资源简介

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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 数形思想之角平分线问题重点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，那么下列各式中正确的是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据角平分线定义：从一个角的顶点引出一条 ( http: / / www.21cnjy.com )射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，得出角与角的关系．再根据选项选取正确答案．21·cn·jy·com
【详解详析】
是的平分线，是的平分线，
，
，
即
故选：D．
【名师指路】
本题考查了角平分的定义，解题关键是由角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
2．己知：；②；③；④，其中能够得到射线OM是的平分线的有（ ）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【标准答案】B
【思路指引】
根据角平分线的定义逐个判断即可．
【详解详析】
解：①若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故①错误；
②若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故②错误；
③∵，
∴OM在∠AOB的内部，
又∵，
∴OM是的平分线，故③正确；
④∵，
∴OM在∠AOB的内部，
但无法证明，
∴OM不一定是的平分线，故④错误，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了角的角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
3．如图，，OC平分且，则的度数为（ ）．
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据OC平分且可得，再结合即可求得答案．
【详解详析】
解：∵OC平分且，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
4．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝28°36′24″，OD平分∠BOC，则∠COD的度数为( )
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A．36°32′38″ B．30°81′88″ C．30°41′48″ D．31°12′18″
【标准答案】C
【思路指引】
由直角的定义可得∠AOB=90°，结合度分秒的换算可求解∠BOC的度数，利用角平分线的定义可求解∠COD的度数．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：∵∠AOB是直角，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=28°36'24''，
∴∠BOC=90°-28°36'24''=61°23'36''，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=∠BOC=30°41'48''，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查角平分线的定义，度分秒的换算，求解∠BOC的度数是解题的关键．
5．已知，过点作射线、，使、是的平分线，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【标准答案】B
【思路指引】
考虑线段OC在角的内部和外部两种情况，每一种情况都用角的定义和角平分的定义求解，经计算结果为20°或40°．
【详解详析】
解：当OC在∠AOB的内部时，
如图所示：
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∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，
∴∠BOC＝100°﹣20°＝80°，
又∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝＝40°；
当OC在∠AOB的外部时，
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠AOC＝20°，∠AOB＝100°，
∴∠BOC＝100°+20°＝120°，
又∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝＝60°；
综合所述∠BOM的度数有两个，为60°或40°；
故选：B．
【名师指路】
本题综合了角平分线定义和角的和差知识，重点掌握角的计算，难点是分类计算角的大小．
6．如图，直线AB，CD相交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com )AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分线．若射线OE，OF分C别以18/s，3/s的速度同时绕点O顺时针转动，当射线OE，OF重合时，至少需要的时间是（ ）
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A．8s B．11s C．s D．13s
【标准答案】D
【思路指引】
设首次重合需要的时间为t秒，则OE比OF要多旋转120゜+75゜，由此可得方程，解方程即可．
【详解详析】
∵∠BOD=∠AOC=30゜，OE⊥AB
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜，∠AOD=180゜ - ∠AOC=150゜2-1-c-n-j-y
∵OF平分∠AOD
∴
∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜
设OE、OF首次重合需要的时间为t秒，则由题意得：18t 3t=120+75
解得：t=13
即射线OE，OF重合时，至少需要的时间是13秒
故选：D
【名师指路】
本题考查了角平分线的性质，补角的含义，垂直的定义，角的和差运算，运用了方程思想来解决，本题的实质是行程问题中的追及问题．
7．如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】B
【思路指引】
由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．
【详解详析】
解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①正确；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正确；
∵，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴
故③正确；
若为的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定，
∴无法说明②的正确性；
故选：B．
【名师指路】
本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键．
8．如图，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数为（　　）
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A．40° B．50° C．60° D．70°
【标准答案】C
【思路指引】
通过∠EOF的两倍和180°-∠EOF相等建立等式，再解出∠EOF即可．
【详解详析】
OE平分∠BOC，OF平分∠AOC
又
解得∠EOF=60°
故选C
【名师指路】
本题考查角平分线的有关计算，容斥原理，掌握这些是本题关键．
9．如图，点是直线上一点，以点为端点在直线上方作射线和射线，若射线平分，，则的度数是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先由平角的定义求得∠COB，在根据角平分线的定义求∠AOB即可.
