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9.1 不等式与不等式的性质
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.
2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【知识总结】
一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．21世纪教育网版权所有
【注】：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如 ( http: / / www.21cnjy.com )3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．21·cn·jy·com
二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
【注】：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未 ( http: / / www.21cnjy.com )知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．2·1·c·n·j·y
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
【注】：
借助数轴可以将不等式的解 ( http: / / www.21cnjy.com )集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．【来源：21·世纪·教育·网】
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
【注】：
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．www-2-1-cnjy-com
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形 ( http: / / www.21cnjy.com )时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．2-1-c-n-j-y
【典型例题】
【类型】一、不等式的概念
例1．给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是______．（填序号）21*cnjy*com
【答案】②③④⑥
【分析】根据不等式的定义判断即可．
解：①a（b+c）=ab+ ( http: / / www.21cnjy.com )ac是等式；
②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；
④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤x2-2xy+y2是代数式；
⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，
故答案为：②③④⑥．【来源：21cnj*y.co*m】
【点拨】本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【版权所有：21教育】
【训练】下列式子：①－1＞2 ( http: / / www.21cnjy.com )；②3x≥－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥3x－5＝2x＋2；⑦a2＋2≥0；⑧a2＋b2≠c2.其中是不等式的是___________________．(只填序号)21教育名师原创作品
【答案】①②⑤⑦⑧
【解析】
【分析】根据不等式的定义即可得出结论．
解：根据不等式的定义：①－1＞2，②3x≥ ( http: / / www.21cnjy.com )－1，⑤3x－4＜2y，⑦a2＋2≥0，⑧a2＋b2≠c2是不等式；③x－3，④s=vt，⑥3x－5=2x＋2不是不等式．21*cnjy*com
故答案为：①②⑤⑦⑧．
【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础．
【训练】下列式子属于不等式的是_______________．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
【答案】①③④⑤⑦⑧⑨
【解析】
【分析】根据不等式的概念即可解题.
解：∵不等式要求用不等号连接
∴排除②⑥
∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨
【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.
【类型】二、不等式的解及解集
例2.下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？
100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.
【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解.
【解析】
试题分析：把上述各数分别代入不等式的左边计算出左边的值，看是否大于或等于5即可.
试题解析：
∵在不等式中，
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=;
∴上述各数中，100，98，51，12，2是不等式的解；0，－1，－3，－5不是不等式的解.
例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)x≥－3； (2)x＞－1； (3)x≤3；(4)x<－.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.
试题解析：
（1）将表示在数轴上为：
（2）将表示在数轴上为：
（3）将表示在数轴上为：
（4）将表示在数轴上为：
点拨：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）时”，数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”，“（或）时”，数轴上表示数“”的点用“实心圆点”.21教育网
【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7，并利用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式﹣3≤x＜6，哪些不满足？www.21-cn-jy.com
【答案】﹣2，0，满足不等式；﹣4，7不满足不等式
【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表示满足不等式，否则就是不满足不等式．21·世纪*教育网
解：根据图可知：x的下列值：﹣2，0，满足不等式；x的下列值：﹣4，7不满足不等式．
【点拨】
不等式的解集在数轴上表示的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【出处：21教育名师】
【类型】三、不等式的性质
例4. 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．
（1）． （2）． （3）． （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）利用不等式的性质将两边加上即可求解；
（2）利用不等式的性质先将两边加上，再两边同除以即可求解；
（3）利用不等式的性质先将两边减去，再两边同除以即可求解；
（3）利用不等式的性质将两边同除以-即可求解；
解：（1），
两边加上得：，
解得：；
（2），
两边加上得：，即，
两边除以得：；
（3），
两边减去得：，即，
两边除以得：；
（4），
两边除以得：．
【点拨】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
【训练】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-x>-1
（4）10-x>0 （5）-x<-2 （6）3x+5<0
【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-．
【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；依次分析各小题即可．21cnjy.com
解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，
得5x-4x>4x+8-4x，即x>8；
（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变，
得x+2-2<-1-2即x<-3；
（3）根据不等式性质3，不等式两边同除以-，不等号的方向改变，
得-x÷（-）<-1÷（-）即x<；
（4）根据不等式性质1，不等式两边同减10，不等号的方向不变，
得10-x-10>0-10即-x>-10，
再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x<10；
（5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变，
得-x·（-5）>-2×（-5）即x>10；
（6）根据不等式性质1，不等式两边都减去5，不等号的方向不变
得3x+5-5<0-5即3x<-5，
再根据不等式性质2，不等式两边同除以3，不等号的方向不变，
得3x÷3<-5÷3即x<-．
【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质， ( http: / / www.21cnjy.com )本题重在考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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