其交点。由关于对称，得；由关于对称，得。又易知直线与垂直，故与直线平行，从而。
所以，从而为的中点，故曲线C与关于点对称，所以曲线方程为，即2022年高考数学尖子生强基计划专题15：解析几何一
真题特点分析：
1.【2020武汉大学1 】设圆半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
2.【2020年清华大学】在非等边中，，若和分别为的外心和内心，在线段上，且满足，则下列选项正确的是（ ）．
A．，，，四点共圆 B．
C． D．
3.【2021年清华大学】在中，为的中点，，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
答案：B
知识要点拓展
一、知识精讲
点到直线的距离 ：(点,直线：).
2.圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程
(圆的直径的端点是、).
3.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
4.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
①;
②;
③.
其中.
5.椭圆的参数方程是.
6.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上，，
焦点在轴上）.
7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或
（
三角形四心的坐标
设三边的长度分别为a,b,c，三个顶点A、B、C的坐标分别记为、、，则重心G、内心I、垂心H、外心O坐标分别为、、、。
直线系
若直线与直线相交于P，则它们的线性组合（，且不全为0）（*）表示过P点的直线系。当参数为一组确定的值时，（*）表示一条过P点的直线。特别的，当时，（*）式即；当时，（*）式即为。对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.
又若与平行，这时（*）式表示所有与平行的直线。
3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.
备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为，圆半径为，则这个定值为.
①当定点在圆内时，，等于过定点的最小弦的一半的平方；
②当定点在圆上时，；
③当定点在圆外时，，等于从定点向圆所引切线长的平方.
特别地，我们把称为定点对于圆的幂.
4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．
对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
5.各曲线的定义：
（1）椭圆：；
（2）双曲线：；
（3）抛物线：．
6.圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为一个常数的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）．
当时，曲线是椭圆；当时，曲线是双曲线；当时，曲线是抛物线．这个定点叫做曲线的焦点，定直线叫做曲线的准线，定点到定直线的距离叫做焦参数．
7.圆锥曲线的标准方程：
（1）椭圆：，；
（2）双曲线：，（）；
（3）抛物线：，，，（）．
备注：比值叫圆锥曲线的离心率，其中。
典例精讲
例1．（复旦）椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是（ ）。
（A）11 （B） （C） （D）
例2．（复旦）抛物线，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。
证明：是的等差中项；
若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程。
例3．（复旦）已知抛物线，直线都过点且互相垂直。若抛物线与直线中至少有一条相交，求实数的取值范围。
例4．设，常数，定义运算“”：，定义运算“”： ；对于两点、，定义.
(1)若，求动点的轨迹；
(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；
(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q , 试求的取值范围。
例5．（清华）抛物线的焦点为，弦过，原点为，抛物线准线与轴交于点，，求。
例7.（交大）如图，在上，
关于抛物线对称轴对称。过点作切线，切线，
点到距离分别为，。
试问：是锐角、钝角还是直角三角形？
若的面积是240，求的坐标和的方程。
四、真题训练
1.（复旦）抛物线的准线方程为（ ）
（B） （C） （D）
2.对于直角坐标平面内任意两点、，定义它们之间的一种“新距离”：
.给出下列三个命题：
①若点在线段上. 则 ；
②在中，若,则；
③在中，。
其中的真命题为 ( )
A. ①②③ B. ①② C. ① D. ②③
3.（复旦）极坐标方程为常数）所表示的曲线是（ ）。
圆或直线 （B）抛物线或双曲线 （C）双曲线或椭圆 （D）抛物线或椭圆
4.（复旦）参数方程所表示的函数是（ ）。
图像关于原点对称 （B）图像关于直线对称
（C）周期为的周期函数 （D）周期为的周期函数
在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为。
在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为直线上的动点， 则的最小值为 。
7.（“卓越联盟”）如图，是圆的直径，于，且，是圆的切线，交于。
求；
连结，判断与的关系。并加以证明。
8.（北大）求过两抛物线交点的直线方程。
9.（同济）如图，已知动直线经过点，交抛物线于两点，坐标原点是的中点，设直线的斜率分别为。
证明：；
当时，是否存在垂直于x轴的直线，被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由。
10.（上海交大）是圆与上的点，求的最小值。
五、强化训练：
A组
1、（华南）已知圆，点是圆内一点。过点的圆的最短的弦在直线上，直线的方程为，那么（ ）
（A），且与圆相交 （B），且与圆相切
（C），且与圆相离 （D），且与圆相离
2、（复旦）抛物线的准线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、（复旦）已知常数满足。设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
4、（复旦）将同时满足不等式，，的点组成的集合D称为可行域，将函数称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点使目标函数达到可行域上的最小值。如果这个规划问题有无穷多个解，则的取值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、（复旦）已知是以为圆心、为半径的圆周，两点、在以为起点的射线上，并且满足，则称、关于圆周C对称。那么，双曲线上的点关于单位圆周的对称点所满足的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6、（武大）过点的动直线交圆于A、B两点，分别过A、B作圆C的切线，如果两切线相交于点Q，那么点Q的轨迹为（ ）
（A）直线 （B）直线的一部分 （C）圆的一部分 （D）双曲线的一支
7、（武大）以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相离，则此曲线是（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
8、（武大）如果直线平分圆的周长，那么的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、（复旦）设有直线族和椭圆族分别为（为实数，为参数）和（是非零实数），若对于所有的，直线都与椭圆相交，则应满足（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、（同济）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是。
11、（武大）如果直线与圆相交，且两个交点关于直线对称，那么实数的取值范围为。
12、（复旦）已知曲线，曲线C关于直线对称的曲线为曲线，曲线与曲线关于直线对称，求曲线的方程。

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