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北师大版数学七年级下期
第四章三角形压轴题训练1
（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，当直线MN旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）在（1）的条件下，当直线MN旋转到图2的位置时，猜想线段AD，DE，BE的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BC，BF⊥BC于B，BF=CD，CE⊥BC于C，CE=BD，求证：∠EAF+∠BAC=90°．
如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．∠BCA=∠β
（1）若直线CD经过∠BCA的内部
①如图1，若∠α=100°，∠β=80°，问，成立吗？说明理由．
②将①中的已知条件改成∠α+∠β=180°（如图2），问仍成立吗？说明理由．
（2）若直线CD经过∠BCA的外部（如图3）当∠α、∠β满足什么关系时，EF=AF+BE.直接写出答案。
将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证：AF＋EF＝DE；
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立；
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
（1）如图1，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接．以为直角边且在的上方作等腰直角三角形．
（1）若，．
①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与的数量关系和位置关系；
②当点在线段BC的延长线上，如图2所示，请直接写出CF与BD的关系；
（2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系．
在△ ABC 中，∠ BAC =90o ，AB = AC ，点 D 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B 重合）．DE ， BE相交于 E，∠ EBA =∠ACB ，DE 与 AB 相交于点 F．
⑴当点 D 与点 C 重合时（如图1），探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明；
⑵当点 D 与点 C 不重合时（如图2），试判断⑴中的猜想是否仍然成立，请说明理由．
观察发现：
如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA＝OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD．请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）
（1）如图1，DE与AC交于点P，求证：BD＝DP．
（2）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？并证明．
在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连接EF、CD交于点H.求证，EF⊥CD；
（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P，试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.
已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）如图1，过点B作BF⊥CE交CE于点F，交CD于点G，求证：AE＝CG；
（2）如图2，过点A作AH⊥CE交CE延长线于点H，延长AH，CD交于点M，找出图中与BE相等的线段，并说明理由．
已知四边形ABCD，AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕点B旋转，两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E，F．
（1）当点F在CD，点E在AD上时（如图1），求证：AE＋CF＝EF；
（2）当点F在DC延长线上，点E在AD延长线上时（如图2），探究AE，CF与EF之间的数量关系，并证明．
如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．
( 1 ) 求∠AEB的度数；
（2）求证：AB=AD+BC；
（3）若BE=4，AE=6，求四边形ABCD的面积．
在中，，点是直线上一点（不与、重合），以 为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，如果，那么 度；
（2）若，，，则①如图2，当点在线段上移动，则、之间有怎样的数量关系？请说明
理由；
②当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．
已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状，并说明理由.
如图1所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：
（1）求证：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时(BD＜CE)，其他条件不变，判断BD与DE，CE的关系并说明理由．
（3）若直线AE绕A点旋转到如图3位置时(BD＞CE)，其他条件不变，则BD与DE，CE的关系又怎样？请写出结果，不必证明．
（4）归纳上述（1）（2）（3），请利用简介的语言表述BD，DE，CE的关系．
参考答案
1.（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）DE=AD-BE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）如图3，连接CF、BE，
AD⊥BC于D，BF⊥BC于B，
∴∠ADC=∠CBF=90°，
在△ADC和△CBF中，，
∵△ADC≌△CBF（SAS），
∴∠CAD=∠FCB，AC=CF；
∴∠ACF=∠FCB+∠ACD=∠CAD+∠ACD=∠ADC=90°
∴△ACF为等腰直角三角形．
∴∠CAF=45°，
同理：△ABE为等腰直角三角形．
∴∠EAB=45°，
∴∠EAF+∠BAC=∠CAF+∠EAB=90°．
2.解：（1）①EF=BE-AF成立，理由为：
在△BCE中，∠α=100°，∴∠CBE+∠BCE=180°-100°=80°，
∵∠β=80°，∴∠ACF+∠BCE=80°，
∴∠CBE=∠ACF，
又BC=CA，∠BEC=∠CFA=100°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，