【详解详析】
∵∠DOB+∠COB=180°，
∴∠COB= 180° -∠DOB =180° -110°= 70°，
因为射线平分，
∴∠AOB= COB=35°，
故选：B
【名师指路】
此题考查了平角的定义和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解答此题的关键.
10．下列四个说法：①射线AB和射线BA是同一条射线；②两点之间，线段最短；③和38.15°相等；④画直线AB=3cm；⑤已知三条射线OA，OB，OC，若，则射线OC是∠AOB的平分线．其中正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】A
【思路指引】
根据射线的性质；数轴上两点间的距离的定义；角平分线的定义，线段的性质解答即可．
【详解详析】
解：①射线AB和射线BA表示不是同一条射线，故此说法错误；
②两点之间，线段最短，故此说法正确；
③38°15'≠38.15°，故此说法错误；
④直线不能度量，所以“画直线AB=3cm”说法是错误的；
⑤已知三条射线OA，OB，OC，若，则OC不一定在∠AOB的内部，故此选项错误；
综上所述，正确的是②，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了射线的性质；数轴上两点间的距离的定义；角平分线的定义，线段的性质等知识，解题的关键是了解直线的性质；数轴上两点间的距离的定义等．
二、填空题
11．已知：∠AOB＝25°，过点O作射线OC，OM平分∠COA，，且使关于有无数多个解，则∠BOM＝__________．
【标准答案】20°或50°
【思路指引】
根据关于x的方程有无数多个解，可求出m、n的值，再分两种情况分别画出图形进行解答即可．
【详解详析】
解：∵关于x的方程有无数多个解，
即关于x的方程有无数多个解，
∴2m＝4+n，2m＝3n，
解得，m＝3，，
∴，
（1）当OC在∠AOB的内部时，如图1，
∵，∠AOB＝25°，
∴∠BOC＝×25°＝15°，∠AOC＝×25°＝10°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝5°，
∴∠BOM＝∠BOC+∠COM＝15°+5°＝20°；
（2）当OC在∠AOB的外部时，如图2，
∵，∠AOB＝25°，
∴∠BOC＝3∠AOB＝7×25°＝75°，∠AOC＝2∠AOB＝2×25°＝50°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝25°，
∴∠BOM＝∠BOA+∠AOM＝25°+25°＝50°，
综上所述，∠BOM＝20°或∠BOM＝50°，
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【名师指路】
本题考查一元一次方程的解，角平分线的定义，确定m、n的值，再根据题意分两种情况分别画出图形是解题的关键．
12．如图，平分，，与的差为80°，则__________．
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【标准答案】120°
【思路指引】
观察图形可知，结合已知相等角可得到，有角平分线的性质可得到和的倍数关系，结合与的差为80°，求出，进而求出的值．
【详解详析】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵与的差为80°，即，
∴，
∴．
故答案为：120°
【名师指路】
本题考查了角度计算和角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系，然后根据与的差为80°列出方程是解题的关键．21cnjy.com
13．（1）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段，，则线段_______．
（2）己知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且，，则MN的长为_________．
（3）己知，，则_________．
（4）已知，，OD、OE分别平分、，则_________．
【标准答案】 13或3 或 130或30 65或15
【思路指引】
（1）本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．
（2）分情况讨论，当C在线段AB上和线段AB的延长线上，然后根据线段中点的性质，可得MB，NB，根据线段的和差，可得答案．
（3）本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OA在∠BOC的位置关系分为OA在∠BOC的内部和外部两种情况求解．
（4）需要分类讨论：射线OC在∠AOB的内 ( http: / / www.21cnjy.com )部和射线OC在∠AOB的外部两种情况．再结合角平分线的定义，由∠DOE、∠BOD与∠EOB的和差关系可求得∠DOE的度数．
【详解详析】
解：（1）本题有两种情形：
当点C在线段AB上时，如图，
AC＝AB BC，
又∵AB＝8，BC＝5，
∴AC＝8 5＝3；
当点C在线段AB的延长线上时，如图，
AC＝AB＋BC，
又∵AB＝8，BC＝5，
∴AC＝8＋5＝13，
故填：3或13．
（2）本题有两种情形：
当C在线段AB延长线上时，如图1：
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM＝AB＝4，BN＝BC＝；
∴MN＝BM＋BN＝．
