资源简介

用样本估计总体
【第一学时】
【学习目标】
1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.
2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计.
3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.
【学习重难点】
1．频率分布表、频率分布直方图.
2．用样本估计总体.
3．总体百分位数的估计.
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？
2．频率分布直方图有哪些特征？
3．如何求n个数据的第p百分位数？
二、合作探究
1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制
角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制
为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
【解】以4为组距，列表如下：
分组 频率累计 频数 频率
[41.5，45.5) 2 0.045 5
[45.5，49.5) 7 0.159 1
[49.5，53.5) 8 0.181 8
[53.5，57.5) 16 0.363 6
[57.5，61.5) 5 0.113 6
[61.5，65.5) 4 0.090 9
[65.5，69.5) 2 0.045 5
频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
角度二：频率分布直方图的应用
为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？
（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
（3）样本中不达标的学生人数是多少？
（4）第三组的频数是多少？
【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．
（4）第三小组的频率为＝0.34．
又因为样本量为150，
所以第三组的频数为150×0.34＝51．
2．条形统计图
为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）求抽取的学生数；
（2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
【解】（1）从统计图上可以看出，
喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；
喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；
喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；
喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．
所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．
（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，
由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有×3 000＝1 060(人)．
（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%.
3．折线统计图
小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？
（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．
（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．
（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．
（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．
4．扇形统计图
下图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：
（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？
（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？
【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．
（2）设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为y件，则解得即A学校收到艺术作品的总数为500件，B学校收到艺术作品的总数为600件．
5．百分位数的计算
现有甲、乙两组数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．
因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5；
甲组数的75%分位数为＝＝9.5．
乙组数的25%分位数为＝＝1，乙组的75%分位数为＝＝12．
【学习小结】
1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
2．百分位数
（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【精炼反馈】
1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )
解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．
2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
解析：选C．由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为0.001×300＝0.3，故选C．
3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是( )
A．甲校女生比乙校女生多
B．乙校男生比甲校男生少
C．乙校女生比甲校男生少
D．甲、乙两校女生人数无法比较
解析：选D．图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．
【第二学时】
【学习目标】
1．理解样本数据标众数、中位数、平均数的意义和作用，学会计算数据的众数、中位数、平均数.
2．理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差.
【学习重难点】
会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．
【学习过程】
一、预习设问
思考:平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？
二、合作探究
1．众数、中位数、平均数的计算
（1）某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
答案（1）C （2）C
解析（1）平均数为＝87，众数为85，中位数为85．
（2）结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．
由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5．又乙组数据的平均数为＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8．
2．标准差、方差的计算及应用
甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别求出两组数据的方差；
（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
解（1）甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
（2）由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2．
（3）甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
【学习小结】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数定义
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数．
（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
（3）平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
2．方差、标准差
标准差、方差的概念及计算公式
（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝.
（2）标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
（3）标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.
【精炼反馈】
1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20
C．21.5 D．23
答案 B
解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B．
2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( )
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
答案 D
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
答案 D
4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )
A．a1>a2
B．a2>a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
答案 B
解析 由茎叶图知，
a1＝80＋＝84，
a2＝80＋＝85，故选B．
5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案 16
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16．
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