∴EF=BE-AF；
（2）EF=BE-AF仍成立，理由为：
在△BCE中，∠BEC=∠α，∴∠CBE+∠BCE=180°-∠α，
∵∠BCA=∠β，∴∠ACF+∠BCE=∠β，
∵∠α+∠β=180°
∴∠CBE=∠ACF，
又BC=CA，∠BEC=∠CFA=∠α，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，
∴EF=BE-AF；
（3）当∠α=∠β时，EF=BE+AF．
理由为：当∠α=∠β，在三角形BCE中，由∠BCF=∠α+∠B，又∠BCF=∠β+∠ACF，利用∵∠α=∠β，
∴∠CBE=∠ACF，
BC=CA，∠E=∠F=∠α，
△BCE≌△CAF，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=BE+AF，
3.解：（1）证明：连接BF(如图①)，
∵△ABC≌△DBE(已知)，
∴BC=BE，AC=DE．
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴∠BCF=∠BEF=90°．
∵BF=BF，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE．
∴CF=EF．
又∵AF+CF=AC，
∴AF+EF=DE．
（2）画出正确图形如图②，
∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；
（3）不成立．
证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．
4.（1）证明：如图，
∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴，
∴△ABE≌△CAF（AAS）；
（2）解：由（1）知△ABE≌△CAF，
∴S△ABE＝S△CAF ，
又∵CB＝2BD，
∴BC＝3BD，
∵S△ABC＝15，
∴S△ABD＝S△ABC＝5，
又S△ACF＋S△BDE＝S△ABE＋S△BDE＝S△ABD，
∴S△ACF＋S△BDE＝5.
5.解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°， AD=AF，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，∠B=∠ACF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD，
故CF=BD且CF⊥BD；
②如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD，
故CF=BD且CF⊥BD；
（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，
，
∴△ACF≌△AED（SAS），
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
6.解：（1）BE=FD，
证明：如图，延长CA、BE相交于G，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠EBA=∠ACB，
∴∠EBA=22.5°，∴∠GBC=67.5°，
∴∠G=67.5°，∴∠G=∠GBC，
∴CG=BC，∵CE⊥BE，
∴∠ACE=∠ACB，BE=BG，
∴∠ACE=∠EBA．
在△ABG和△ACF中，，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG=CF，∴BE=FC，
即BE=FD；
（2）成立，
理由是：过D作DH∥CA交BA于M，交BE的延长线于H，
则∠BMD=∠A=90°，∠MDB=∠C=45°，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∴MB=MD，
∵∠EBA=∠ACB，
∴∠EBA=∠MDB=22.5°，
∴∠HBD=∠H=67.5°，
∴DB=DH，
∵DE⊥BE，
∴∠HDE=∠HDB，BE=BH，
∴∠HBM=∠FDM，
在△HMB和△FMD中，，
∴△HMB≌△FMD（ASA）
∴BH=DF，
∴BE=FD.
7.解：（1）AD=BD．
理由：∵OP平分∠MON，
∴∠DOA=∠DOB，
∵OA=OB，OD=OD，
∴△OAD≌△OBD，
∴AD=DB．
（2）FE=FD．
理由：如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
∵∠ACB是直角，即∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=15°+45°=60°=∠AFE，
∴∠AFE=∠AFG=∠CFD=60°，
∴∠CFG=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
又FC为公共边，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG=FD，
∴FE=FD．
8.证明：（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠A=∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
∵，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
∴CF=BG；
（2）如图2，

∵PC∥AG，
∴∠PCA=∠CAG，
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°，
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，
∴∠PCG=∠PGC，
∴PC=PG，
∵PB=BG+PG，BG=CF，
∴PB=CF+CP.
9.（1）证明：如图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，
∴DA=DF．
∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，
，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴BD=DP.
（2）BD=DP成立.
证明：如图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，
∴DA=DF.
∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2.
在△BDF与△PDA中，
，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴BD=DP.
（3）BD=DP．
证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，
∴DA=DF.
在△BDF与△PDA中，
，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴BD=DP.
10.（1）证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，
∵∠BAC=90°，AF⊥BE于G，
∴∠1+∠5=∠2+∠5=90°，
∴∠1=∠2,
又∵∠BAC=∠ACM=90°，AB=AC,
在△ABE和△CAM中，
，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠5=∠M,
∵AE=EC,∴EC=CM,
∵AB=AC，∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠ACM=90°,∴∠4=90°-45°=45°=∠ACF,
在△EFC和△MFC中，
，
∴△EFC≌△MFC（SAS），∴∠6=∠M,∴∠6=∠5,
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点,∴AD=AE,
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）,∴∠1=∠3,
∴∠3+∠6=90°,
∴∠EHC=90°,
∴EF⊥CD．
（2）BP=AF+FP．
证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，

由（1）得△ABE≌△CAM,
AE=CM，∠5=∠M，BE=AM,
由（1）得△ABE≌△ACD,∴∠1=∠3,
∵FP⊥CD于H，∠BAC=90°,
∴∠3+∠6=∠1+∠5,
∴∠6=∠5,∴∠6=∠8，∠7=∠5,∴∠7=∠8,∴EP=QP,
∵∠6=∠5，∠5=∠M,∴∠6=∠M,
∵AB=AC，∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠ACM=90°,∴∠4=90°-45°=45°=∠ACF,
在△QCF和△MCF中，
,
△QCF≌△MCF（ASA）,∴FQ=FM,
∴BP=BE+PE
=AM+PQ
=（AF+FM）+PQ
=AF+FM+PQ
=AF+FP,
∴BP=AF+FP．
11.解：（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB(ASA)，
∴AE=CG，
（2）BE=CM．
理由：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
，
∴△BCE≌△CAM(AAS)，
∴BE=CM．
12.证明:（1）如图1，延长DC至K点使得CK=AE，
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS），
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°，
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK+CF，
∴AE+CF=EF；
（2）AE-CF=EF.
证明：如图2，在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK，
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF，
∴AE-CF=EF.
13.解：（1）∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴∠3+∠2=90°，
在△ABE中，∠AEB+∠2+∠3=180°
∴∠AEB = 90°
（2）证明：延长AE交BC的延长线于M，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，
∴BM=BA，
∵∠AEB = 90°∴ BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，
∴△ABE≌△MBE ∴ AE=ME，
在△ADE和△MCE中，；
∴△ADE≌△MCE，
∴ AD=CM.
∴AB=BM=BC+AD．
（3）解：由（2）知：△ADE≌△MCE，
∴ S四边形ABCD=S△ABM
又∵AE=ME=6，BE=4，∴AM=12
∴S△ABM=×12×4=24
∴S四边形ABCD=24．
14.解：（1）∠BCE=90°；
（2）如图2，α+β=180°；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°；
（3）α=β．理由如下：
如图所示：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB与△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
而∠ABD=∠ACB+α，β=∠ACE﹣∠ACB，
∴β=∠ACB+α﹣∠ACB，
∴α=β.
15.解：（1）△DEF为等腰直角三角形．理由:连接AD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B=∠C=45°，
又∵D为BC的中点，
∴∠FAD=∠EBD=45°，AD=BD，
∵BE＝AF，∠FAD=∠EBD，AD=BD，
∴△BDE≌△ADF,
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB＝90°,
∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝∠EDA+∠BDE＝∠ADB＝90°,
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2)是．
理由：连接AD．
∵∠BAC＝90°，BD＝CD，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠DAC＝45°，AD＝BD，
∴∠DBE＝∠DAF＝135°．又∵BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
16.（1）证明：在△ABD和△CAE中，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAD=∠ABD．
又∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE．（AAS），
∴BD=AE，AD=CE．
又AE=AD+DE，
∴AE=DE+CE，
即BD=DE+CE．
解：（2）BD=DE-CE．
证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，
∴△ADB≌△CEA．
∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，
即 BD=DE-CE．
（3）同理：BD=DE-CE．
（4）当点BD、CE在AE异侧时，BD=DE+CE；当点BD、CE在AE同侧时，BD=DE-CE．
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