当C在AB上时，如图2：
同理可知BM＝4，BN＝，
∴MN＝BM－BN＝；
故填：或．
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（3）本题有两种情形：
当OC在∠AOB内部，
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∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB ∠BOC＝30°；
当OC在∠AOB外部，
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∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝130°；
故填：30或130．
（4）∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，
且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线，
∴∠BOD＝∠AOB＝40°，∠EOB＝∠BOC＝25°，
当OC在∠AOB内时，如图1，
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∴∠DOE＝∠DOB ∠EOB＝40° 25°＝15°．
②当OC在∠AOB外时，如图2，
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∠DOE＝∠DOB＋∠EOB＝40°＋25°＝65°．
综上所述，∠DOE的度数为65°或15°．
故填：65或15．
【名师指路】
本题考查分类讨论的思想，在未画图类问题中，正确画图很重要，分类讨论体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．21·世纪*教育网
14．已知，如图，A、O、B在同一直线上，OF平分，，．
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（1）射线OD是_______的角平分线；（2）的补角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的补角是_______；（6）_______是的补角．
【标准答案】 和 和
【思路指引】
由角平分线的定义，补角、余角的定义，分别进行计算，即可得到答案．
【详解详析】
解：根据题意，
（1）∵
∴射线OD是的角平分线；
（2）∵，
∴的补角是；
（3）∵OF平分，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴的余角是和；
（4）∵，，
∴，
∴是的余角；
（5）∵，
∴，
∴的补角是和；
（6）∵，，
∴，
∴是的补角．
故答案为：；；和；；和；．
【名师指路】
本题考查了角平分线的定义，补角、余角的定义，解题的关键是熟练掌握几何图形中角的运算．
15．如图，，OD、OE分别平分和，，则_______．
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【标准答案】40
【思路指引】
根据OD平分，可得，再结合可得，最后再根据OE平分即可求得答案．
【详解详析】
解：∵OD平分，，
∴，
又∵，
∴，
又∵OE平分，
∴，
故答案为：40．
【名师指路】
本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
16．如图，若OC、OD三等分，则______________，_______，_______．21教育名师原创作品
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【标准答案】 3 AOD
【思路指引】
根据OC、OD三等分可得，由此即可求得答案．
【详解详析】
解：∵OC、OD三等分，
∴，
∴3，，
∴，
∴，
故答案为：3；；；AOD．
【名师指路】
本题考查了角的三等分线及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
17．如图，DC平分，EC平分，已知，，则________．
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【标准答案】
【思路指引】
连接DE，根据三角形角平分线的性质及 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和定理可求出∠DCE与∠A、∠ADC、∠AEC之间的关系，同理可求出∠DCE与∠A、∠ADB、∠AEB之间的关系，代入数值进行计算即可；【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
连接DE，如图1
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在△BDE中，∠1＋∠2＝180° ∠DBE＝70°，
在△ADE中，∠ADE＋∠AED＝180° ∠DAE＝130°，
∴∠ADB＋∠AEB＝（∠ADE＋∠AED） （∠1＋∠2）＝60°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠3＋∠4＝30°，
在△DEC中，∠DCE＝180° （∠1＋∠2） （∠3＋∠4）
＝180° 70° 30°＝80°.
故答案为：.
【名师指路】
本题考查三角形角平分线的性质及内角和定理，掌握上述知识点是解题关键.
18．已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝____°．
【标准答案】107或163##163或107
【思路指引】
分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．
【详解详析】
解：∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE=∠AOC=45°．
分两种情况：
①如图1，射线OF在∠BOC内部时，
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∵∠AOE=45°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°；
②如图2，射线OF在∠BOD内部时，
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∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°．
故答案为107或163．
【名师指路】
本题考查了垂直的定义，角平分线定义以及角的计算，进行分类讨论是解题的关键．
19．已知，射线在同一平面内绕点O旋转，射线分别是和的角平分线．则的度数为______________．21世纪教育网版权所有
【标准答案】50°或130°##130°或50°
【思路指引】
分射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部，分别画出图形，结合根据角平分线定义求解．
【详解详析】
解：若射线OC在∠AOB的内部，
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∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOC+∠BOC=50°；
若射线OC在∠AOB的外部，
①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图，
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∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=50°；21教育网
②射线OE，OF都在∠AOB外面，如图，
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∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=130°；
综上：∠EOF的度数为50°或130°，
故答案为：50°或130°．
【名师指路】
本题考查的是角的计算，角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．www-2-1-cnjy-com
20．如图，直线AB⊥OC于点O，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )OP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．21*cnjy*com
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【标准答案】或
【思路指引】
由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．
【详解详析】
平分，
，
以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当平分时，
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解得
，
②如图2，当平分时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
解得
故答案为：或
【名师指路】
本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．
三、解答题
21．如图1，在内部作射线，，在左侧，且．
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（1）图1中，若平分平分，则______；
（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；
（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．
【标准答案】（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或
【思路指引】
（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．
【详解详析】
解：（1）∵，，
∴，
∴ ，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（2）．
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图1，当在的左侧时，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，
∴．
∴；
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如图2，当在的右侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，．
综上所述，的度数为或．
【名师指路】
本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．
22．已知∠AOD＝40°，射线OC从OD ( http: / / www.21cnjy.com )出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．
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（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；
（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；
（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．
【标准答案】（1）60°；（2）；（3）或
【思路指引】
（1）根据角分线的定义、旋转的过程即可求解；
（2）根据旋转的过程和角分线的定义进行角的计算即可；
（3）分两种情况讨论：OB落在不同位置时进行角的计算即可．
【详解详析】
解：（1）如图①，根据题意，得
∠DOC＝4×20°＝80°
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，
∵射线OE平分∠AOC，
∴，
答：∠EOA的度数为60°．
（2）根据题意，得
∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°
∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，
∴，
∠AOF＝20°，
∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，
答：∠EOF的度数为．
（3）∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，
根据题意，得
∴，
①如图②：当OB落在OF和OD之间时，∠BOD＝40﹣10t，
40﹣10t＝10，
解得t＝3．
②如图3：
当OB落在OD和OE之间时，∠BOD＝10t﹣40，
10t﹣40＝10
解得t＝5．
当t＝3时，的值为，
当t＝5时，的值为．
答：的值为或．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查了几何图形中角的和差倍分运算，角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义以及和差的关系是解题的关键．www.21-cn-jy.com
23．已知∠AOB和∠COD均为锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ=　 　；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=　 　，（请用含m、n的代数式表示）．
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【标准答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°
【思路指引】
（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解详析】
解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，
∴∠POQ=50°，
故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，
∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
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∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，
∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
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∴∠AOC= m°+ °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=(m°+ °)，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °)
=m°+n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-m°-°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °)
=180°-m°-n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．
故答案为：m°+n°或180°-m°-n°．
【名师指路】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
24．已知：是内的射线．
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（1）如图1，若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度．
（2）也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，若，当在内绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，且，求t的值．
【标准答案】（1）79；（2）70.5°；（3）47秒
【思路指引】
（1）依据OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（11°+t+17°），∠DON=（158°-11°-t），∠AOM：∠DON=3：4，即可得到方程，进而得出t的值．
【详解详析】
解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON
=（∠AOB+∠BOD）
=∠AOD
=79°，
故答案为：79；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
即∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=（∠AOB+∠BOC+∠BOD）-∠BOC
=（∠AOD+∠BOC）-∠BOC
=×(159°-17°)
=70.5°；
（3）∵∠AOM=（11°+t+17°），∠DON=（158°-11°-t），
又∵∠AOM：∠DON=3：4，
∴4（11°+t+17°）=3（158°-11°-t），
得t=47．
答：t为47秒．
【名师指路】
本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，有一定难度．
25．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．
（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝　 　．
（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由；
（3）如图3．已知∠AOB＝12 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值 　 　．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）60°或80°或40°．；（2）的值是定值，定值为2；（3）12秒或秒．
【思路指引】
（1）根据“二倍角线”的概念分三种情况讨论，分别求解即可；
（2）根据角平分线的定义得到，然后由∠DOB＝2∠BOC进一步得到，设，根据题意分别表示出和，即可求出的值；【出处：21教育名师】
（3）首先根据∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出，根据题意分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）当时，
；
当时，
∵，
∵，解得：；
当时，
∵，
∵，解得：；
故答案为：60°或80°或40°．
（2）∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，
又∵∠DOB＝2∠BOC，，
∴，
∴设，
∴
∴的值是定值2；
（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，
又∵，，
∴，
∴，
∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，，
∴，
将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），
∴当时，在内部，
∵，
，
，
∴当时，，解得：，舍去，
当时，，解得：，舍去，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当时，，解得：，舍去
当时，此时在内部，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：应舍去，
当时，此时在内部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，
当 时，此时在内部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，应舍去，
综上所述，t的值为12秒或秒．
【名师指路】
此题考查了新定义角度问题，角平分线有关计算，解题的关键是正确分析题目中角度之间的等量关系，分情况讨论列出方程求解．【版权所有：21教育】
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题03 数形思想之角平分线问题重点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，那么下列各式中正确的是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
2．己知：；②；③；④，其中能够得到射线OM是的平分线的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，，OC平分且，则的度数为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝28°36′24″，OD平分∠BOC，则∠COD的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．36°32′38″ B．30°81′88″ C．30°41′48″ D．31°12′18″
5．已知，过点作射线、，使、是的平分线，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
6．如图，直线AB，CD相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点O，AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分线．若射线OE，OF分C别以18/s，3/s的速度同时绕点O顺时针转动，当射线OE，OF重合时，至少需要的时间是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8s B．11s C．s D．13s
7．如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，点是直线上一点，以点为端点在直线上方作射线和射线，若射线平分，，则的度数是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
10．下列四个说法：①射线AB和射线BA是同一条射线；②两点之间，线段最短；③和38.15°相等；④画直线AB=3cm；⑤已知三条射线OA，OB，OC，若，则射线OC是∠AOB的平分线．其中正确说法的个数为（ ）www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知：∠AOB＝25°，过点O作射线OC，OM平分∠COA，，且使关于有无数多个解，则∠BOM＝__________．2·1·c·n·j·y
12．如图，平分，，与的差为80°，则__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（1）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段，，则线段_______．
（2）己知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且，，则MN的长为_________．【来源：21·世纪·教育·网】
（3）己知，，则_________．
（4）已知，，OD、OE分别平分、，则_________．
14．已知，如图，A、O、B在同一直线上，OF平分，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）射线OD是_______的角平分线；（2）的补角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的补角是_______；（6）_______是的补角．
15．如图，，OD、OE分别平分和，，则_______．
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16．如图，若OC、OD三等分，则______________，_______，_______．21·世纪*教育网
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17．如图，DC平分，EC平分，已知，，则________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝____°．
19．已知，射线在同一平面内绕点O旋转，射线分别是和的角平分线．则的度数为______________．2-1-c-n-j-y
20．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )P＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．21*cnjy*com
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三、解答题
21．如图1，在内部作射线，，在左侧，且．
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（1）图1中，若平分平分，则______；
（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；
（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．【来源：21cnj*y.co*m】
22．已知∠AOD＝40°，射线OC从 ( http: / / www.21cnjy.com )OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；
（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；
（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．【出处：21教育名师】
23．已知∠AOB和∠COD ( http: / / www.21cnjy.com )均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）【版权所有：21教育】
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ=　 　；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=　 　，（请用含m、n的代数式表示）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
24．已知：是内的射线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度．
（2）也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，若，当在内绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，且，求t的值．21·cn·jy·com
25．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．21教育名师原创作品
（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝　 　．
（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由；
（3）如图3．已知∠AOB＝120°， ( http: / / www.21cnjy.com )射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值 　 　．21*cnjy*com
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